1. 개요
라그랑주 보간법(Lagrangian interpolation)이란 서로 다른 [math(x_{1},cdots,x_{n+1})]에 대하여 [math(n+1)]개의 점 [math((x_{1},y_{1}),cdots,(x_{n+1},y_{n+1}))]이 주어져 있을때, 이 점을 모두 지나는 [math(n)]차 이하의 다항식을 구하는 공식을 말한다. 이름대로 조제프루이 라그랑주가 만들었다.
2. 공식
서로 다른 [math(x_{1},cdots,x_{n+1})]에 대하여 아래의 다항식
[math(p_{i}(x)=displaystyleprod_{j neq i} frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}=frac{(x-x_{1})cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})cdots(x-x_{n+1})}{(x_{i}-x_{1})cdots(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})cdots(x_{i}-x_{n+1})})]
을 라그랑주 기저 다항식이라 한다. 또한
[math(p(x)=y_{1}p_{1}(x)+cdots+y_{n+1}p_{n+1}(x))]
을 라그랑주 보간 다항식이라 하며, 이 다항식은 점 [math((x_{1},y_{1}),cdots,(x_{n+1},y_{n+1}))]을 모두 지나는 유일한 [math(n)]차 이하의 다항식이다.
3. 선형대수학을 이용한 설명
집합 [math(mathcal{P}_{n}(F))]을 [math(n)]차 이하의 다항식 집합이라 하자. [math(mathcal{P}_{n}(F))]가 벡터공간이므로, 쌍대공간 [math(mathcal{P}_{n}^{*})]가 존재한다. 임의의 자연수[math(ileq n+1)]에 대하여 선형범함수(linear functional) [math(L_{i}:mathcal{P}_{n}(F)to F)]을
[math(L_{i}(p)=p(x_{i}))]
라고 정의하자. [math(L_{1},cdots,L_{n+1})]이 [math(mathcal{P}_{n}^{*})]의 기저가 된다는 것은 다음 두 식
[math(L_{j}(p_{i})=p_{i}(x_{j})=0)] for [math(i neq j)]
[math(L_{i}(p_{i})=p_{i}(x_{i})=1)]
[math(L_{i}(p_{i})=p_{i}(x_{i})=1)]
을 만족하는 [math(p_{1},cdots,p_{n+1}in mathcal{P}_{n}(F))]이 존재한다는 것을 보이면 되는데, 그 이유는, 그것이 존재한다면, [math({L_{1},cdots,L_{n+1}})]이 [math({p_{1},cdots,p_{n+1}})]의 쌍대기저가 되기 때문이다. 물론 [math(p_{i})]는 [math(x_{1},cdots, x_{i-1}, x_{i+1},cdots,x_{n+1})]을 근으로 가지며, [math(p_{i}(x_{i})=1)]이므로,
[math(p_{i}(x)=displaystyleprod_{j neq i} frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}=frac{(x-x_{1})cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})cdots(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{1})cdots(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})cdots(x_{i}-x_{n})}in mathcal{P}_{n}(F))]
임을 쉽게 알 수 있다. 따라서, [math({p_{1},cdots,p_{n+1}})]은 [math(mathcal{P}_{n}(F))]기저이고, 임의의 다항식 [math(p in mathcal{P}_{n}(F))]에 대하여,
[math( p(x)=y_{1}p_{1}(x)+cdots+y_{n+1}p_{n+1}(x))]
인 [math(y_{1} ,cdots,y_{n+1} )]이 유일하게 존재하는데,
[math( p(x_{i})=displaystylesum_{j neq i}y_{j}p_{j}(x_{i})+y_{i}p_{i}(x_{i})=y_{i})]
가 성립함을 확인할 수 있다.
4. 방데르몽드 행렬과 라그랑주 기저 다항식 간의 관계
서로 다른 [math(x_{1},cdots,x_{n+1})]에 대하여, 다항식 [math(x^{i})] [math((0leq i leq n))]은 점 [math((x_{j},x_{j}^{i}))]를 지나므로, 라그랑주 보간법에 의해
[math( x^{i}=displaystylesum_{j=1}^{n+1}x_{j}^{i}p_{j})]
라고 쓸 수 있다. 그런데, [math(beta={1,x,x^{2},cdots,x^{n}})]과 [math(beta^prime={p_{1},cdots,p_{n+1}})]이 모두 [math(mathcal{P}_{n}(F))]의 기저이므로 방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix)
[math(begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&cdots&x_{1}^{n}\1&x_{2}&x_{2}^{2}&cdots&x_{2}^{n}\ vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\1&x_{n+1}&x_{n+1}^{2}&cdots&x_{n+1}^{n} end{pmatrix})]
은 [math(beta)]에서 [math(beta^{prime})]으로의 기저변환행렬이라고 할 수 있다.