1. 개요
Probability current
양자역학에서는 불확정성 원리에 의해 입자의 위치나 운동량을 확정적으로 나타낼 수 없는 대신, 위치의 확률 밀도 함수로 나타낼 수 있다. 이때 입자의 시간과 위치에 따른 확률 밀도 함수를 [math( P(x,t) )]라 하면, 확률 흐름 밀도 [math( J(x,,t) )]는 다음과 같은 식을 만족한다.
양자역학에서는 불확정성 원리에 의해 입자의 위치나 운동량을 확정적으로 나타낼 수 없는 대신, 위치의 확률 밀도 함수로 나타낼 수 있다. 이때 입자의 시간과 위치에 따른 확률 밀도 함수를 [math( P(x,t) )]라 하면, 확률 흐름 밀도 [math( J(x,,t) )]는 다음과 같은 식을 만족한다.
[math( displaystyle {partial P over partial t} = - {partial J over partial x} )]
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즉, 확률 흐름 밀도는 시간에 따른 확률이 변하는 것을 나타낸다. 다만 확률 밀도 함수라는 것은 "입자가 [math( x=a )]와 [math( x=b )] 사이에서 발견될 확률" 같은 형태, 즉
[math( displaystyle P_{ab} = int_a^b P(x) , dx )]
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와 같은 식만 실제 확률의 값을 가진다. 따라서 확률 밀도 함수 또한 입자가 [math( x=a )]와 [math( x=b )] 사이에서 발견될 확률이 시간에 따라 어떻게 변하는 지를 계산하기 위해 사용된다. 이는 그냥 위 식을 [math( a )]부터 [math( b )]까지 [math( dx )]로 적분하면 된다.
[math( displaystyle {dP_{ab} over dt} = J(a,,t) - J(b,,t) )]
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즉 [math( J(a,,t) - J(b,,t) )]는 입자가 [math( a )]와 [math( b )] 사이에서 발견될 확률의 변화율을 나타낸다.
2. 공식
입자의 파동함수를 [math( Psi (x,t) )]라고 하면, 확률 밀도 함수는 [math( P(x,t) = {| Psi |}^2 )]이다. 이때 1차원의 경우 확률 흐름 밀도 [math( J )]는 다음과 같이 [math( Psi )]에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
[math( displaystyle J(x,,t) = - {{i hbar} over {2m}} left( Psi^ast {{partial Psi} over {partial x}} - {{partial Psi^ast} over {partial x}} Psi right) )]
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단, [math(m)]은 입자의 질량이고, [math(Psi^ast)]는 [math(Psi)]의 켤레복소수이다. 또한 3차원에서는 편미분을 그레이디언트로 바꿔서 일반화할 수 있다.
[math( displaystyle J(x,,t) = - {{i hbar} over {2m}} left( Psi^ast boldsymbol{ nabla} Psi - Psi boldsymbol{ nabla} Psi^ast right) )]
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