1. 개요
2. 산술함수의 성질
2.1. 승법성
산술함수 [math(f : mathbb{N} rightarrow mathbb{C})]가 승법 함수 및 곱셈적 함수(multiplicative function)라는 것은, 서로소인 [math(m,n)]에 대해 [math(f(mn) = f(m) f(n))]이란 것을 의미한다. 승법 함수는 소수의 거듭제곱꼴 [math(p^e)]에서의 값을 알면 모든 값을 알 수 있다. 약수의 개수, 합, 오일러 파이 함수 등 상당히 많은 함수들이 승법성을 만족시킨다.
완전 승법 함수 및 완전 곱셈적 함수(completely multiplicative function)는 위 조건이 모든 [math(m,n)]에 대해 만족되는 함수이고, 이 경우에는 소수 위에서의 값만 알아도 충분하다. 완전 승법 함수로는 [math(n)]의 거듭제곱 꼴 외에도 디리클레 지표(Dirichlet character) 등등이 있다.
완전 승법 함수 및 완전 곱셈적 함수(completely multiplicative function)는 위 조건이 모든 [math(m,n)]에 대해 만족되는 함수이고, 이 경우에는 소수 위에서의 값만 알아도 충분하다. 완전 승법 함수로는 [math(n)]의 거듭제곱 꼴 외에도 디리클레 지표(Dirichlet character) 등등이 있다.
2.2. 디리클레 합성곱
산술함수 [math(a,b)]의 디리클레 합성곱 [math(c = a * b)]는
[math(displaystyle c(n) = sum_{d vert n} a(d) b(frac{n}{d}) = sum_{de=n} a(d) b(e) )]
로 정의된다. 이 디리클레 합성곱은 다음의 성질을 지닌다.
- 결합법칙, 교환법칙, 합과 상수배에 대한 분배법칙이 성립한다.
- 항등원은 [math(n=1)]에서 1의 값을 가지고 나머지에선 0인 함수이다.[2]으로 표현할 수 있다.]
- 함수 [math(a)]의 역원이 존재할 필요충분조건은 [math(a(0) neq 0)]이다.
항등함수 [math(1)]의 역원을 뫼비우스 함수(Möbius function) [math(mu)]라 하며, 이 함수는 다음을 만족시킨다.
[math(b = 1 * a Rightarrow a = mu * b)]
이를 풀어쓰면 다음과 같다.
[math(displaystyle b(n) = sum_{d vert n} a(d) Rightarrow a(n) = sum_{d vert n} b(frac{n}{d}) mu(d) )]
이를 뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula)이라 부른다.
2.3. 디리클레 급수
산술함수 [math(a(n))]의 디리클레 급수(Dirichlet series)는 [math( sum a(n) n^{-s} )]로 정의된다. 산술함수가 다항식 이하의 성장성을 보일 경우 이 급수는 특정 범위에서 수렴하고, 그렇지 않으면 단순히 형식적인 표현으로 간주된다.
디리클레 급수는 정수의 곱에 대한 성질과 여러 방식으로 관련을 맺고 있다. 예로 승법 함수의 경우 디리클레 급수는 소수 [math(p)]에 대한 곱들로 나타낼 수 있고, 이 소수 [math(p)]에 대한 인수가 유한한 항으로 나타낼 수 있을 때 오일러 곱(Euler product)이 존재한다고 표현한다. 대표적인 예시로 리만 제타 함수의 오일러 곱
디리클레 급수는 정수의 곱에 대한 성질과 여러 방식으로 관련을 맺고 있다. 예로 승법 함수의 경우 디리클레 급수는 소수 [math(p)]에 대한 곱들로 나타낼 수 있고, 이 소수 [math(p)]에 대한 인수가 유한한 항으로 나타낼 수 있을 때 오일러 곱(Euler product)이 존재한다고 표현한다. 대표적인 예시로 리만 제타 함수의 오일러 곱
[math(displaystyle zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s} = prod_{p, in,mathbb P} frac{1}{1-p^{-s}} )]
이 있다. 또한 디리클레 합성곱이 디리클레 급수에서는 곱으로 대응되는 된다는 성질이 있어서, 약수와 관련된 성질을 다룰 경우 이 급수가 자연스럽게 등장하는 경우가 많다.
한편으로 디리클레 급수는 [math(x = log n)] 위에서의 이산 질량 분포의 라플라스 변환의 일종으로 간주될 수 있다. 복소해석학에 익숙하다면 라플라스 변환의 역변환인 멜린 변환(Mellin transform)을 통해 디리클레 급수에서 산술함수의 합에 대한 정보를 이끌어낼 수 있고, 이 사고방식은 리만 가설 이후 현재까지의 해석적 정수론의 주 패러다임이 되어 왔다.
