1. 개요
Length contraction.
특수상대성 이론에서 도출되는 현상 중 하나. 간단히 말해 '''한 대상이 등속운동하면 그 대상을 보는 멈춰있는 관측자의 입장에서 보여지는 대상의 길이는 줄어든다는 현상인데, 실제는 대상의 길이는 그대로지만 눈금간격이 커진 자로 재는 결과로 인하여 그 길이의 수치만 작아지게 되는 로렌츠 변환에서 비롯된 결과를 부르는 용어이다.“
시간 지연과 밀접한 관계에 있는 현상이 길이 수축이다. 이는 시간 지연이 일어나면 필연적으로 따라오는 현상이다. 참고로 이를 로런츠-피츠제럴드 수축이라고 하는데, 이들이 뉴턴 역학과 맥스웰 방정식의 모순 문제와 마이컬슨-몰리 실험 모순을 해결하기 위해 로런츠 변환이라는 식을 도입하면서 도출한 것이다. 이후 아인슈타인이 역학 관점에서 길이 수축을 재해석하였다.
특수상대성 이론에서 도출되는 현상 중 하나. 간단히 말해 '''한 대상이 등속운동하면 그 대상을 보는 멈춰있는 관측자의 입장에서 보여지는 대상의 길이는 줄어든다는 현상인데, 실제는 대상의 길이는 그대로지만 눈금간격이 커진 자로 재는 결과로 인하여 그 길이의 수치만 작아지게 되는 로렌츠 변환에서 비롯된 결과를 부르는 용어이다.“
시간 지연과 밀접한 관계에 있는 현상이 길이 수축이다. 이는 시간 지연이 일어나면 필연적으로 따라오는 현상이다. 참고로 이를 로런츠-피츠제럴드 수축이라고 하는데, 이들이 뉴턴 역학과 맥스웰 방정식의 모순 문제와 마이컬슨-몰리 실험 모순을 해결하기 위해 로런츠 변환이라는 식을 도입하면서 도출한 것이다. 이후 아인슈타인이 역학 관점에서 길이 수축을 재해석하였다.
2. 광속 불변의 원리를 이용한 설명
파일:길이 수축.png
길이 수축은 시간 지연 문서에서 소개한 광자 시계를 수평으로 돌린 상황을 고려하면 유추할 수 있다. 다시 말해 광자와 열차의 진행 방향이 평행한 상황을 가정한다.
시간 지연 문서에서 식을 유도할 때는 광자가 열차의 세로 방향으로 왕복했기 때문에 정지한 관찰자가 측정하든 운동하는 관찰자가 측정하든 길이가 똑같아서 문제가 되지 않았다. 그러나 이 문서에서 다루는 문제에서는 광자가 가로 방향, 즉 열차의 속도와 평행한 방향으로 왕복한다. 결론부터 말하자면, 이런 상황에서는 정지한 관찰자와 운동하는 관찰자가 측정하는 열차의 길이가 서로 달라진다.
열차 안에서 봤을 때, 광자가 왕복하는 시간은 역시 [math(Delta t = {2L over c})]로 측정된다.
열차 밖에서는 광자가 반대편 벽(연두색→청회색)에 다다를 때 위 그림으로부터 관계식을 세울 수 있다. [math(cDelta t_1=vDelta t_1+L')]이므로 [math(Delta t_1 = {L' over (c-v)})]이 된다. 또한 반사 후 다시 돌아올 때 (청회색→연두색)[math(cDelta t_2+vDelta t_2=L')]이므로 소요되는 시간은 [math(Delta t_2={ L' over (c+v)})]로 측정된다. 이 둘을 더하면 왕복시간이 나온다. [math(Delta t' = Delta t_1+Delta t_2 = frac{2 L'c}{(c^2-v^2)} = frac{2 L' gamma^2}{c})]. 시간 지연 문서에서 알 수 있듯이 열차 안은 바깥보다 [math(gamma)]배 느려지므로 [math(Delta t' = gamma Delta t= {2gamma L over c})]가 성립한다. 이로부터 아래 식이 유도된다.
[math(displaystyle L'=frac{L}{gamma}= Lsqrt{1-{v^2over c^2}})]
이 식으로부터 빠르게 움직이는 물체는 정지 길이보다 짧게 측정된다는 것을 알 수 있다. 물론 광속보다 대단히 느린 물체에 대한 길이 수축 효과는 대단히 작다. 예를 들어 순간적으로 시속 35km 이르는 부르즈 할리파의 초고속 엘리베이터에 탄 키 180cm 인 사람은 밖에서 보기에 0.9465fm(펨토미터) 가 줄어드는 정도의 효과 밖에 없다. 이는 양성자 하나 크기 정도에 불과하다(...)상대론적 루저
길이 수축은 시간 지연 문서에서 소개한 광자 시계를 수평으로 돌린 상황을 고려하면 유추할 수 있다. 다시 말해 광자와 열차의 진행 방향이 평행한 상황을 가정한다.
