1의 거듭제곱근

분류

복소평면에 표시한 1의 7제곱근 [math(boldsymbol{z_{0} sim z_{6}})][2]이다. 간단히 [math({rm cis}{left( dfrac{2pi n}{7} right)})]로 적기도 한다.]

1. 소개2. 정의3. 1의 제곱근4. 1의 세제곱근5. 1의 네제곱근6. 1의 n제곱근7. 성질8. 관련 개념들

1. 소개

1의 거듭제곱근(Root of unity)[3]은 연산이 정의된 군의 개념으로, 해당 연산을 유한 번 거듭하여 항등원을 얻을 수 있는 원소들을 일컫는다. 이 개념을 복소수의 곱셈 군 [math((mathbb C^{times}, cdot ))]에 한정하여 생각하기도 한다.

2. 정의

1의 거듭제곱근(Root of unity)

군 [math((G, cdot ))]과 원소 [math(a in G)]가 주어져 있을 때,

[math(g^n = a)]

인 원소 [math(g in G)]를 [math(a)]의 거듭제곱근(Root of [math(a)]) 혹은 제곱의 수를 강조하여 [math(boldsymbol a)]의 [math(boldsymbol{n})]제곱근([math(n)]th root of [math(a)])이라고 한다. 특히, [math(a)]가 군 [math((G, cdot ))]의 항등원 1인 경우[5]를 다룰 때는 관습적으로 항등원을 [math(e)]가 아닌 1로 적는다. 비슷하게, 덧셈군 혹은 가환군 [math((G, +))]의 항등원은 [math(0)]으로 적는 경우가 많다.] [math(g in G)]를 1의 거듭제곱근(Root of unity) 혹은 1의 [math(n)]제곱근([math(n)]th root of unity)이라고 한다.

1의 거듭제곱근(Root of unity)

[math(z^n = 1)]인 복소수 [math(z in mathbb C)]를 1의 거듭제곱근(Root of unity) 혹은 1의 [math(boldsymbol{n})]제곱근([math(boldsymbol{n})]th root of unity)이라고 한다.

위에서 정의한 일반적인 군 [math((G, cdot ))]를 곱셈군 [math((mathbb C^{times}, cdot ))]로 한정한 버전이다. 물론 1이 아닌 임의의 복소수 [math(a in mathbb C)]의 [math(n)]제곱근도 생각할 수 있지만, 이는 [math(a in mathbb C)]의 한 [math(n)]제곱근에 1의 [math(n)]제곱근들을 곱한 형태로 전부 표현 가능하다. 그렇기 때문에 1의 [math(n)]제곱근들은 본질적인 거듭제곱근으로서의 의미를 가진다. 아래 예시는 전부 복소수체(의 부분군)에서 계산한 1의 거듭제곱근들이다.

3. 1의 제곱근

[math(begin{aligned} z^2 = 1 & Leftrightarrow (z - 1)(z + 1) = 0 \ & Leftrightarrow z =pm 1 end{aligned})]

4. 1의 세제곱근

[math(begin{aligned} z^3 = 1 & Leftrightarrow (z - 1)(z^2+z+1)=0 \ & Leftrightarrow z = 1 mathsf{or} z = dfrac {-1 pm sqrt 3i}2 end{aligned})]

5. 1의 네제곱근

[math(begin{aligned} z^4 = 1 & Leftrightarrow (z - 1)(z + 1)(z - i)(z + i) = 0 \ & Leftrightarrow z = pm 1 mathsf{or} z = pm i end{aligned})]

6. 1의 n제곱근

방정식 [math(z^n = 1)]의 양 변의 절대값을 비교하면, [math(lVert zrVert = 1)]이므로 [math(z = costheta + isintheta)]라고 쓸 수 있다. 드 무아브르 공식에 의해,

[math(begin{aligned} 1 &= z^n \&= cos ntheta + isin ntheta end{aligned} )]

을 얻는다. 이 식이 성립하려면, [math(ntheta = 2kpi)] 즉 [math(exists k in mathbb{z} , mathsf{s.t.} , theta = 2kpi/n)] 이어야만 한다. 중복근을 전부 제외하면

[math(begin{aligned} z &= cosdfrac {2kpi}n + isindfrac {2kpi}n \&= {rm cis}{left(dfrac {2kpi}n right)} ; ( 0 leq k < n) end{aligned} )]

이 모든 1의 [math(n)]제곱근이다. [math({rm cis})]는 허수지수함수이다.

7. 성질

1의 [math(boldsymbol{n})]제곱근으로 구성된 군(Group of [math(n)]th roots of unity)

가환군 [math(G)]에서, 1[10]으로 적지만 본 문서에서 모든 군의 항등원을 1로 표기했으므로 이에 따른다.]의 [math(n)]제곱근들을 모은 부분집합은 부분군을 이룬다. 이를 1의 [math(n)]제곱근으로 구성된 군(Group of [math(n)]th roots of unity)이라고 한다.

[ 증명 ]

1의 [math(n)]제곱근들을 모은 부분집합을 [math(G_n)]이라 하자.

