문서:전류/정상 전류와 경계치 문제/관련 예제

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1. 예제 1 : 균일하지 않은 매질에 파묻힌 구2. 예제 2 : 정전기학 문제와 유사성

1. 예제 1 : 균일하지 않은 매질에 파묻힌 구[편집]

[문제]
그림과 같이 반지름 aa인 고도로 대전된 구의 반 만큼 매질 2에 파묻혀있다. 구로 부터 지표로 흘러가는 전류 II가 있을 때, 구와 지표 간의 저항을 구하시오. (단, 두 매질은 옴의 법칙을 만족한다.)

파일:나무_정상전류_예제1.png

[풀이 보기]

우리는 구의 중심으로 부터 반지름 rr인 반구의 표면을 영역 SS라 하자. 조건에 의해 매질 2에서

∭SJ⋅da=I\displaystyle \iiint_{S} \mathbf{J} \cdot d \mathbf{a}=I

구면 대칭에 의해 J\mathbf{J}는 방사적이므로 전류 밀도는 아래와 같다.

J=I2πr2r^\displaystyle \mathbf{J}=\frac{I}{2 \pi r^{2}} \hat{\mathbf{r}}

따라서 우리는 두 매질이 옴의 법칙을 만족 함에 따라 Ei=Ji/σi\mathbf{E}_{i}={\mathbf{J}_{i}}/{\sigma_{i}}로 구할 수 있고,

E2=I2πσ2r2r^E1=I2πσ1r2\displaystyle \mathbf{E}_{2}=\frac{I}{2 \pi \sigma_{2} r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \qquad \qquad \mathbf{E}_{1}=\frac{I}{2 \pi \sigma_{1} r^{2}}

으로 구할 수 있다. 따라서 우리는 구와 지표 사이의 전위차를 아래와 같이 구할 수 있다.

V=−∫r=ar=bE2⋅dr−∫r=br=∞E1⋅dr=−∫r=ar=bI2πσ2r2 dr−∫r=br=∞I2πσ1r2 dr=I2πσ2(1a−1b)+I2πσ1b\displaystyle \begin{aligned} V&=-\int_{r=a}^{r=b} \mathbf{E}_{2}\cdot d \mathbf{r}-\int_{r=b}^{r=\infty} \mathbf{E}_{1}\cdot d \mathbf{r} \\ &=-\int_{r=a}^{r=b} \frac{I}{2 \pi \sigma_{2} r^{2}}\,dr-\int_{r=b}^{r=\infty} \frac{I}{2 \pi \sigma_{1} r^{2}} \,dr \\ &=\frac{I}{2 \pi \sigma_{2}}\left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)+ \frac{I}{2 \pi \sigma_{1}b} \end{aligned}

따라서 구와 지표 간의 저항은 R=V/IR=V/I이므로

R=12πσ2(1a−1b)+12πσ1b\displaystyle R=\frac{1}{2 \pi \sigma_{2}}\left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)+ \frac{1}{2 \pi \sigma_{1}b}

이 된다.

2. 예제 2 : 정전기학 문제와 유사성[편집]

[문제]
진공 중에 매우 얇고 넓은 두 금속판이 각각 x=0x=0, x=2dx=2d에 놓여져있고, 그 사이의 0<x<d0<x<d에 전기 전도도가 σ1\sigma_{1}이고, d<x<2dd<x<2d에 전기 전도도가 σ2\sigma_{2} 유전 물질을 채웠다. 한 쪽 금속판은 접지돼있고, 다른 쪽은 퍼텐셜 Φ=V\Phi=V로 유지시킬 때, 두 금속판 사이의 전기장 분포와 전류 밀도 분포, 경계에서의 자유 전하 밀도, 계의 저항을 구하시오. (단, 금속판의 넓이는 AA이다.)

[풀이 보기]

우리는 정전기적 문제와의 유사성으로 이 문제를 풀 수있다. 이 예제를 참고하라. 해당 예제에서 κϵ0→σ1\kappa \epsilon_{0} \rightarrow \sigma_{1}와 ϵ0→σ2\epsilon_{0} \rightarrow \sigma_{2}로 대치함으로써 구할 수 있다. 두 금속판 사이의 전기장은

{E1=−Vd(σ2σ1+σ2)x^(0<x<d)E2=−Vd(σ1σ1+σ2)x^(d<x<2d)\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \mathbf{E}_{1}=-\frac{V}{d}\left(\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}+\sigma_{2}} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(0<x<d)\\ \\ \displaystyle \mathbf{E}_{2}=-\frac{V}{d}\left(\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{1}+\sigma_{2}} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(d<x<2d)\end{array}\right.

로 구해지고, 우리는 옴의 법칙을 만족하는 매질만을 다루므로,

J=−Vd(σ1σ2σ1+σ2)x^(0<x<2d)\displaystyle \mathbf{J}=-\frac{V}{d}\left(\frac{\sigma_{1}\sigma_{2}}{\sigma_{1}+\sigma_{2}} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(0<x<2d)

임을 알 수 있다. 우리는 매질의 경계면 x=dx=d의 법선 벡터가 x^\hat{\mathbf{x}}인 것을 참고하면,

J1⋅n^=J2⋅n^\displaystyle \mathbf{J}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}= \mathbf{J}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}}

이 성립함을 이 예제에서 알 수 있다.

주의해야 할 것은 전기 변위장 문서에서 이 문제를 다룰 때는 자유 전하가 없다고 했지만, 우리는 전류가 흐르는 상황을 고려하므로 이 예제에서는 경계면에 자유 전하가 모이게 된다는 점이다. 따라서 경계에서의 자유 전하는

D2⋅n^−D1⋅n^=σf\displaystyle \mathbf{D}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{D}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}= \sigma_{f}

으로 구할 수 있으므로

ϵ2E2−ϵ1E1=σf\displaystyle \epsilon_{2}E_{2}-\epsilon_{1}E_{1}= \sigma_{f}

을 이용하면, 경계에서의 자유 전하 밀도가 나온다:

σf=ϵ1σ2−ϵ2σ1d(σ1+σ2)V\displaystyle \sigma_{f}=\frac{\epsilon_{1}\sigma_{2}-\epsilon_{2}\sigma_{1}}{d(\sigma_{1}+\sigma_{2})}V


우리는 계의 저항 R=V/IR=V/I로 구할 수 있었으므로 저항은

R=VJA=Vσ1E1A=Vσ2E2A\displaystyle R=\frac{V}{JA}=\frac{V}{\sigma_{1}E_{1}A}=\frac{V}{\sigma_{2}E_{2}A}

이때, 위의 정보를 모두 종합하면, 아래와 같이 쓸 수 있음을 얻는다. 이것은 위키러의 몫으로 남겨둔다.

R=d(σ1+σ2)σ1σ2A\displaystyle R=\frac{d(\sigma_{1}+\sigma_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}A}

그런데, 이 식을 잘 분해하면,

R=1σ1dA+1σ2dA\displaystyle R=\frac{1}{\sigma_{1}}\frac{d}{A}+\frac{1}{\sigma_{2}}\frac{d}{A}

으로, 결국엔 각각의 저항의 합임을 알 수 있다. 우리가 저항의 연결에서 배웠던 것을 생각하면, 이 문제는 결국 두 저항이 직렬로 연결되어 있으므로 타당한 결과를 얻었음을 알 수 있다.