[목차] == 개요 == Graham's number [[수]]의 하나. 램지 이론이라는 [[조합론]]의 문제 중 하나에서 구해지는 수다. 간단히 말하자면 다음 조건을 만족하는 수. >''n''차원 [[초입방체]][* [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B4%88%EC%9E%85%EB%B0%A9%EC%B2%B4|한국어 위키백과]]에 초입방체에 대한 설명이 있으니 참고하자. 간단히 말하면 2차원은 정사각형, 3차원은 정육면체 등이다.]의 2^^''n''^^개의 꼭짓점을 모두 직선으로 연결한다. 그리고 이 선들을 2가지 색을 사용해 칠한다. 이 때 ''n''이 충분히 크다면 칠하는 방법에 상관없이 동일 2차원 평면상에 있는 네 점을 연결한 6개의 선이 모두 같은 색인 것이 반드시 존재한다. 여기서 나온 '충분히 큰' ''n'' 값이 바로 '''그레이엄 수'''이다. --차원이 그렇게 큰 게 더 무섭다.-- 그런데, 이 수가 상상조차 쉽게 할 수 없을 만큼 큰 수 라는 점이다. 아래 계산법을 보면 알겠지만, [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]만해도 쉽게 상상이 안되는 큰 수인데, 이건 겨우 처음 시작 부분에 위치하는 작은 수(?)이다. 다만, 실제로 인위적으로 창조한 수 중에서는 이보다 더 큰 수도 많다. [[피쉬 수]], [[BIGG]], [[http://googology.wikia.com/wiki/Meameamealokkapoowa_oompa|Meameamealokkapoowa oompa]] 같은 수는 그레이엄 수 보다 아득하게 더 크며, 이보다도 더 큰 수들도 얼마든지 많다.[* 당장 그레이엄 수에 1만 더해도 더 큰 수가 되기 때문이다.] 하지만 큰 수의 대표격으로 그레이엄 수가 언급되는 것은 '''"수학적 증명에서 등장하는 가장 큰 수"'''라는 실제적으로 '수학적 의미'를 가지고 있는 수이기 때문이다. == 일러두기 == * [[커누스 윗화살표 표기법]]과 [[테트레이션]] 그레이엄 수의 계산을 알기 위해서는 [[지수(수학)|거듭제곱]] 이상의 계산을 하기 위해 쓰이는 하이퍼 연산 표기법중의 하나인 커누스 윗화살표 표기법을 알아야 한다. 앞으로 테트레이션의 계산으로 [math(\underbrace {a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_b)] 의 형태가 많이 나올텐데 이 문서에서는 'a로 b개의 지수 탑을 쌓는다'라고 표현하겠다. * 표기 간략화 앞으로 [math(\underbrace {a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a}_{a가\;b개})]를 [math(\underbrace {a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a}_{b})]로 간략하게 나타내겠다. 그러므로 [math(\underbrace {a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a}_{b})]에서 [math(b)]는 [math(\uparrow)]가 아닌 [math(a)]가 모두 몇 개인지를 나타낸다. [math(\left. \begin{matrix} \underbrace a \\ \underbrace b \\ \underbrace {\vdots} \\ z \end{matrix} \right \} 26)] 마찬가지로 위의 표기에서도 26은 총 몇 층인지를 나타낸다. == 처음 알려진 그레이엄 수(大 그레이엄 수) == 1977년, 이 수가 그 문제의 답이라는 것을 수학자 [[로널드 그레이엄]]이 증명했고 기존에 [[스큐스 수]]가 가지고 있던 "수학적인 증명에서 나타나는 가장 [[큰 수]]" 타이틀을 뺏어왔다. 게다가 지금 스큐스 수는 계속 줄어들고 있다. 비록 그레이엄이 이 수가 문제의 답임을 구하긴 했지만 그 답이 천문학적이라는 수식어가 왜소할 정도로 큰 수인 관계로 수학자들은 이보다 더 작은 답이 없는지 계속 찾고 있다. === 계산 === 앞으로의 계산들에 넣은 괄호는 계산 순서가 어떻게 되는지 시각적으로 쉽게 이해할 수 있도록 넣은 것이지 괄호가 없어도 계산은 똑같이 된다. 그레이엄 수는 3이 주인공인 수이다. 먼저 2개의 3을 놓고 화살표를 1개씩 늘려보자. [math(3 \uparrow 3 = 3^3 = 27)] [math(\begin{aligned} 3 \uparrow\uparrow 3 & = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \\ & = 3 \uparrow 27 \\ & = 7625597484987 \end{aligned})] 벌써 이 단계에서 [math( 3 \uparrow\uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987)]. 즉 7조를 넘는다. [math(\begin{aligned} 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 & = 3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3 \\ & = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow 3 \uparrow 3) \\ & = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow 27) \\ & = 3 \uparrow\uparrow 7625597484987 \\ & = \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3}_{7625597484987} \end{aligned})] 위는 3을 거듭제곱으로 7,625,597,484,987개의 지수 탑을 쌓아 올린 것이다. 그러니까 [math(\underbrace {3^{3^{ ^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}}_{7625597484987})] 이란 얘기이다. 이미 이 단계에서부터 상상을 초월하는 큰 수가 나와버렸다.[* 앞에서 얘기했지만 지수에 지수가 있는 것이 반복된 형태는 위에 있는 지수부터 밑으로 계산해야 한다.