1. 예제 1: 반사 방지막
[문제]
그림과 같이 굴절률 [math(n_{1},(z<0))], [math(n_{2},(z<0<d))], [math(n_{3},(z>d))]로 3개의 층으로 구성된 유전체를 고려하자. 그림과 같이 p편광된 빛을 [math(n_{1})] 영역에서 수직으로 입사했을 때, 다음 물음에 답하시오. (a) 반사율과 투과율을 구하시오. (b) 반사율이 최소로 되도록 하는 [math(d)]와 그 때의 반사율을 구하시오. (c) 반사율이 [math(0)]이 되기 위한 [math(n_{1})], [math(n_{2})], [math(n_{3})]의 관계식을 구하시오. (단, 유전체는 선형적이고 등방적인 물질이며, [math(n_{1}<n_{2}<n_{3})]이다.)
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파일:나무_삼층레이어.png
[풀이 보기]
(a)
각 영역에서 전기장과 자기장 세기은 아래와 같이 쓸 수 있다. 한 영역에선 [math(+z)]으로 이동하는 파와 경계에서 반사된 파 모두 존재한다는 사실에 주의하라.
| 영역 | 전기장 | 자기장 세기 |
| [math(x<0)] | [math( hat{mathbf{x}}[E_{1} e^{i (k_{1}z-omega t)}+E_{1}' e^{-i (k_{1}z+omega t)}] )] | [math( displaystyle hat{mathbf{y}} frac{n_{1}}{c mu_{0}}[E_{1} e^{i (k_{1}z-omega t)}-E_{1}' e^{-i (k_{1}z+omega t)}] )] |
| [math(0<x<d)] | [math( hat{mathbf{x}}[E_{2} e^{i (k_{2}z-omega t)}+E_{2}' e^{-i (k_{2}z+omega t)}] )] | [math( displaystyle hat{mathbf{y}} frac{n_{2}}{c mu_{0}}[E_{2} e^{i (k_{2}z-omega t)}-E_{2}' e^{-i (k_{2}z+omega t)}] )] |
| [math(x>d)] | [math( hat{mathbf{x}}E_{3} e^{i (k_{3}z-omega t)} )] | [math( displaystyle hat{mathbf{y}} frac{n_{3}}{c mu_{0}}E_{3} e^{i (k_{3}z-omega t)} )] |
[math(displaystyle begin{aligned} mathbf{E_{1}}(z=0) cdot hat{mathbf{t}}&=mathbf{E_{2}}(z=0) cdot hat{mathbf{t}} \ mathbf{E_{2}}(z=d) cdot hat{mathbf{t}}&=mathbf{E_{3}}(z=d) cdot hat{mathbf{t}} \ mathbf{H_{1}}(z=0) cdot hat{mathbf{t}}&=mathbf{H_{2}}(z=0) cdot hat{mathbf{t}} \ mathbf{H_{2}}(z=d) cdot hat{mathbf{t}}&=mathbf{H_{3}}(z=d) cdot hat{mathbf{t}} end{aligned} )]
를 쓰면, 4개의 방정식
[math(displaystyle begin{aligned} E_{1}+E_{1}'&=E_{2}+E_{2}' \ n_{1}(E_{1}-E_{1}')&=n_{2}(E_{2}-E_{2}') \ E_{2}e^{ik_{2}d}+E_{2}'e^{-ik_{2}d}&=E_{3}e^{ik_{3}d} \ n_{2}(E_{2}e^{ik_{2}d}-E_{2}'e^{-ik_{2}d})&=n_{3}E_{3}e^{ik_{3}d} end{aligned} )]
이 나온다. 따라서 이 방정식을 통해 [math(E_{3}/E_{1})]을 구할 수 있으며, 그 값은,
[math( displaystyle frac{E_{3}}{E_{1}}=frac{1}{2} left[ left(1+ frac{n_{3}}{n_{1}} right) cos{(k_{2}d)}-i left( frac{n_{2}}{n_{1}}+frac{n_{3}}{n_{2}} right) sin{(k_{2}d)} right] e^{ik_{3}d} )]
이 된다. 이것으로 부터 투과율은 쉽게 결정되며, 그 값은,
