1. 개요
2. 사전 배경
각운동량 [math( mathbf{L} )]은 각속도 [math( boldsymbol{omega} )]와 다음과 같은 관계에 있음을 알고 있다.[1]
[math( displaystyle mathbf{L}=I boldsymbol{omega} )]
위의 식을 그대로 해석하면, 관성 모멘트 [math( I )]는 스칼라이며, '각운동량과 각속도는 서로 평행해야 한다'라는 말이 된다. 그러나, 이것은 강체가 회전축을 중심으로 회전할 때이며, 3차원 상에서 강체는 회전축을 바꾸면서 회전[2]할 수 있기 때문에 각운동량과 각속도는 평행하지 않을 수 있다. 따라서 관성 모멘트 [math( I )]는 스칼라가 될 수 없다.
결론부터 얘기 하면, [math( I )]는 스칼라, 벡터 보다 고급인 함수인데, 바로 텐서이다.
[math( displaystyle mathbf{L}=I boldsymbol{omega} )]
위의 식을 그대로 해석하면, 관성 모멘트 [math( I )]는 스칼라이며, '각운동량과 각속도는 서로 평행해야 한다'라는 말이 된다. 그러나, 이것은 강체가 회전축을 중심으로 회전할 때이며, 3차원 상에서 강체는 회전축을 바꾸면서 회전[2]할 수 있기 때문에 각운동량과 각속도는 평행하지 않을 수 있다. 따라서 관성 모멘트 [math( I )]는 스칼라가 될 수 없다.
결론부터 얘기 하면, [math( I )]는 스칼라, 벡터 보다 고급인 함수인데, 바로 텐서이다.
3. 관성 텐서의 도출
우선 관성 텐서를 회전 운동 에너지로 부터 도출해보자.
파일:나무_관성텐서_유도_수정.png
그림과 같이 고정 좌표계인 [math( x_{i}' )]계와 강체의 질량 중심 [math( textrm{O} )]을 원점으로, 강체와 같이 회전하는 회전 좌표계(강체 좌표계) [math( x_{i} )]계를 고려하자. 이때 회전 좌표계가 고정 좌표계에 대해 [math( boldsymbol{omega} )]로 회전한다 하면, 아래가 성립한다.[3]
[math( displaystyle left( frac{d mathbf{r'}_{alpha}}{dt} right)_{textrm{fixed}}=left( frac{d mathbf{R}}{dt} right)_{textrm{fixed}}+left( frac{d mathbf{r}_{alpha}}{dt} right)_{textrm{rotating}}+boldsymbol{omega} times mathbf{r}_{alpha} )]
이때 각 항의 의미 아래와 같다.
파일:나무_관성텐서_유도_수정.png
그림과 같이 고정 좌표계인 [math( x_{i}' )]계와 강체의 질량 중심 [math( textrm{O} )]을 원점으로, 강체와 같이 회전하는 회전 좌표계(강체 좌표계) [math( x_{i} )]계를 고려하자. 이때 회전 좌표계가 고정 좌표계에 대해 [math( boldsymbol{omega} )]로 회전한다 하면, 아래가 성립한다.[3]
[math( displaystyle left( frac{d mathbf{r'}_{alpha}}{dt} right)_{textrm{fixed}}=left( frac{d mathbf{R}}{dt} right)_{textrm{fixed}}+left( frac{d mathbf{r}_{alpha}}{dt} right)_{textrm{rotating}}+boldsymbol{omega} times mathbf{r}_{alpha} )]
이때 각 항의 의미 아래와 같다.
- [math( displaystyle left( frac{d mathbf{r'}_{alpha}}{dt} right)_{textrm{fixed}} )]: 고정 좌표계에서 측정한 질점 [math( m_{alpha} )]의 속도.
- [math( displaystyle left( frac{d mathbf{R}}{dt} right)_{textrm{fixed}} )]: 고정 좌표계에서 측정한 회전 좌표계의 원점에 대한 속도.
- [math( displaystyle left( frac{d mathbf{r}_{alpha}}{dt} right)_{textrm{rotating}} )]: 회전 좌표계에서 측정한 질점 [math( m_{alpha} )]의 속도.
- [math( displaystyle boldsymbol{omega} times mathbf{r}_{alpha} )]: 회전 좌표계의 회전에 의한 질점 [math( m_{alpha} )]이 갖는 속도.