[br]맨 위에 있는 지수 [math(3^3=27)][br]그 아래 [math(3^{3^3}=3^{27}=7625597484987)][br]그 아래 [math(3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987} \approx1.258×10^{3638334640024})][br]그 아래 [math(3^{3^{3^{3^3}}} \approx 3^{1.258×10^{3638334640024}} \approx 10^{10^{10^{12.56}}})]...[br]이렇게 이런 계산을 총 7,625,597,484,986번을 해야 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]가 나오니 말 다했다.] 2cm 크기로 3을 쓴다면 지구부터 태양까지 도달해야 완성할 수 있다. [math(\begin{aligned} 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3 & = 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 \\ & = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3) \\ & = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow 3 \uparrow 3)) \\ & = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow 27)) \\ & = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow 7625597484987) \\ & = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (\underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3}_{7625597484987}) \\ & = \underbrace{3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow 3}_{\underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3}_{7625597484987}} \end{aligned} \\ \qquad~\:\: \left. \begin{aligned} &&=\underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3} \\ && \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3} \\ && \underbrace{\qquad~~~ \vdots \qquad~~~} \\ && \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3} \\ && \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow 3}_{\displaystyle 3} \;\;\;~ \end{aligned} \right \} \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3}_{7625597484987})] 이는 3으로 3개의 지수 탑을 쌓고, 그렇게 나온 그 수를 개수로 해서 3으로 지수 탑을 쌓고, 다시 그 수를 개수로 해서 3으로 지수 탑을 쌓고, 다시 그 수를 개수로 해서 3으로 지수 탑을 쌓고... 이를 총 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3-1)]번을 해야 하는 수다. [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]이 얼마나 큰 수인지는 위에 나와있으니 알 것이다. [math(\left. \begin{matrix} \underbrace {3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}} \\ \underbrace {3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}} \\ \underbrace {\;\, \vdots \;\,} \\ \underbrace {3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}} \\ \underbrace {3^{3^3}} \\ 3 \end{matrix} \right \} \underbrace {3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}_{3^{3^3}})] 지수 형태로 나타내면 위와 같이 된다. [math(g_1 = 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3)] 이제 이 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3)]를 [math(g_n)]수열의 1번째 항이라고 정의한다. 이 수도 굉장할 정도로 큰 수지만 아직 그레이엄 수까지는 코빼기도 안 갔다. [math(g_2 = 3 \uparrow^{g_1} 3)] 2번째 항을 구하기 위해서는 역시 화살표의 개수를 늘려야 한다. 화살표가 몇개냐고? 바로 [math(g_1)]개이다. [math(g_2)]는 [math(3 \uparrow\uparrow \cdots \uparrow 3)]에서 ↑의 개수가 [math(g_1)]개, 즉 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3)]개라는 것이다. [math(g_3 = 3 \uparrow^{g_2} 3)] [math(g_4 = 3 \uparrow^{g_3} 3)] [math(g_5 = 3 \uparrow^{g_4} 3)] [math(\;\vdots)] [math(g_{64} = 3 \uparrow^{g_{63}} 3 = \text{Graham's\;number})] 그 다음 항을 구할 때도 마찬가지이다. [math(g_3)]은 화살표가 [math(g_2)]개, [math(g_4)]는 화살표가 [math(g_3)]개, [math(g_5)]는 화살표가 [math(g_4)]개 ... 