문서:군의 작용

분류

대수학

1. 개요2. 정의3. 다른 정의들4. 유한군에 대한 결과들

1. 개요

군의 작용은 군이 집합의 원소를 다른 원소로 변환시키는 방식이다. 군의 작용은 유한군을 분류하는 데에 핵심적인 역할을 하며, 또 실로우 정리를 이해하는 데에 필수적이다.

2. 정의

군 [math(G)]와 집합 [math(X)]에 대해, [math(cdot: Gtimes X rightarrow X)]가 군의 작용(group action)이라 함은 다음을 만족하는 것이다.

임의의 [math(a,bin G)], [math(xin X)]에 대해, [math(left(abright)cdot x=acdotleft(b cdot xright))]

임의의 [math(xin X)]에 대해, [math(1cdot x=x)][3]은 [math(G)]의 항등원이다. ]

직교군 [math(G=text{O}left(nright))]은 [math(R^{n}-left{0right})]에 대해, [math(Acdot v:=Av)]로 작용한다.
이면군(dihedral group)[math(D_{2n}=left<r,fmid r^{n}=f^{2}=1,rfrf=1right>)]은 [math(Z/nZ)]에, [math(rcdot a=a+1)], [math(fcdot a=-a)]로 작용한다.
군 [math(G)]는 자기 자신에게 작용한다.
- (translation) [math(acdot b=ab)]
- (conjugation) [math(acdot b=aba^{-1})]
군 [math(G)]와 [math(H<G)]에 대해, [math(H)]는 [math(G/H)]에게, [math(acdot left(xHright)=left(axright)H)]로 작용한다.
K-벡터공간의 스칼라곱은 스칼라체 K에서 그 벡터공간으로 작용한다.

3. 다른 정의들

다음과 같은 정의가 있어야 군의 작용을 다루기 편하다.
군 [math(G)]와 집합 [math(X)], 작용 [math(cdot: Gtimes X rightarrow X)]을 생각하자.

(궤도(orbit))[math(xin X)]에 대해, [math(Gx:=left{ gx:gin Gright} )]

(안정화 부분군(stabilizer subgroup))[math(xin X)]에 대해, [math(G_{x}:=left{ gin G:gx=xright} )][8]

[math(X^{G}:=left{ xin X:forall gin Gqquad gx=xright} )]

[math(X/G:=left{ Gx:xin Xright} )][9]는 동치관계로 볼 수 있다. ]

사실 이는 편함을 넘어 대수에서의 철학이 나타난다. 궤도의 정의는 어떤 원소에 계속 작용을 가했을 때 생성되는 구조를 나타내며 특정 원소에 대한 생성의 개념을 나타내고, 표현론과도 이어지는 개념이다. 또 [math(G_{x})]와 [math(X^{G})]의 정의는 어떤 집합을 보존시키는 작용들을 모으면 어떻게 되는지, 반대로 어떤 작용을 보존하는 집합을 모으면 어떻게 되는 지를 나타낸다. 이는 보존원리를 보여주는 것으로써, 대칭원리와도 연결된다. 예시로써 갈루아 이론이 있다.

그러면 이 정의들에 대하여, 다음 정리들을 얻는다. 유한군 [math(G)], 유한집합 [math(X)]에 대해 다음이 성립한다.

[math(left[G:G_{x}right]=left|Gxright|)]

(Burnside lemma) [math(left|X/Gright|=frac{1}{left|Gright|}sumleft|X^{g}right|)]

(class equation) [math(left|Gright|=left|Zleft(Gright)right|+sumleft[G:C_{G}left(xright)right])][14], 작용을 conjugation으로 잡아주면 된다.]

소수 [math(p)]에 대해,

[math(G)]가 [math(p)]-군([math(left|Gright|=p^{k})])이면, [math(left|Xright|equivleft|X^{G}right|left(pright))]이다.

[math(H<G)]가 [math(p)]-부분군([math(left|Hright|=p^{k})])이면, [math(left|G/Hright|equivleft|N_{G}left(Hright)/Hright|left(pright))]이다.[16], [math(X)]대신 [math(H)], [math(G/H)]를 두고, 작용을 [math(acdot left(xHright)=left(axright)H)]라 하면 된다. ]

(Cauchy) [math(pmid left|Gright|)]이면, [math(ain G)]가 존재하여, [math(left|aright|=p)]이다.

4. 유한군에 대한 결과들

실로우 정리
[math(G)]가 [math(p)]-군일 때, [math(G)]가 자명군이 아니라면 [math(Zleft(Gright))]의 크기는 p의 배수이다. 따라서 [math(Zleft(Gright)=1)]이면 [math(G=1)]이다.
[math(H<G)]에 대해, [math(left[G:Hright])]가 [math(left|Gright|)]의 가장 작은 소인수일 때, [math(Hvartriangleleft G)]이다.

[1] [math(1)[2] [math(1)[3] [math(1)[4] 정의로부터, 실제로 부분군을 이룬다는 것을 알 수 있다. [5] 궤도를 모두 모은 것이다. 그리고 각 궤도는 서로소(disjoint)라는 것을 쉽게 알 수 있다. 즉, [math(G)[6] 정의로부터, 실제로 부분군을 이룬다는 것을 알 수 있다. [7] 궤도를 모두 모은 것이다. 그리고 각 궤도는 서로소(disjoint)라는 것을 쉽게 알 수 있다. 즉, [math(G)[8] 정의로부터, 실제로 부분군을 이룬다는 것을 알 수 있다. [9] 궤도를 모두 모은 것이다. 그리고 각 궤도는 서로소(disjoint)라는 것을 쉽게 알 수 있다. 즉, [math(G)[10] 두 번째 것에서 [math(X=G)[11] 앞선 정리에서, [math(G)[12] 두 번째 것에서 [math(X=G)[13] 앞선 정리에서, [math(G)[14] 두 번째 것에서 [math(X=G)[15] 앞선 정리에서, [math(G)[16] 앞선 정리에서, [math(G)