A 의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합을 A 의 멱집합(power set)이라 하고 [math(mathcal{P}(A))] 또는 [math(2^A)] 로 나타낸다.

[math(mathcal{P}(A) = 2^A = left{X| X subset Aright} )]

예를 들어 [math( B = {1,2} )] 라고 하자. [math( B )]의 부분집합은 [math( emptyset , { 1 } , { 2 } , {1,2 } )]이다.
그러므로 [math(mathcal{P}(B) = left{ emptyset , { 1 } , { 2 } , {1,2 } right} )] 가 된다.

[math( C = {a,b,c} )] 일때, C 의 멱집합은 아래와 같다.
[math(mathcal{P}(C) = left{ emptyset , { a } , { b }, { c} , {a,b }, {a,c }, {b,c }, {a,b,c } right} )]

임의의 유한집합에 대해서 그 크기가 [math(left|Aright|=n)] 이라고 할때, 부분집합의 개수는 [math(2^n)] 개가 된다. 임의의 정수 [math( n ( n ge 0) )]에 대해서 [math(2^n > n)]이 항상 성립하므로, 임의의 유한집합에 대해서 멱집합의 크기는 원래의 집합의 크기보다 항상 더 커진다.

즉, 유한집합에서는 [math( left|mathcal{P}(A)right| >left|Aright| )] 가 항상 성립한다.

무한집합도 부분집합을 생각할 수있으므로, 당연히 무한집합에 대해서도 멱집합을 생각할 수 있다. 결론만 말하자면 멱집합의 크기는 원래의 집합의 크기보다 항상 더 크다는 성질이 무한집합에서도 성립한다. 다시 말해 무한집합에서도 [math( left|mathcal{P}(A)right|>left|Aright| )] 가 성립한다.

예를 들어 무한집합인 자연수의 집합 [math(mathbb{N})]이 있을때, 자연수의 멱집합 [math(mathcal{P}left(mathbb{N}right))]를 구하면, 이 멱집합의 크기는 자연수의 집합의 크기보다 더 크다. 즉 [math( left|mathcal{P}(mathbb{N})right| > left|mathbb{N}right| )] 이다.

이것이 의미하는 것은 무한집합들 사이에서도 서로 크기가 다른 무한집합이 존재한다는 것이다.

자연수의 집합은 정수의 집합, 짝수의 집합, 유리수의 집합과는 그 크기가 같지만, 자연수의 집합과 실수의 집합은 그 크기가 서로 다르다. 이는 게오르크 칸토어가 대각선 논법이란 교묘한 방법으로 발견하였다. 또한, 대각선 논법을 이용하여 멱집합은 원래 집합보다 항상 크다는 것 역시 밝혀 내었다.

서로 다른 무한집합의 크기를 구분하기 위해서 초한기수라는 수 체계가 도입되었다. 그런데, 초한기수 사이의 관계에서 특이한 가설이 하나 제시되었는데, 그것이 연속체 가설이다.