이 과정을 계속하여 구한 64번째 항 [math(g_{64})]가 바로 '''그레이엄 수'''이다. 한마디로 정리하면, 그레이엄 수는 아래 [[점화식]]으로 정의된 수열 [math(\{g_{n}\})]의 제64항인 [math(g_{64})]라고 할 수 있다. ||<table bordercolor=#ffffff><table bgcolor=#ffffff><table align=center>[math(\displaystyle g_1 = 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3, \ g_{n+1} = 3 \uparrow^{g_n} 3 \quad (n \in \mathbb{N}) )] || [[https://www.youtube.com/watch?v=txajrEOTkuY|그레이엄 수 계산을 설명한 영상(영어)]] [[https://www.youtube.com/watch?v=PlnTKK2w9og|엄청 큰 수의 표기법(한국어)]] 일본어 백과사전에 따른 정식 표기는 아래와 같다. {{{#!folding [ 펼치기 ・ 접기 ] [math( 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3)] 이를 조금 더 간단히 나타내면 다음과 같다. [math(\left. \begin{matrix} 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ \underbrace {\quad~ \vdots \quad~} \\ 3 \underbrace {\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 \end{matrix} \right \} 64)]}}} 위에서 봤듯이 화살표가 한개 늘어갈 때마다 상상할 수 없는 속도로 수가 커지는데, 그레이엄 수는 화살표의 개수마저도 상상이 안가는 수만큼 필요한 것이다. 만약에 그레이엄 수가 모두 계산이 돼서 그 수를 나타낼 때, 각 자리의 숫자 하나가 플랑크 부피(4.22419×10^^−105^^ m^^3^^)만큼의 공간을 차지한다고 하더라도 관측 가능한 우주에 그레이엄 수의 숫자를 다 담아낼 수 없다. 만약 다중우주가 존재한다고 치고, 다중우주가 [[구골플렉스]]↑구골플렉스↑구골플렉스↑구골플렉스...를 구골플렉스번[* 줄여서 표현하자면 구골플렉스↑↑구골플렉스로 표현할 수 있다. 하이퍼 구골플렉스, 메가퓨거구골플렉스 라고도 부르며 이는 현재의 기술로도 계산이 불가능한 3↑↑↑3 으로도 비교할 수 없는 훨씬 큰 수다.] 반복한 만큼 있다고 해도 이 모든 우주는 그레이엄 수의 티끌만큼도 담아내지 못한다. 참고로 '''수소 원자의 부피가 6.54×10^^−32^^ m^^3^^ 정도 된다.''' 그리고, 관측 가능한 우주의 부피는 대략 3.4×10^^80^^ m^^3^^ 정도로 추정된다. 흔히 숫자가 클 때 표현하는 '천문학적이다'라는 표현도 이 수의 거대함을 표현하기에는 택도 없을 만큼 상상을 초월하는 수인 것이다. 다행히 콘웨이 화살표 표기법을 이용하면 [math(3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2)]보다 크고 [math(3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2)]보다 작은 수라고 표기할 수 있으며, [math(f(x) = 3 \rightarrow 3 \rightarrow x)]라고 두면 [math((\underbrace {f \circ f \circ \cdots \circ f}_{64})(4)=f^{64}(4))]와 같이 나타낼 수 있다고 한다. 참고로 마지막 500자리 숫자는 다음과 같다. [[https://brilliant.org/discussions/thread/last-10000-digits-of-grahams-number/|출처]][[http://en.wikipedia.org/wiki/Graham%27s_number|참고]][* [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]도 이미 계산이 불가능한 상황에 그레이엄 수를 다 계산했을 리는 없다. 저 숫자들은 일부만 계산했을 때 나타나는 법칙을 토대로 구해낸 것.] ||02425950695064738395657479136519351798334535362521430035401260267716226721604198106522631693551887803881448314065252616878509555264605107117200099709291249544378887496062882911725063001303622934916080254594614945788714278323508292421020918258967535604308699380168924988926809951016905591995119502788717830837018340236474548882222161573228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262464195387|| == 새로 알려진 그레이엄 수(小 그레이엄 수) == 많은 수학자들이 이 수의 더 작은 상한을 찾기 위해서 노력하였는데, 어느 수학자에 의해서 이 문제의 답이 [math(2 \uparrow\uparrow\uparrow 6)]보다 작다는 논문이 발표되었다. [[http://arxiv.org/pdf/1304.6910v1.pdf|arxiv의 논문 보기]] 단 arxiv의 특성상 이 논문에 오류가 없다는 것이 확인된 것은 아니다. 더 많은 수학자에 의해서 검증 받게 된 후에나 인정될 것이다. [math(2 \uparrow\uparrow\uparrow 6)]도 매우 큰 수긴 하나 기존의 그 끝을 알 수 없었던 원래의 수보다 굉장히 작은 수다.[* 대충 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]보다는 약간(?) 크지만 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3)]보다는 어마어마하게 작다.] 