이때, 강체는 정의 상 각 질점의 위치는 회전 좌표계에 대해 변하지 않는다. 따라서
[math( displaystyle left( frac{d mathbf{r'}_{alpha}}{dt} right)_{textrm{fixed}} equiv mathbf{v}_{alpha},,,left( frac{d mathbf{R}}{dt} right)_{textrm{fixed}}equiv mathbf{V} )]
라 정의하면,
[math( displaystyle mathbf{v}_{alpha}=mathbf{V}+boldsymbol{omega} times mathbf{r}_{alpha} )]
이 된다.
따라서 강체의 위치 에너지는 각 질점에 해당하는 운동 에너지를 모두 더한 것이다.
[math( displaystyle T=sum_{alpha} frac{1}{2}m_{alpha}({mathbf{v}}_{alpha} cdot {mathbf{v}}_{alpha} )=sum_{alpha} frac{1}{2} m_{alpha}[(mathbf{V}+boldsymbol{omega} times mathbf{r}_{alpha}) cdot (mathbf{V}+boldsymbol{omega} times mathbf{r}_{alpha})] )]
전개하면,
[math( displaystyle T= sum_{alpha} frac{1}{2} m_{alpha}V^{2}+sum_{alpha} frac{1}{2} m_{alpha}(boldsymbol{omega} times mathbf{r}_{alpha})^{2}+mathbf{V} cdot left ( boldsymbol{omega} times sum_{alpha} m_{alpha} mathbf{r}_{alpha} right) )]
이다. 이때, [math( sum_{alpha} m_{alpha} mathbf{r}_{alpha} )]은 질량중심을 나타내는 벡터에 강체의 전체 질량을 곱한 것이고, [math( mathbf{r}_{alpha} )]이 질량중심을 시점으로 하는 벡터[참고]임에 따라 [math( 0 )]이 되므로 우변의 제 [math( 3 )]항은 [math( 0 )]이 된다. 따라서 강체의 운동 에너지는 두 항으로 분리된다.
[math( displaystyle T= sum_{alpha} frac{1}{2} m_{alpha}V^{2}+sum_{alpha} frac{1}{2} m_{alpha}(boldsymbol{omega} times mathbf{r}_{alpha})^{2} )]
이때, [math( sum_{alpha} m_{alpha} equiv M )]으로 강체의 전체 질량이 됨에 따라
[math( displaystyle T= frac{1}{2} MV^{2}+sum_{alpha} frac{1}{2} m_{alpha}(boldsymbol{omega} times mathbf{r}_{alpha})^{2} )]
이 된다. 이때,
[math( displaystyle frac{1}{2} MV^{2} equiv T_{textrm{trans}},,, sum_{alpha} frac{1}{2} m_{alpha}(boldsymbol{omega} times mathbf{r}_{alpha})^{2} equiv T_{textrm{rotating}} )]
를 각각 강체의 병진 운동 에너지와 회전 운동 에너지라 한다.
이때, [math( (boldsymbol{omega} times mathbf{r}_{alpha})^{2} = (boldsymbol{omega} times mathbf{r}_{alpha})cdot(boldsymbol{omega} times mathbf{r}_{alpha}) )]를 이용하여, 회전 운동 에너지 항을 다시 쓰면,
[math( displaystyle sum_{alpha} frac{1}{2} m_{alpha}[omega^{2} r_{alpha}^{2}-(boldsymbol{omega} cdot mathbf{r}_{alpha})^{2}] )]
이때, 각 벡터의 성분을 밝혀 적으면,
[math( displaystyle sum _{alpha} frac{1}{2}m_{alpha}left [ left ( sum _{i} omega_{i}^{2} right ) left ( sum _{k} x_{alpha k}^{2} right )-left ( sum _{i} omega_{i}x_{alpha i} right ) left ( sum _{j} omega_{j}x_{alpha j} right ) right ] )]
이다. 여기서 [math( x_{alpha i} )]는 [math( alpha )]번 째 질점의 [math( x_{i} )]좌표를 뜻한다. 이때, 크로네커 델타를 사용하면, [math( sum_{j} delta_{ij} omega_{j}=omega_{i} )]가 되므로 위 식을 다시 쓰면,
[math( displaystyle sum_{ij}frac{1}{2} omega_{i}omega_{j} left { sum _{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij}left ( sum_{k} x_{alpha k}^{2} right )-x_{alpha i}x_{alpha j} right ] right } )]
이때,
[math( displaystyle I_{ij} equiv sum _{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij}left ( sum_{k} x_{alpha k}^{2} right )-x_{alpha i}x_{alpha j} right ] )]
를 관성 텐서(Inertia tensor)로 정의한다. 관성 텐서는 2차 텐서이며, 행렬 꼴로 나타내면 다음과 같다.
