1. 개요
망원급수란 급수에서 이웃한 항들이 서로 상쇄되면서 몇 개의 항만 남고 전부 사라지는 것을 말한다. 급수를 망원급수의 형태로 바꾸면 그 합을 간단히 계산할 수 있다.
2. 상세
수열 [math(left{a_nright})]이 있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
[math(displaystyle sum_{n=1}^N left(a_n - a_{n+1}right) = a_1 - a_{N+1})]
여기서 [math(left{a_nright})]이 특정값 [math(L)]로 수렴한다면 다음과 같이 급수가 계산된다.
[math(displaystyle sum_{n=1}^{infty} left(a_n - a_{n+1}right) = a_1 - L)]
3. 예시
- [math(displaystyle sum_{n=1}^infty frac{1}{n(n+1)} = sum_{n=1}^infty left( frac{1}{n} - frac{1}{n+1} right) = lim_{Ntoinfty} sum_{n=1}^N left( frac{1}{n} - frac{1}{n+1} right) = lim_{Ntoinfty} left(1 - frac{1}{N+1} right) =1)]
- [math(displaystyle sum_{n=1}^N sinleft(nright) =frac{1}{2 sin frac{1}{2}} sum_{n=1}^N left{cosleft(frac{2n-1}{2}right) -cosleft(frac{2n+1}{2}right)right}=frac{1}{2} cscfrac{1}{2} left{cosfrac{1}{2} -cosleft(frac{2N+1}{2}right)right})]