시간 지연 문서에서 식을 유도할 때는 광자가 열차의 세로 방향으로 왕복했기 때문에 정지한 관찰자가 측정하든 운동하는 관찰자가 측정하든 길이가 똑같아서 문제가 되지 않았다. 그러나 이 문서에서 다루는 문제에서는 광자가 가로 방향, 즉 열차의 속도와 평행한 방향으로 왕복한다. 결론부터 말하자면, 이런 상황에서는 정지한 관찰자와 운동하는 관찰자가 측정하는 열차의 길이가 서로 달라진다.
열차 안에서 봤을 때, 광자가 왕복하는 시간은 역시 [math(Delta t = {2L over c})]로 측정된다.
열차 밖에서는 광자가 반대편 벽(연두색→청회색)에 다다를 때 위 그림으로부터 관계식을 세울 수 있다. [math(cDelta t_1=vDelta t_1+L')]이므로 [math(Delta t_1 = {L' over (c-v)})]이 된다. 또한 반사 후 다시 돌아올 때 (청회색→연두색)[math(cDelta t_2+vDelta t_2=L')]이므로 소요되는 시간은 [math(Delta t_2={ L' over (c+v)})]로 측정된다. 이 둘을 더하면 왕복시간이 나온다. [math(Delta t' = Delta t_1+Delta t_2 = frac{2 L'c}{(c^2-v^2)} = frac{2 L' gamma^2}{c})]. 시간 지연 문서에서 알 수 있듯이 열차 안은 바깥보다 [math(gamma)]배 느려지므로 [math(Delta t' = gamma Delta t= {2gamma L over c})]가 성립한다. 이로부터 아래 식이 유도된다.
[math(displaystyle L'=frac{L}{gamma}= Lsqrt{1-{v^2over c^2}})]
이 식으로부터 빠르게 움직이는 물체는 정지 길이보다 짧게 측정된다는 것을 알 수 있다. 물론 광속보다 대단히 느린 물체에 대한 길이 수축 효과는 대단히 작다. 예를 들어 순간적으로 시속 35km 이르는 부르즈 할리파의 초고속 엘리베이터에 탄 키 180cm 인 사람은 밖에서 보기에 0.9465fm(펨토미터) 가 줄어드는 정도의 효과 밖에 없다. 이는 양성자 하나 크기 정도에 불과하다(...)
3. 로런츠 변환을 이용한 설명
시간 지연과 마찬가지로 로런츠 변환을 이용해서 구할 수 있다. P, Q를 열차의 양 끝 지점이라 한다. 두 지점 P, Q가 어떤 관성좌표계 O에서 정지해 있다면 O에서 나타나는 P와 Q의 궤적은 [math(t, x)] 좌표평면 상에서 아래 관계식으로 써진다. [math(L)]이 두 지점 P, Q 사이의 고유 길이이다.
[math(P: x=0quad Q: x=L)]
한편 다른 관성 좌표계 O'이 O에 대해 [math(x)] 방향으로 속도 [math(v=beta c)]로 움직인다면 O와 O' 사이의 [math(t, x)] 관계식이 아래와 같이 써진다.
[math(ct=gamma(ct'+beta x'), x = gamma(x'+beta ct'))]
[math(,gamma = (1-beta^2)^{-{1over 2}})]
따라서 앞서 주어진 궤적의 방정식에 바로 위 식을 대입하면 [math(t', x')]좌표계 기준으로 아래와 같이 나타난다.
[math(P: gamma(x'+beta ct')=0)]
[math(Q: gamma(x'+beta ct')=L)]
이 식에서 동일한 [math(t')]을 잡을 때 P와 Q의 [math(x')] 값의 차이가 바로 O'이 관측하는 열차의 길이이다.
[math(displaystyle therefore L' = x'_Q-x'_P = frac{L}{gamma} = sqrt{1 - {v^2 over c^2}}L)]
[math(P: x=0quad Q: x=L)]
한편 다른 관성 좌표계 O'이 O에 대해 [math(x)] 방향으로 속도 [math(v=beta c)]로 움직인다면 O와 O' 사이의 [math(t, x)] 관계식이 아래와 같이 써진다.
[math(ct=gamma(ct'+beta x'), x = gamma(x'+beta ct'))]
[math(,gamma = (1-beta^2)^{-{1over 2}})]
따라서 앞서 주어진 궤적의 방정식에 바로 위 식을 대입하면 [math(t', x')]좌표계 기준으로 아래와 같이 나타난다.
[math(P: gamma(x'+beta ct')=0)]
[math(Q: gamma(x'+beta ct')=L)]
이 식에서 동일한 [math(t')]을 잡을 때 P와 Q의 [math(x')] 값의 차이가 바로 O'이 관측하는 열차의 길이이다.
[math(displaystyle therefore L' = x'_Q-x'_P = frac{L}{gamma} = sqrt{1 - {v^2 over c^2}}L)]