[math( displaystyle begin{aligned} frac{1}{T}&=frac{n_{1}}{n_{3}} left| frac{E_{1}}{E_{3}} right|^{2} \ &=frac{1}{4} frac{n_{1}}{n_{3}} left[ left(1+ frac{n_{3}}{n_{1}} right)^{2} cos^{2}{(k_{2}d)}+ left( frac{n_{2}}{n_{1}}+frac{n_{3}}{n_{2}} right)^{2} sin^{2}{(k_{2}d)} right] \ &=frac{1}{4n_{1}n_{3}} left[ (n_{1}+n_{3})^{2}+frac{(n_{1}^{2}-n_{2}^{2})(n_{3}^{2}-n_{2}^{2})}{n_{2}^{2}} sin^{2}{(k_{2}d)} right] end{aligned} )]
따라서 반사율은
[math(displaystyle T+R=1 )]
을 만족해야 하므로
[math( displaystyle R=1-4n_{1}n_{3} left[ (n_{1}+n_{3})^{2}+frac{(n_{1}^{2}-n_{2}^{2})(n_{3}^{2}-n_{2}^{2})}{n_{2}^{2}} sin^{2}{(k_{2}d)} right]^{-1} )]
(b)
[math(n_{1}<n_{2}<n_{3})]을 만족할 때, 일반물리학에서 배웠던 박막 간섭 조건을 쓰자. 반사에 의한 파들이 소멸 간섭될 조건은
[math(displaystyle 2n_{2}d=lambda_{0}left(m+frac{1}{2} right) ,,(m=0,,1,,2,, cdots) )]
이다. [math(lambda_{0})]는 진공에서 입사한 빛의 파장을 말한다. 따라서 위 조건에서 [math(d)]가 최솟값이 되려면,
[math(displaystyle d=frac{lambda_{0}}{4n_{2}}=frac{2pi c/omega}{4k_{2}c/omega} , rightarrow , k_{2}d=frac{pi}{2} )]
따라서 반사율의 최솟값은
[math( displaystyle begin{aligned} R&=1-4n_{1}n_{3} left[ (n_{1}+n_{3})^{2}+frac{(n_{1}^{2}-n_{2}^{2})(n_{3}^{2}-n_{2}^{2})}{n_{2}^{2}} right]^{-1} \ &=left( frac{n_{1}n_{3}-n_{2}^{2}}{n_{1}n_{3}+n_{2}^{2}} right)^{2} end{aligned} )]
이 된다.
(c)
반사율이 0이 될 조건은 (b)에서 도출된 반사율을 사용하면, 분자가 0이 되어야 함에 따라
[math( displaystyle n_{2}=sqrt{n_{1}n_{3}} )]
이 된다.
2. 예제 2 전반사 후 편광
[문제]
입사면에 대해 [math(+45^{circ})]만큼 기울어지게 선형 편광된 전자기파(아래 그림 참조)가 두 매질의 유전체 경계면에 전반사된다. 전반사된 전자기파가 (a) 선형 편광될 조건을 구하시오. (b) p편광, s편광 된 빛이 전반사 후에 갖는 위상을 각각 [math(varphi_{p})], [math(varphi_{s})]라 하자. [math(varphi_{p}-varphi_{s}=pi/2)]를 만족하면, 전반사 후 원 편광이 되는지를 말하시오.
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파일:나무_유전체_예제_2.png
[풀이 보기]
입사한 전자기파의 전기장 진폭을 [math(E_{0})]라 두면, p편광, s편광된 빛의 진폭은 각각 [math(E_{0}/sqrt{2})]가 된다.[1] 그런데, 우리는 전반사 될 때, 반사 계수
[math( displaystyle r_{p}=frac{i beta n_{1}-n_{2}cos{theta_{1} }}{i beta n_{1}+n_{2}cos{theta_{1} }} qquad qquad r_{s}=frac{n_{1}cos{theta_{1}}-i beta n_{2}}{n_{1}cos{theta_{1}}+i beta n_{2}} )]
임을 이미 알고 있다. 또한, 위 값들은 복소수량이므로
[math( displaystyle r_{p}=left| r_{p} right|e^{i (phi_{p}+pi)} qquad qquad r_{p}=left| r_{p} right|e^{i phi_{s}} )]
으로 쓸 수 있다. 이때,
[math( displaystyle tan{frac{phi_{p}}{2}}=-frac{ n_{1} beta }{n_{2}cos{theta_{1} }} qquad qquad tan{frac{phi_{s}}{2}}=-frac{ n_{2} beta }{n_{1}cos{theta_{1} }} )]
이다. 따라서
[math( displaystyle varphi_{p}=phi_{p}+pi qquad qquad varphi_{s}=phi_{s} )]
이 된다.
