분류
1. 개요
2. 실수의 절댓값
원 개념은 '음수와 양수에 관계없이 수직선에서 원점으로부터의 거리로 나타내보자!'이다. 실제의 거리는 절대 음수로 나타낼 수 없으므로.[1]
[math(|pm x| = x , mathrm{sgn}(x) = |x|geq 0 )]
실수 [math(x)]에 대해
[math(|pm x| = x , mathrm{sgn}(x) = |x|geq 0 )]
실수 [math(x)]에 대해
- [math(x > 0)]이면 [math(x)]는 +가 되므로, [math(|x| = x)]
- [math(x < 0)]이면 [math(x)]는 -가 되므로, 부호를 바꾸어 +로 만들어야 한다. 따라서 [math(|x| = -x)]
- [math(x＝0)]은 [math(x)]가 원점 자신인 자명한 경우로, [math(|x| = 0)][7]와 [math(0>x)]로 나누는게 계산하기 편하다.]
-
- x에 대한 함수 [math(f(x))]가 매끄럽다면, 절댓값을 씌운 [math(|f(x)|)]도 매끄럽다.
- [math(dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}|f(x)| = (mathrm{sgn} circ f)(x) cdot f'(x))]
- [math(dfrac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}x^2}|f(x)| = (mathrm{sgn} circ f'')(x) + 2(delta circ f)(x) [ f'(x) ]^2)]
- [math(displaystyle int | f(x) |,mathrm{d}x = (mathrm{sgn} circ f)(x) int f(x) + C)]
실수의 경우 부호만 알면 쉽게 제거할 수 있다. 따라서 절댓값은 항상 0보다 크거나 같고, 0의 절댓값은 0이다.
중등 수학 1학년 1학기에서 처음 배우는 내용이며 처음 배울 때 왜 -x가 양수가 되는 경우가 존재하는지 이해하지 못하는 학생이 많다. -는 수의 부호를 바꿔주는 의미가 있다는 사실을 숙지하고 있으면, 음수에 -를 붙이면 양수가 된다는 사실을 쉽게 받아들일 수 있다. 마이너스 표시만 있다고 무조건 음수가 되는 게 아니다! 절댓값에 대해 쉽게 설명한 영상.
주로 나오는 유형은
- 함수 전체에 절댓값이 있는경우: 예) [math(y=|x^2+5x+6|)] 그래프를 그려서 y<0인 부분은 y=0(x축)에 대칭이동 시킨다.
- 변수가 절댓값인 경우: 예) [math(y=|x|^2+5|x|+6)]에 x를 넣고 x≥0인 부분을 x=0(y축)에 대칭이동 시킨다.
- 각각에 절댓값이 있는 경우 : 예) [math(|x|+2|y|=4)] (마름모) 1사분면 (x,y축의 양의 방향 포함)의 모양을 (x, y)=(0, 0), 즉 원점에 대칭이동 시킨다.
- 절댓값 안이 다른경우: 예) [math(y=|x-5|+|x+5|)] 절댓값 안이 0이 나오는 값(여기선 x=±5)를 경계로 나누어서 푼다. [math(x<-5)] 면 [math(-2x, -5<x≤5)] 면 [math(10, x≥5)] 면 [math(2x)]
함수 자체는 간단한 경우가 많으므로 그래프로도 쉽게 풀 수 있다. 실수가 정의역일 경우 그래프는 V자를 그리는 짝함수의 형태이다.
파일:namu_극점_1.svg
수능 기출에도 종종 등장하는 등 절댓값은 중요하니 챙겨주자. 또 절댓값의 원리는 루트, 제곱에서도 등장하니 잘 알아두는 게 좋다.
