Bowers Exploding Array Function, 줄여서 BEAF는 매우 큰 수들을 표기하는 표기법 중 하나이다.

1. [math({a,b}=a^b)]

2. [math({a,1,b,c,d,...e}=a)]

3. [math({a,b,c,d,e...f,1}={a,b,c,d,e...f})]

4. [math({a,b,1,..,1,d,e,..,k} = {a,a,a,..,{a,b-1,1,..,1,d,e,..,k},d-1,e,..,k})]

5. [math({a,b,c,d, ..., k} = {a,{a,b-1,c,d,...,k},c-1,d,..,k})]

커누스 윗화살표 표기법을 사용하여, 확장 연산자를 다음과 같이 정의한다.

1. [math(a{c}b=auparrow^c b)]
2. [math(a{c}^db=underbrace{a{c-1}​^da{c-1}​^da{c-1}​^da...a{c-1}​^da}_b)]
3. [math(a{1}^d b=underbrace{a{a{a{a{....a{a}_b}^{d-1}a}^{d-1}...a}^{d-1}a}^{d-1})]

예를 들어, [math(3{4}3)]은 [math(3uparrow^43=3uparrow uparrow uparrow uparrow 3)] 이다.

그레이엄 수는 [math(3uparrow^n3=3{n}3)]의 커누스 화살표 탑이 63개 쌓여있고 끝에 [math(3uparrow^43=3{4}3)]이 있다고 생각할 수 있다. 즉 [math(underbrace{3{3{3{...3{4}3...}3}3}3}_{63}approx 3{{1}}64)]로 근사할 수 있다.

[math(a{c}^db = {a,b,c,d})]다.

이렇게 수 4개만 되더라도 커누스 윗 화살표로 표기할땐 화살표의 개수를 층으로 표현해야 된다.

그리고 {a,b,1}={a,b}다

{a,b,c}랑 {a,b,c,d}가 {a,b,c,d, ..., k} = {a,{a,b-1,c,d,...,k},c-1,d,..,k}가 성립하는걸 볼 수 있다.
{a,b,1,..,1,d,e,..,k} = {a,a,a,..,{a,b-1,1,..,1,d,e,..,k},d-1,e,..,k}은 수 4개부터 성립될거다.
{a,b,1}은 바로 {a,b,c,d,e...f,1}={a,b,c,d,e...f}가 성립되버리니까.