위 식들에서 [math(beta)]를 소거하기 위해
[math( displaystyle beta^{2}=-cos^{2}{theta_{2}} qquad qquad sin{theta_{2}}=frac{n_{1}}{n_{2}} sin{theta_{1}} )]
를 쓰면,
[math( displaystyle -beta^{2}+left( frac{n_{1}}{n_{2}} sin{theta_{1}} right)^{2}=1 , rightarrow , beta=sqrt{left( frac{n_{1}}{n_{2}} sin{theta_{1}} right)^{2}-1} )]
이므로
[math( displaystyle beta=frac{n_{1}}{n_{2}} sqrt{ sin^{2}{theta_{1}} -(n_{2}/n_{1})^{2} } )]
이상에서
[math( displaystyle tan{frac{phi_{p}}{2}}=-frac{ sqrt{ sin^{2}{theta_{1}} -(n_{2}/n_{1})^{2} } }{(n_{2}/n_{1})^{2}cos{theta_{1} }} qquad qquad tan{frac{phi_{s}}{2}}=-frac{ sqrt{ sin^{2}{theta_{1}} -(n_{2}/n_{1})^{2} } }{cos{theta_{1} }} )]
로 구해진다. 비록 구하지는 않겠지만,
[math( displaystyle left| r_{p} right|=left| r_{s} right|=1 )]
임을 알 수 있다. 따라서 전반사 후 p편광, s편광된 전자기파의 진폭은
[math( displaystyle left| r_{p} right| frac{E_{0}}{sqrt{2}}=left| r_{s} right| frac{E_{0}}{sqrt{2}}=frac{E_{0}}{sqrt{2}} )]
으로 모두 같다.
(a)
전반사된 전자기파가 선형 편광되려면, 전반사 후 p편광, s편광된 각 파가 위상이 [math(varphi_{p}-varphi_{s}=m pi)] ([math(m)]은 정수)을 만족하면 된다. 자세한 것은 전자기파 문서를 참조하라. 그런데 이미
[math( displaystyle varphi_{p}=phi_{p}+pi qquad qquad varphi_{s}=phi_{s} )]
임을 알고 있고, 두 위상각은 [math(pi)] 만큼 차이난다는 사실을 알 수 있다. 따라서
[math( displaystyle phi_{p}=phi_{s} )]
를 만족하면 선형 편광이 된다. 따라서 이것이 만족하려면,
[math( displaystyle sin{theta_{1}}=frac{n_{1}}{n_{2}} qquad mathrm{or} qquad theta_{1}=frac{pi}{2} )]
을 만족해야 한다. 즉, 임계각으로 입사하거나, 평행 입사시켜야 한다.
(b)
원형 편광이 되려면, 전반사 후 p편광, s편광된 전자기파의 진폭은 같아야 하는데, 이것은 이미 위에서 증명했다. 또한, 문제에서 주어진 조건은 수직인 파가 서로 위상차 [math(pi/2)]를 가지므로 원편광 될 수 있다.[2] 다만, 우리는 추가적으로 두 굴절률에 대한 조건을 구해야 한다. 위상차
[math( displaystyle varphi_{p}-varphi_{s} equiv Delta varphi )]
라 하자. 우리는 원형 편광이 되려면 [math( displaystyle Delta varphi=pi/2 )]이 돼야 한다는 것을 이미 알고 있다. 이때,
[math( displaystyle Delta varphi=2 left[ tan^{-1} left( -frac{ sqrt{ sin^{2}{theta_{1}} -(n_{2}/n_{1})^{2} } }{(n_{2}/n_{1})^{2}cos{theta_{1} }} right)-tan^{-1} left( -frac{ sqrt{ sin^{2}{theta_{1}} -(n_{2}/n_{1})^{2} } }{cos{theta_{1} }} right) right]+pi )]
이고, 이것의 극값을 조사해보도록하자. 이것이 극값을 가질 조건은
[math( displaystyle frac{partial (Delta varphi)}{partial k}=0 )]
이다. 이때,
[math( displaystyle k equiv frac{ sqrt{ sin^{2}{theta_{1}} -(n_{2}/n_{1})^{2} } }{cos{theta_{1}} } )]
라 놓으면, 각종 관계에 의해
[math( displaystyle Delta varphi=2 left[ tan^{-1} {left(- k frac{n_{1}^{2}}{n_{2}^{2}} right)}-tan^{-1}{(-k)} right]+pi )]
로 쓸 수 있다. 이 함수가 극값을 가질 때의 위상차를 [math(Phi)]라 놓으면, 극값을 갖는
[math( displaystyle k=frac{n_{2}}{n_{1}} )]
이므로
[math( displaystyle frac{Phi}{2} =tan^{-1} left( -frac{n_{1}}{n_{2}} right)- tan^{-1} left( -frac{n_{2}}{n_{1}} right)+frac{pi}{2} )]
그런데 우리가 만족시켜야 할 조건은
[math( displaystyle Delta varphi =frac{pi}{2} , rightarrow , tan{left( frac{Delta varphi}{2} right)}=1 )]
이고, 맨 아래의 그래프의 형태를 참조할 때, 극솟값은 [math(pi/2)]보다 같거나 작아야 한다는 사실을 알 수 있다. 즉,
[math( displaystyle Phi leq frac{pi}{2} )]
이 성립해야 가질 수 있는 위상차 중 [math(pi/2)]를 포함하게 된다. 따라서
[math( displaystyle tan{left( frac{Phi}{2} right)} leq tan{left( frac{Delta varphi}{2} right)}=1 )]
을 만족해야한다는 사실을 알 수 있다. 이때,
[math( displaystyle tan{left( frac{Phi}{2} right)}=frac{2(n_{2}/n_{1})}{1-(n_{2}/n_{1})^2} )]
임을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서
[math( displaystyle frac{2(n_{2}/n_{1})}{1-(n_{2}/n_{1})^2} leq 1 )]
의 부등식이 작성되고, 우리는 전반사를 다루고 있기 때문에
[math( displaystyle 0<frac{n_{2}}{n_{1}}<1 )]
또한 만족해야 하므로 이 두 부등식을 동시에 만족시켜주는 범위는
[math( displaystyle 0< frac{n_{2}}{n_{1}} leq sqrt{2}-1 )]
가 된다. 따라서 모든 내용을 정리하면, 문제에서 주어진 조건에서 전반사된 파가 원형 편광 되는 것은 가능하며, 추가 조건
[math( displaystyle 0< frac{n_{2}}{n_{1}} leq sqrt{2}-1 )]
을 만족할 때만 원형 편광이 일어난다.