3. 복소수의 절댓값([math(|z|)])
이 '원점으로부터의 거리'라는 절댓값의 정의를 이용하여 복소수에도 절댓값을 도입할 수 있다. [math( z = a+bi )] ([math( i )]는 허수단위)꼴의 복소수는 복소평면 상의 (a, b)라는 점으로 나타낼 수 있는데, 이 점과 원점 사이의 거리인 [math( sqrt{ Re(z)^2 + Im(z)^2} = sqrt{ a^2 + b^2} )] 이 복소수의 절댓값이 되는 것이다. 이 값은 [math(sqrt{zbar{z}} )]와 같다. [math( bar{z} )]는 [math( z )]의 켤레복소수(complex conjugate) [math( a-bi )]이다.
단, 실수에서와 다르게 복소수에서의 절댓값 함수는 모든 복소수에서 미분가능하지 않다.
단, 실수에서와 다르게 복소수에서의 절댓값 함수는 모든 복소수에서 미분가능하지 않다.
4. 집합의 절댓값([math(|S|)])
5. 행렬의 절댓값([math(|A|)])
[1] 대표적인 예가 삼각함수의 사분면에 따른 삼각함수의 음수 양수 여부다. 비록 x 좌표값과 y 좌표값은 음수가 될 수 있지만, 그 빗변(다시 말해 분모)은 절대 음수가 될 수 없으므로 사분면에 따른 사인과 코사인의 음,양수가 다양하게 된다.(탄젠트는 x, y 좌표값에만 영향을 받는다.)[2] 그냥 부등호를 [math(0≤x)[3] 다만 절댓값의 매끄러움을 보이려면 분포(Distribution) 개념이 필요하다. 절댓값의 미분이 왜 디랙 델타 함수로 가는가에 대한 수학적 연결고리를 만들어야 하기 때문. 이 때문인지 고등학교 수학에서는 일절 다뤄지지 않는 성질이고 오히려 미분 불가능이라고 가르치는 경우가 많다. 고등학교 수학에서 절댓값이 미분 불가능하다고 가르치는 것은 중학교 수학에서 복소수를 가르치지 않아 이차방정식 [math(x^2 + a = 0 (a > 0))[4] [math(dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}|x| = mathrm{sgn}(x), dfrac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}x^2}|x| = dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}mathrm{sgn}(x) = 2delta(x))[5] [math(displaystyle int |x| mathrm{d}x = frac{x^2}{2} mathrm{sgn} left( x right) + C)[6] n번 적분한 함수는 적분 상수를 0으로 두고 계산하면 [math(dfrac{x^{n}}{(n+1)!}|x|)[7] 그냥 부등호를 [math(0≤x)[8] 다만 절댓값의 매끄러움을 보이려면 분포(Distribution) 개념이 필요하다. 절댓값의 미분이 왜 디랙 델타 함수로 가는가에 대한 수학적 연결고리를 만들어야 하기 때문. 이 때문인지 고등학교 수학에서는 일절 다뤄지지 않는 성질이고 오히려 미분 불가능이라고 가르치는 경우가 많다. 고등학교 수학에서 절댓값이 미분 불가능하다고 가르치는 것은 중학교 수학에서 복소수를 가르치지 않아 이차방정식 [math(x^2 + a = 0 (a > 0))[9] [math(dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}|x| = mathrm{sgn}(x), dfrac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}x^2}|x| = dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}mathrm{sgn}(x) = 2delta(x))[10] [math(displaystyle int |x| mathrm{d}x = frac{x^2}{2} mathrm{sgn} left( x right) + C)[11] n번 적분한 함수는 적분 상수를 0으로 두고 계산하면 [math(dfrac{x^{n}}{(n+1)!}|x|)[12] [math(dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}|x| = mathrm{sgn}(x), dfrac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}x^2}|x| = dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}mathrm{sgn}(x) = 2delta(x))[13] [math(displaystyle int |x| mathrm{d}x = frac{x^2}{2} mathrm{sgn} left( x right) + C)[14] n번 적분한 함수는 적분 상수를 0으로 두고 계산하면 [math(dfrac{x^{n}}{(n+1)!}|x|)