참고로 저 논문의 내용을 간단히 줄이면 그레이엄 수 [math(Graham(2) \leq TTT(4,2,6) + 1)]인것을 증명하였고, 거기에 추가로 [math(TTT(4,2,6) < HJ(4,2,6))]으로 바운드되며, [math(HJ(4,2,6) < 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (3 + 2 \uparrow\uparrow 8) < 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 9 < 2 \uparrow\uparrow\uparrow 6)]이라는 것을 계산한 것이다. === 계산 === [math(2 \uparrow\uparrow\uparrow 6)]을 한번 계산해보자. 먼저 화살표 표기법의 성질을 이용해서 [math(2 \uparrow\uparrow\uparrow 6)] [math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2)] [math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow 2))] [math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 4)] [math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow 2 \uparrow 2 \uparrow 2))] [math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow 2 \uparrow 4))] [math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow 16))] [math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 65536)] 으로 나타낼 수 있다. 여기서 제일 먼저 계산해야 하는 [math(2 \uparrow\uparrow 65536)]은 [math(\underbrace{2 \uparrow 2 \uparrow \cdots \uparrow 2}_{65536})]로 정의되고, 이 수가 얼마인지 가늠하기 위해 [math(2 \uparrow\uparrow 4)]부터의 계산을 살펴보자면 [math(2 \uparrow\uparrow 4 = 2^{2^{2^{2}}} = 65536)] [math(2 \uparrow\uparrow 5 = 2^{2^{2^{2^{2}}}} = 2^{65536} \approx 2 \times 10^{19728})] [math(2 \uparrow\uparrow 6 = 2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}} \approx 10^{10^{19727}})] [math(2 \uparrow\uparrow 7 = 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}} \approx 10^{10^{10^{19727}}})] [math(2 \uparrow\uparrow 8 = 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}} \approx 10^{10^{10^{10^{19727}}}})] [math(2 \uparrow\uparrow 9 = 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}}} \approx 10^{10^{10^{10^{10^{19727}}}}})] [math(2 \uparrow\uparrow 10 = 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}}}} \approx 10^{10^{10^{10^{10^{10^{19727}}}}}})] [math(\quad\,\vdots)] [math(2 \uparrow\uparrow 65536 = \underbrace {2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}_{65536} \approx \; \underbrace {\!\!10^{10^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{10}}}}}\!\!\!}_{65532}{}^{^{^{^{^{^{\,19727}}}}}})] 이렇게 2로 65536개의 지수 탑을 쌓은 수이다. [math(2 \uparrow\uparrow 7)]만 해도 [[구골플렉시안]]을 가뿐히 넘는 수가 나오게 되는데, 이 [math(2 \uparrow\uparrow 65536)] 앞에 [math(2 \uparrow\uparrow)]를 붙여 계산하는 것을 2번 더 해야 한다. [math(2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 65536 = \underbrace {2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}_{\displaystyle \underbrace {2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}_{65536}})] [math(2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 65536 = \underbrace {2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}_{\displaystyle \underbrace {2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}_{\displaystyle \underbrace {2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}_{65536}}})] 정리하면 [math(2 \uparrow\uparrow\uparrow 6)]은 2로 65536개의 지수 탑을 쌓아서 만든 수를 개수로 해서 2로 지수 탑을 쌓고 다시 그 수를 개수로 해서 2로 지수 탑을 쌓아서 만든 수이다. --세상에...-- 이 수도 결코 작은 수가 아닌데, 원래의 그레이엄 수에 비하면 상상조차 못 할 정도의 수는 아니다. == 관련 문서 == * [[큰 수]] * [[테트레이션]] * [[피쉬 수]] * [[모우저]] [[분류:큰 수]]