아래는 위에서의 [math(Delta varphi)], [math(varphi_{p})], [math(varphi_{s})]를 [math(theta_{1})](입사각)의 함수로 그려본 것이다.
파일:나무_전반사 후 편광_그래프_수정.png
3. 예제 3 : 도체 박막
[문제]
그림과 같이 진공과, 도체로 이루어진 세 영역이 있다. 도체 영역의 두께 [math(d=15 , mathrm{nm})]이다. p편광된 전자기파를 도체에 수직입사 시킬 때, [math(z=0)] 경계면에서 입사파와 투과파, [math(z=d)] 경계면에서 입사파와 투과파의 전기장의 진폭을 구하시오. 초기 입사시킨 파의 전기장 진폭은 [math(E_{1}=6.00,mathrm{V/m})]이고, 입사시킨 파의 진동수는 [math(10^{15},mathrm{Hz})]이고, 도체의 전기 전도도는 [math(38.6 times 10^6 ,(Omega cdot mathrm{m})^{-1})]이다. (단, 모든 매질의 자기 감수율은 [math(1)]이다.)
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파일:나무_도체박막예제.png
[풀이 보기]
도체 영역의 굴절률은 다음과 같이 구할 수 있다.
[math( displaystyle tilde{n_{2}} =n_{2}+ik_{2} )]
그런데 전기 전도도 [math(sigma_{c} gg 1)]을 만족하므로
[math( displaystyle n_{2}=k_{2}=sqrt{frac{sigma_{c}}{2 varepsilon_{0} omega }}=1.86 )]
으로 쓸 수 있다. 자세한 것은 이곳을 참조하라. 이때, [math(n_{1}=1)]이므로 투과 계수를 이용하면,
[math(displaystyle tilde{t}=frac{2n_{1}}{n_{1}+(n_{2}+ik_{2})} )]
그런데 우리는 진폭 만을 고려하므로, 위상과 관련된 것은 우리의 관심사가 아니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle frac{E_{1}}{E_{0}}=left| tilde{t} right| )]
이에 따라
[math(displaystyle E_{1}=4.19 , mathrm{V/m} )]
가 된다. 우리는 전자기파 문서에서 이미 도체 내의 전자기파는 급격이 감쇠된다는 것을 논의했고, 그 감쇠비는 아래와 같음을 논의했다.
[math(displaystyle exp{left(-frac{z}{delta} right) } )]
이때, [math(delta)]는 침투 깊이이며, 다음과 같이 주어진다.
[math( displaystyle delta equiv frac{c}{omega k_{2}}= sqrt{frac{2 }{sigma_{c} mu_{0} omega}})]
따라서
[math( displaystyle E_{2}=E_{1}exp{left(-frac{d}{delta} right) } )]
이므로 주어진 값을 대입하면,
[math(displaystyle E_{2}=1.56 times 10^{-25} , mathrm{V/m} )]
이다. 사실 상 0에 가깝게 감쇠되었음을 알 수 있다. 처음에 진공으로 부터 도체로 입사할 때와 비슷한 방법으로
[math(displaystyle frac{E_{3}}{E_{2}}=left| frac{2(n_{2}+ik_{2})}{n_{1}+(n_{2}+ik_{2})} right| )]
이므로 주어진 값을 대입하면,
[math(displaystyle E_{3}=2.03 times 10^{-25} , mathrm{V/m} )]
으로 구할 수 있다. 이 예제는 금속에 전자기파가 투과되었을 때, 급격히 감쇠된다는 것을 보여준다.
[1] p편광은 입사면에 대해 평행하게, s편광은 입사면에 수직하게 전기장이 진동하는 것을 상기하라.[2] 이것에 대한 자세한 설명은 전자기파 문서의 편광 관련된 부분의 설명을 참조하라.