[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] ||<tablealign=center><table width=410px><#FFF> [[파일:디랙델타함수 시퀀스.svg|width=100%]] || || '''[[디랙 델타 함수]]를 정의하는 기반이 되는 함수들 중[br][math(\boldsymbol{y})]축 대칭함수(짝함수)들의 예시''' || == 개요 == {{{+1 even and odd functions[* [[https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_function|Symmetric Function]]이라는 것도 있기는 하지만 이것은 [[대칭식|각 변수의 자리를 바꿔도 성립하는 다변수함수]]라는 다른 뜻이다.] · [[對]][[稱]][[函]][[數]]}}} [[함수]]의 개형이 대칭을 이루는 함수를 뜻한다. 크게 홀함수[* 과거엔 기함수(奇函數)](Odd function)와 짝함수[* 과거엔 우함수(偶函數)](Even function)로 나뉜다. == 정의 == >함수 [math(y=f(x))]가 정의역의 모든 [math(x)]에 대하여 > * [math(f(-x)=f(x))]이면 '''짝함수'''(우함수), > * [math(f(-x)=-f(x))]이면 '''홀함수'''(기함수) >이다. 정수 [math(a)]에 대해 [math(y=x^a)]인 함수를 [[멱함수]]라고 한다. 멱함수의 경우 함수가 짝함수인지 홀함수인지의 여부를 쉽게 알 수 있다. [math(y=x^2)] 또는 [math(y=x^4)]과 같이 [math(a)]가 [[짝수]]이면 짝함수이고, [math(y=\dfrac1x)] 또는 [math(y=x^3)]과 같이 [math(a)]가 [[홀수]]이면 홀함수이다. 홀함수는 다시 [math(f(x)>f(-x))]인 함수와 [math(f(x)<f(-x))]인 함수로 나뉜다. 아래는 이 둘의 예시이다. ||<tablealign=center><#FFFFFF> [[파일:namu_erf(x)_그래프.png|height=222]] ||<#FFFFFF> [[파일:브링근호_그래프_NeW.png|height=222]] || || [math(f(x)>f(-x))] || [math(f(x)<f(-x))] || == 특수한 대칭함수 == 멱함수 이외에도, 고교 수학에서 배운 [[삼각함수]] 등을 포함한 매우 다양한 함수들이 대칭성을 가지고 있다. === 홀함수 === ## 함수 개형 [[추가바람]] * [[부호 함수|[math(\mathrm{sgn}(x))]]] * [[삼각함수|[math(\sin(x))]]] * [[삼각함수|[math(\tan(x))]]] * [[삼각함수|[math(\cot(x))]]] * [[삼각함수|[math(\csc(x))]]] * [[역삼각함수|[math(\arcsin(x))]]] * [[역삼각함수|[math(\arctan(x))]]] * [[역삼각함수|[math(\mathrm{arccot}(x))]]] * [[역삼각함수|[math(\mathrm{arccsc}(x))]]] * [[쌍곡선 함수|[math(\sinh(x))]]] * [[쌍곡선 함수|[math(\tanh(x))]]] * [[쌍곡선 함수|[math(\coth(x))]]] * [[쌍곡선 함수|[math(\mathrm{csch}(x))]]] * [[쌍곡선 함수#s-2.3|[math(\mathrm{arsinh}(x))]]] * [[쌍곡선 함수#s-2.3|[math(\mathrm{artanh}(x))]]] * [[쌍곡선 함수#s-2.3|[math(\mathrm{arcoth}(x))]]] * [[쌍곡선 함수#s-2.3|[math(\mathrm{arcsch}(x))]]] * [[삼각 적분 함수|[math(\mathrm{Si}(x))]]] * [[쌍곡선 적분 함수|[math(\mathrm{Shi}(x))]]] * [[프레넬 적분 함수|[math(S(x))]]] * [[프레넬 적분 함수|[math(C(x))]]] * [[르장드르 함수|[math(P_{2n+1}(x))](단, [math(n)]은 0 이상의 짝수)]] * [[에르미트 함수|[math(H_{2n+1}(x))](단, [math(n)]은 0 이상의 짝수)]] * [[오차함수|[math(\mathrm{erf}(x))]]] * [[오차함수#s-2.3|[math(\mathrm{erfi}(x))]]] * [[구데르만 함수|[math(\mathrm{gd}(x))]]] * [[구데르만 함수|[math(\mathrm{igd}(x))]]] * [[브링 근호|[math(\mathrm{BR}(x))]]] * [[타원 적분|[math(F(\phi,\,k))]]] * [[타원 적분|[math(E(\phi,\,k))]]] === 짝함수 === ## 함수 개형 [[추가바람]] * [[상수#s-1|[math(c)]]] * [[절댓값|[math(|x|)]]] * [[삼각함수|[math(\cos(x))]]] * [[삼각함수|[math(\sec(x))]]] * [[삼각함수/관련 함수#s-2.7|[math(\dfrac{\sin x}x)]]] * [[쌍곡선 함수|[math(\cosh(x))]]] * [[쌍곡선 함수|[math(\mathrm{sech}(x))]]] * [[삼각 적분 함수|[math((\Re \circ \mathrm{Ci})(x))]]][*iπ [math(x < 0)] 범위에서는 [math(i\pi)]가 더해지므로 짝함수로 만드려면 실수부를 취해야 한다.] * [[쌍곡선 적분 함수|[math((\Re \circ \mathrm{Chi})(x))]]][*iπ] * [[자연로그#s-4|[math((\Re \circ \mathrm{Log})(x))]]][*iπ ] * [[정규 분포|[math(\displaystyle e^{-x^2})]]] * [[디랙 델타 함수|[math(\delta(x))]]] * [[르장드르 함수|[math(P_{2n}(x))](단, [math(n)]은 0 이상의 짝수)]] * [[에르미트 함수|[math(H_{2n}(x))](단, [math(n)]은 0 이상의 짝수)]] * [[집합 판별 함수|[math(\bold{1}_{\mathbb Z}(x))]]] * [[집합 판별 함수|[math(\bold{1}_{\mathbb Q}(x))]]] * [[집합 판별 함수|[math(\bold{1}_{\mathbb I}(x))]]] * [[집합 판별 함수|[math(\bold{1}_{\mathbb R}(x))]]] * [[삼각파|[math(\mathrm{tri}(x))]]] * [[사각파|[math(\mathrm{rect}(x))]]] * [[혹 함수|[math(\Psi(x))]]] == 성질 == [math(f(-x)=f(x))]에서 점 [math((x,\,y))]가 그래프 위의 점이면 점 [math((-x,\,y))]도 그래프 위의 점이기 때문에 짝함수의 그래프는 [math(y)]축에 대하여 대칭이고, [math(f(-x)=-f(x))]에서 점 [math((x,\,y))]가 그래프 위의 점이면 점 [math((-x,\,-y))]도 그래프 위의 점이기 때문에 홀함수의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 수에서의 홀짝과는 특성이 다른데, 이는 다음과 같다. * 홀함수×홀함수=짝함수, 홀함수÷홀함수=짝함수 * 홀함수×짝함수=홀함수, 홀함수÷짝함수=홀함수, 짝함수÷홀함수=홀함수 * 짝함수×짝함수=짝함수, 짝함수÷짝함수=짝함수 홀함수를 [math(a)]가 홀수인 멱함수에, 짝함수를 [math(a)]가 짝수인 멱함수에 대응시키면 지수법칙에 따라 위의 곱하기(×)가 홀수(*)짝수 연산의 더하기(+)에, 나누기(÷)가 홀수(*)짝수 연산의 빼기(-)에 대응하는 것이라 생각하면 이해하기 쉽다. [[합성함수]]의 경우, 홀함수[math(\circ)]짝함수이든 짝함수[math(\circ)]홀함수이든 무조건 짝함수가 된다. 그런데, 홀함수끼리 합성하면 홀함수가 된다. 함수의 합성을 일종의 곱셈으로 이해하면, 짝수를 임의의 자연수에 곱하면 짝수가 되고, 홀수 곱하기 홀수는 홀수가 되는 점에 대응시켜보면 쉽게 이해할 수 있다. 정의역이 <math>x=0</math>에 대해 좌우대칭인 임의의 함수를 아래와 같이 짝함수와 홀함수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. <math>f(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}</math> === 미적분 === 홀함수를 [[미분]]하면 짝함수가 되고, 짝함수를 미분하면 홀함수가 된다. [[부정적분]]의 경우 홀함수를 적분하면 짝함수가 되지만, 반대로 짝함수를 적분하는 경우에는 적분상수의 존재 때문에 반드시 홀함수가 되리라는 보장이 없다. 단, [math(y)]축 위의 한 점에 대하여 [math(y)]절편을 [math(C)]([math(C)]: 적분상수)로 갖는, [math((0, C))] 좌표에 점대칭인 그래프를 갖는다. ==== [[정적분]] ==== 대칭함수의 성질을 가장 잘 활용하는 곳은 다름 아닌 정적분인데, 이는 함수의 그래프가 대칭인 특성상 적분식이 간단해지기 때문이다. 적분구간 [math([-a,\,a])] (단, [math(a>0)])에 대해서 다음이 성립한다. * 홀함수 : [math(\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}x = 0)] * 짝함수 : [math(\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}x = 2 \int_0^a f(x) \,\mathrm{d}x = 2 \int_{-a}^0 f(x) \,\mathrm{d}x)] 홀함수는 특성상 정적분 값은 0이 된다.[* 그래서 홀함수의 [[이상적분|[math((-\infty, \infty))] 구간열 적분]]을 구하는 것은 거의 금기 수준이다.][* 단, [[디리클레 함수]]는 홀함수가 아님에도 대칭 정적분 값이 0이다.] 그래서 정적분이 [[넓이]]를 구하기 위한 것이라면 [[절댓값]]을 취해 홀함수 부분은 0으로 날려버리고 짝함수 부분만 남긴 다음 위 대칭을 이용해 적분하면 편하다. === [[역함수]] === * 홀함수의 역함수는 직선 [math(y=x)]를 중심으로 선대칭을 한 홀함수가 된다. * 짝함수의 역함수는 [math(x)]축을 기준으로 선대칭을 이루는 '''[[음함수]]'''가 된다. [include(틀:문서 가져옴,title=함수,version=373)] [[분류:함수]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]