1. 개요
2. 정리
파일:namu_톨레미_1.svg
내접사각형 [math(rm ABCD)]에서,
[math(overline{rm AB}cdotoverline{rm CD}+overline{rm AD}cdotoverline{rm BC}=overline{rm AC}cdotoverline{rm BD})]
이 성립한다. 다른 말로 표현하자면,
내접사각형 [math(rm ABCD)]에서,
[math(overline{rm AB}cdotoverline{rm CD}+overline{rm AD}cdotoverline{rm BC}=overline{rm AC}cdotoverline{rm BD})]
이 성립한다. 다른 말로 표현하자면,
내접사각형의 두 대각선 길이의 곱은 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합이다.
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3. 증명
파일:namu_톨레미_2.svg
[math(angle{rm CAD}=angle{rm BAP})]가 되게 대각선 [math(overline{rm BD})]위에 점 [math(P)]를 잡는다. 또한, 원주 [math(AD)]에 대한 원주각에 의해 [math(angle{rm ABP}=angle{rm ACD})]이다.
[math(thereforetriangle{rm ABP}simtriangle{rm ACD} quad)]([math(rm AA)] 닮음)
변의 비를 구하면,
[math(begin{aligned} overline{rm AB}:overline{rm rm BP}&=overline{rm AC}:overline{rm CD} \ therefore overline{rm AB}cdotoverline{rm CD}&=overline{rm AC}cdotoverline{rm BP} quad cdots , small{(1)} end{aligned})]
이제 [math(angle{rm BAC}=angle{rm PAD})]이고, [math(angle{rm BCA}=angle{rm BDA})] (호 [math(rm AB)]에 대한 원주각)이므로
[math(triangle{rm ABC}simtriangle{rm APD} quad)] ([math(rm AA)] 닮음)
변의 비를 구하면,
[math(begin{aligned} overline{rm AC}:overline{rm BC}&=overline{rm AD}:overline{rm PD} \ therefore overline{rm BC}cdotoverline{rm AD}&=overline{rm AC}cdotoverline{rm PD}quad cdots , small{(2)} end{aligned})]
식 [math(small{(1)})]과 식 [math(small{(2)})]를 변끼리 더하면,
[math(overline{rm AB}cdotoverline{rm CD}+overline{rm AD}cdotoverline{rm BC}=overline{rm AC}left(overline{rm BP}+overline{rm PD}right)=overline{rm AC}cdotoverline{rm BD} )]
[math(angle{rm CAD}=angle{rm BAP})]가 되게 대각선 [math(overline{rm BD})]위에 점 [math(P)]를 잡는다. 또한, 원주 [math(AD)]에 대한 원주각에 의해 [math(angle{rm ABP}=angle{rm ACD})]이다.
[math(thereforetriangle{rm ABP}simtriangle{rm ACD} quad)]([math(rm AA)] 닮음)
변의 비를 구하면,
[math(begin{aligned} overline{rm AB}:overline{rm rm BP}&=overline{rm AC}:overline{rm CD} \ therefore overline{rm AB}cdotoverline{rm CD}&=overline{rm AC}cdotoverline{rm BP} quad cdots , small{(1)} end{aligned})]
이제 [math(angle{rm BAC}=angle{rm PAD})]이고, [math(angle{rm BCA}=angle{rm BDA})] (호 [math(rm AB)]에 대한 원주각)이므로
[math(triangle{rm ABC}simtriangle{rm APD} quad)] ([math(rm AA)] 닮음)
변의 비를 구하면,
[math(begin{aligned} overline{rm AC}:overline{rm BC}&=overline{rm AD}:overline{rm PD} \ therefore overline{rm BC}cdotoverline{rm AD}&=overline{rm AC}cdotoverline{rm PD}quad cdots , small{(2)} end{aligned})]
식 [math(small{(1)})]과 식 [math(small{(2)})]를 변끼리 더하면,
[math(overline{rm AB}cdotoverline{rm CD}+overline{rm AD}cdotoverline{rm BC}=overline{rm AC}left(overline{rm BP}+overline{rm PD}right)=overline{rm AC}cdotoverline{rm BD} )]
4. 톨레미 부등식
임의의 사각형에서,
[math(overline{rm AB}cdotoverline{rm CD}+overline{rm AD}cdotoverline{rm BC}geqoverline{rm AC}cdotoverline{rm BD})]
가 성립한다. 등호가 성립할 필요충분조건은 사각형이 원에 내접할 때이다.
평면에서의 증명은 원래 증명과 비슷하게 닮음이 되는 점 [math(rm P)]를 찍고 삼각부등식을 이용한다.
신기한 것은, 이 톨레미의 부등식은 평면 뿐만이 아니라 모든 차원의 사각형에 대해 성립한다! 이 경우는 일반성을 잃지 않고 3차원으로 간주한 뒤 [math(overrightarrow{rm AC} times overrightarrow{rm BD})]에 수직인 평면으로 사영을 시켜 증명할 수 있다.
[math(overline{rm AB}cdotoverline{rm CD}+overline{rm AD}cdotoverline{rm BC}geqoverline{rm AC}cdotoverline{rm BD})]
가 성립한다. 등호가 성립할 필요충분조건은 사각형이 원에 내접할 때이다.
평면에서의 증명은 원래 증명과 비슷하게 닮음이 되는 점 [math(rm P)]를 찍고 삼각부등식을 이용한다.
신기한 것은, 이 톨레미의 부등식은 평면 뿐만이 아니라 모든 차원의 사각형에 대해 성립한다! 이 경우는 일반성을 잃지 않고 3차원으로 간주한 뒤 [math(overrightarrow{rm AC} times overrightarrow{rm BD})]에 수직인 평면으로 사영을 시켜 증명할 수 있다.
5. 특별한 경우의 톨레미 정리
원을 직선으로 눌렀을 때도 톨레미의 정리는 성립한다. 한마디로, 직선 위의 점 [math(rm A)], [math(rm B)], [math(rm C)], [math(rm D)]에서도 위의 정리가 성립한다.
단순 계산으로 증명할 수 있다.
단순 계산으로 증명할 수 있다.
6. 여담
- 한국에서는 "프톨레마이오스의 정리" 보다는 영어식 발음인 "톨레미의 정리"라는 이름으로 더 많이 알려져 있다.
- 한국의 수학 교육과정에서는 가르치지 않고 수학 경시대회를 준비한다면 학원 같은 곳에서 배우게 된다. 하지만 비단 수학 경시대회가 아니더라도 이 톨레미의 정리는 알아놓으면 고등학교 때까지는 잘만 써먹는다. 삼각함수의 합차공식 등을 직각삼각형 2개만 그려 증명할 수도 있다.