1. 예제 1
[문제]
그림과 같이 진공 공간의 [math(x)]축 위 [math(0 leq x leq L)] 영역 위에 선전하밀도 [math(lambda = alpha (L-x) )]로 대전된 막대가 놓여져 있다. 점 [math( mathrm{P}(2L,,0) )]에서 전기장을 구하시오.(단, [math(alpha)]는 상수이다.)
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파일:나무_전기장_예제1.png
[풀이 보기]
막대의 미소 전하 [math(dq=lambda , dx')]의 위치를 [math( mathbf{r'}=x' hat{mathbf{x}} )][1]로 잡을 수 있고, 전기장을 구하는 영역의 위치 벡터는 [math(mathbf{r}=2Lhat{mathbf{x}})]인 것을 이용하면, 점 [math(mathrm{P})]의 미소 전기장은
[math(displaystyle d mathbf{E}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} frac{alpha(L-x)}{| (2L-x')hat{mathbf{x}} |^{3} }[(2L-x')hat{mathbf{x}}],dx' )]
따라서 우리는 [math(0 leq x' leq L)]영역의 적분을 수행함으로써, 구하는 영역의 전기장을 얻는다:
[math(displaystyle begin{aligned} mathbf{E}&=frac{alpha}{4 pi varepsilon_{0}} hat{mathbf{x}} int_{0}^{L}frac{L-x'}{ (2L-x')^{2} },dx' \ &=frac{alpha}{4 pi varepsilon_{0}} left[ ln{2}-frac{1}{2} right] hat{mathbf{x}} end{aligned} )]
2. 예제 2
[문제]
그림과 같이 진공 공간의 [math(xy)]평면 위에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [math(R)]인 균일한 표면 전하 밀도 [math(sigma)]로 대전된 원판이 있다. [math(z)]축 위의 한 점 [math(mathrm{P})]에서의 전기장을 구하시오.
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파일:나무_전기장_예제2_수정.png
[풀이 보기]
이 문제를 푸는 데에 있어, 가장 유용한 원통 좌표계를 사용한다.
원판 위의 미소 전하가 있는 위치 벡터를 [math(mathbf{r'}=rho' hat{boldsymbol{rho}})]로 놓고, 미소 전하 [math( sigma , da'=sigma rho' , d rho' d phi' )]로 놓을 수 있다. 또한 전기장을 구하는 영역에 대한 위치 벡터 [math(mathbf{r}=z hat{mathbf{z}})]임을 아므로, 구하는 영역의 미소 전기장은
[math(displaystyle dmathbf{E}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} frac{ sigma rho' , d rho' d phi' }{| z hat{mathbf{z}}-rho' hat{boldsymbol{rho}} |^{3}} (z hat{mathbf{z}}-rho' hat{boldsymbol{rho}}) )]
이 적분을 [math( 0 leq rho' leq R )], [math( 0 leq phi' leq 2pi )]에 대해서 수행하면 된다. 그러나, [math(hat{boldsymbol{rho}})]는 적분의 기저 벡터로 부적합하므로 이것을 다시 직교 좌표로 바꿔 적분을 해야한다. 즉, 우리는
[math(displaystyle dmathbf{E}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} frac{ sigma rho' , d rho' d phi' }{| z hat{mathbf{z}}-rho' hat{boldsymbol{rho}} |^{3}} [z hat{mathbf{z}}-rho' (cos{phi} hat{mathbf{x}}+sin{phi} hat{mathbf{y}} ) ] )]
를 적분해줘야 하는 것이다. 그런데, [math(phi)]대칭성에 따라 [math(x)], [math(y)] 성분은 적분 후 상쇄될 것이므로 우리는 최종적으로
[math(displaystyle mathbf{E}=frac{sigma z}{4 pi varepsilon_{0}} hat{mathbf{z}} int_{0}^{R} frac{ rho' }{ (z^{2}+rho'^{2})^{3/2} } , d rho' int_{0}^{2pi} d phi' )]
만 계산해주면 되는 것이다. 따라서 이 적분의 결과로서 우리는 다음의 구하는 전기장을 얻는다:
[math(displaystyle mathbf{E}= frac{sigma }{2 varepsilon_{0}} left[ frac{z}{|z|}-frac{z}{sqrt{R^{2}+z^{2} }} right] hat{mathbf{z}} )]
만약 우리가 [math(R to infty)]를 고려한다면, 이것은 곧 표면 전하 밀도 [math(sigma)]로 대전된 무한한 판의 전기장을 구하는 문제와 동치가 된다. 따라서 우리는 [math(R to infty)]일 때,
[math(displaystyle displaystyle mathbf{E} to frac{sigma }{2 varepsilon_{0}} frac{mathbf{z}}{|z|} )]
를 얻는데, 이것은 가우스 법칙 등으로 구한 것과 일치된 결과를 얻는다. 이 예제와 결과를 비교해보라.
[1] 프라임은 전하의 좌표계란 점을 강조하기 위해 붙였다.