물론 산술함수의 생성함수로 디리클레 급수만 쓰이는 건 아니고, 기존 일반 생성함수나 세타 급수(theta series) [math( sum_n a_n e^{-n^2 tau + 2 pi i n z} )] 등등 다른 급수를 생각하는 경우도 많다.
한편으로 디리클레 급수는 [math(x = log n)] 위에서의 이산 질량 분포의 라플라스 변환의 일종으로 간주될 수 있다. 복소해석학에 익숙하다면 라플라스 변환의 역변환인 멜린 변환(Mellin transform)을 통해 디리클레 급수에서 산술함수의 합에 대한 정보를 이끌어낼 수 있고, 이 사고방식은 리만 가설 이후 현재까지의 해석적 정수론의 주 패러다임이 되어 왔다.
물론 산술함수의 생성함수로 디리클레 급수만 쓰이는 건 아니고, 기존 일반 생성함수나 세타 급수(theta series) [math( sum_n a_n e^{-n^2 tau + 2 pi i n z} )] 등등 다른 급수를 생각하는 경우도 많다.
3. 주요 산술함수들의 목록
별도의 언급이 없으면 함수들의 정의역은 자연수(양의 정수)로 간주한다. 이 목록 외에도 무수히 많은 산술함수들이 있다. [math(n)]의 소인수분해 표현을
[math(displaystyle n=prod_{i=1}^{t} p_i^{e_i})]
이라 하자.
- 약수의 개수 [math(d(n))] 혹은 [math(tau(n))]
[math(displaystyle d(n) := sum_{d vert n} 1 = sum_{ab=n} 1 = prod_{i=1}^{t}(e_i+1) = 1 * 1)]
- 디리클레 약수 함수 [math(d_k(n))] 혹은 [math(tau_k(n))]
[math(displaystyle d_k(n) := sum_{a_1 a_2 cdots a_k =n} 1 = prod_{i=1}^{t} binom{e_i+k-1}{k-1} =1*cdots*1(k text{ times}) )]
- 소인수의 개수 [math(Omega(n))], 서로 다른 소인수의 개수 [math(omega(n))]
[math(displaystyle Omega(n) := sum_{p^k vert n} 1= sum e_i, quad omega(n) := sum_{p vert n} 1 = t)]
- 약수의 합 [math(sigma(n))]
[math(displaystyle sigma(n) := sum_{d vert n} d = prod_i frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i-1} = 1*n)]
- 약수의 거듭제곱의 합 [math(sigma_k(n))]
[math(displaystyle sigma_k(n) := sum_{d vert n} d^k = prod_i frac{p_i^{k(e_i+1)}-1}{p_i^k-1} = 1 * n^k)]
- 오일러 파이 함수 [math(varphi(n))]
[math(displaystyle varphi(n) := sum_{1 le a le n, mathrm{gcd}(a,n)=1} 1 = n prod_{p vert n}(1-frac{1}{p}) = n * mu(n) )]
- 뫼비우스 함수 [math(mu(n))]
[math(displaystyle mu(n) := begin{cases} 1 & text{if } n=1 \(-1)^t & text{if } n = p_1 p_2 cdots p_t, text{ product of distinct primes} \ 0 & text{otherwise} end{cases}, quad 1 * mu(n) = delta_{n0})]
- 디리클레 지표(Dirichlet character) [5]
- 르장드르 기호 및 야코비 기호: 정의는 이차 잉여 항목을 참고.
- 힐베르트 기호
-
- [math(pi(x), psi(x), vartheta(x))] [7]
[math(displaystyle pi(x) := sum_{p le x} 1, quad psi(x) := sum_{p^k le x} log p, quad vartheta(x) := sum_{p le x} log p)]- 폰 망골트 함수 [math(Lambda(n))]
[math(displaystyle Lambda(n) := mu * log(n) = begin{cases} log p & text{if } n = p^k \ 0 & text{otherwise} end{cases} )]
[1] 집합 판별 함수를 사용해 [math(bold{1}_{{1}}(n))[2] 집합 판별 함수를 사용해 [math(bold{1}_{{1}}(n))[3] 합동식으로 정의될 수 있는 특성상 승법성을 희생하지 않으면서 모든 정수로 정의역이 확장될 수 있다.[4] 이들 함수는 '실수 x보다 작은 합'의 형식으로 양의 실수 전체를 정의역으로 받는 것이 보통이다.[5] 합동식으로 정의될 수 있는 특성상 승법성을 희생하지 않으면서 모든 정수로 정의역이 확장될 수 있다.[6] 이들 함수는 '실수 x보다 작은 합'의 형식으로 양의 실수 전체를 정의역으로 받는 것이 보통이다.[7] 이들 함수는 '실수 x보다 작은 합'의 형식으로 양의 실수 전체를 정의역으로 받는 것이 보통이다.