[math(G_n)]이 [math(G)]로부터 물려받은 연산에 대해 닫혀있음.
- [math(g, h in G_n)]이면, [math(g^n = h^n = 1)]이므로 [math((gh)^n = 1)][13]가 가환군임이 필요하다.], 즉 [math(gh in G_n)].
[math(G_n)]은 [math(G)]의 항등원 1을 포함.
- [math(1^n = 1)]이므로 [math(1 in G)].
임의의 [math(G_n)]의 원소는 역원을 가짐.
- [math(g in G_n)]이면, [math((g^{-1})^n = g^n (g^{-1})^n = 1)]이므로 [math(g^{-1} in G_n)].

여기서 [math(G)]가 가환군이 아니면 위 명제는 성립하지 않는다. 실제로, 다음과 같은 반례가 존재한다. [math(2 times 2)] 행렬들의 집합 [math(mathfrak M_{2, 2}(mathbb R))]을 생각하자. 여기서 역행렬이 존재하는 행렬들은, 행렬 곱셈에 대하여 일반선형군 [math(mathbf{GL}_2(mathbb R))]을 이룬다. 그런데,

[math(begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & -1 end{bmatrix} ^2 = begin{bmatrix} -1 & 1 \ 0 & 1 end{bmatrix} ^2 = begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix})]

이지만

[math( begin{aligned} begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & -1 end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} -1 & 1 \ 0 & 1 end{bmatrix} &= begin{bmatrix} -1 & 2 \ 0 & -1 end{bmatrix} \ begin{bmatrix} -1 & 2 \ 0 & -1 end{bmatrix} ^2 &neq begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix} end{aligned})]

이다. 즉, [math(mathbf{GL}_2(mathbb R))]에서 1의 제곱근들은 군을 이루지 않는다.

1의 모든 거듭제곱근으로 구성된 군(Group of all roots of unity)

가환군 [math(G)]에서, 1의 모든 거듭제곱근들을 모은 부분집합[15]제곱근, [math(cdots)], [math(n)]제곱근, [math(cdots)] 등을 전부 모은다.]은 부분군을 이룬다. 이를 1의 모든 거듭제곱근으로 구성된 군(Group of all roots of unity)이라고 한다.

[ 증명 ]

바로 윗 명제의 증명에서 [math(G_n)]을 생각할 때, [math(displaystyle G^{ast} = bigcup_{n inmathbb N}G_n)]이 [math(G)]의 부분군임을 보이면 충분하다.

[math(G^{ast})]가 [math(G)]로부터 물려받은 연산에 대해 닫혀있음.
- [math(g, h in G^{ast})]이면, 적당한 [math(m, n inmathbb N)]에 대하여 [math(g^m = h^n = 1)]이므로 [math((gh)^{mn} = 1)], 즉 [math(gh in G_{mn} subset G^{ast})].
[math(G^{ast})]은 [math(G)]의 항등원 1을 포함.
- [math(1^1 = 1)]이므로 [math(1 in G_1 subset G^{ast})].
임의의 [math(G^{ast})]의 원소는 역원을 가짐.
- [math(g in G_n subset G^{ast})]이면, [math((g^{-1})^n = g^n (g^{-1})^n = 1)]이므로 [math(g^{-1} in G_n subset G^{ast})].

또한 복소평면에서 1의 제곱근은 원점에 대칭인 선분이며, [math(n geq 3)]인 [math(n)]제곱근은 원점을 중심으로 한 정[math(n)]각형을 그린다. 또한 정다각형의 꼭짓점이 원 위에 있다는 성질[16]에 부호 함수를 취할 경우 [math({rm sgn}(z) = z)]가 성립한다.]을 이용해서 1의 [math(n)]제곱근의 값을 띠는 점을 작도하는 게 가능하다.[17] 같이 작도가 불가능한 경우도 있다.]

8. 관련 개념들

1의 원시근(Primitive root of unity)

군 [math((G, cdot ))]과 자연수 [math(n)]이 주어져 있을 때,

[math(g^n = 1)], [math(g^m neq 1 ; (0 < m < n) )][19]이 [math(g^k = 1)]을 만족하는 최소의 자연수.]

인 원소 [math(g in G)]를 원시근(Primitive root), 1의 원시근(Primitive root of unity) 혹은 1의 [math(boldsymbol n)]차 원시근(Primitive [math(boldsymbol n)]th root of unity)이라고 한다.

[1] 각각은 [math(z_{n}=cos{left( dfrac{2pi n}{7} right)}+i sin{left( dfrac{2pi n}{7}right)})[2] 각각은 [math(z_{n}=cos{left( dfrac{2pi n}{7} right)}+i sin{left( dfrac{2pi n}{7}right)})[3] 단위근(Unit root), 드 무아브르 수(de Moivre number)라고도 한다.[4] 곱셈군 [math((G, cdot ))[5] 곱셈군 [math((G, cdot ))[6] 항등원. 보통 가환군의 항등원은 [math(0)[7] 이 부분에서 [math(G)[8] 이 부분에서 [math(G)[9] 이 부분에서 [math(G)[10] 항등원. 보통 가환군의 항등원은 [math(0)[11] 이 부분에서 [math(G)[12] 이 부분에서 [math(G)[13] 이 부분에서 [math(G)[14] 즉, 1제곱근, [math(2)[15] 즉, 1제곱근, [math(2)[16] 곧, 원점과의 거리(= 절댓값)가 1임을 뜻한다. 그래서 1의 거듭제곱근 [math(z)[17] 단, [math(n=7)[18] 즉, [math(n)[19] 즉, [math(n)