[math( boldsymbol{mathsf{I} }=begin{bmatrix} displaystyle sum_{alpha}m_{alpha}(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}) &displaystyle -sum_{alpha}m_{alpha}x_{1}x_{2} & displaystyle -sum_{alpha}m_{alpha}x_{1}x_{3} \ displaystyle -sum_{alpha}m_{alpha}x_{2}x_{1} & displaystyle sum_{alpha}m_{alpha}(x_{1}^{2}+x_{3}^{2}) & displaystyle -sum_{alpha}m_{alpha}x_{2}x_{3} \ displaystyle -sum_{alpha}m_{alpha}x_{3}x_{1} & displaystyle -sum_{alpha}m_{alpha}x_{3}x_{2} & displaystyle sum_{alpha}m_{alpha}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})end{bmatrix} )]
관성 텐서는 대칭행렬이기 때문에 [math( I_{ij}=I_{ji} )]가 성립하므로, [math( I_{11},,I_{22},,I_{33},,I_{12},,I_{13},,I_{23} )]만 구하면 되며, 대각 성분인 [math( I_{ii} )]를 [math( x_{i} )]축 주위의 관성 모멘트라 하고, 그 외의 성분인 [math( I_{ij},(i neq j) )]를 관성곱이라 한다.
연속체의 경우 합은 적분으로 대체할 수 있으므로 밀도함수 [math( rho(mathbf{r}) )]를 이용하면,
[math( displaystyle I_{ij} equiv int rho(mathbf{r}) left [ delta_{ij}left ( sum_{k} x_{ k}^{2} right )-x_{ i}x_{ j} right ] dV )]
로 쓸 수 있다.
따라서 이것을 이용하면, 회전 운동 에너지를 다음과 같이 표기 가능하다.
[math( displaystyle T_{textrm{rotating}}=frac{1}{2} sum_{ij} I_{ij} omega_{i}omega_{j} )]
4. 각운동량의 기술
강체의 각운동량은 각 질점의 각운동량의 합과 같으므로
[math( displaystyle mathbf{L}=sum_{alpha} mathbf{r}_{alpha} times mathbf{p}_{alpha}=sum_{alpha} mathbf{r}_{alpha} times (m_{alpha} mathbf{v}_{alpha}) =sum_{alpha}m_{alpha} mathbf{r}_{alpha} times ( boldsymbol{omega}_{alpha} times mathbf{r}_{alpha}) )]
벡터 항등식을 이용하여 다시 쓰면,
[math( displaystyle mathbf{L} =sum_{alpha}m_{alpha}left [ r_{alpha}^{2}boldsymbol{omega}-(boldsymbol{omega} cdot mathbf{r}_{alpha}) mathbf{r}_{alpha} right ] )]
벡터의 성분을 밝혀 적으면,
[math( displaystyle L_{i}= sum_{alpha} m_{alpha} left [ omega_{i}left ( sum_{k} x_{alpha k}^{2} right )- x_{alpha i} left ( sum_{j} omega_{j}x_{alpha j} right ) right ] )]
이것 또한 크로네커 델타를 사용하여, 다시 쓰면,
[math( displaystyle L_{i} = sum_{j} omega_{j} left { sum_{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij} left ( sum_{k} x_{alpha k}^{2} right )- x_{alpha i} x_{alpha j} right ] right } )]
이때, 중괄로로 처리한 항은 위에서 도출했던 관성 텐서이므로 각운동량은 아래와 같이 쓸 수 있음을 얻는다.
[math( displaystyle L_{i} = sum_{j} I_{ij} omega_{j} )]
이것을 텐서 표기법으로 쓰면,
[math( displaystyle mathbf{L} = boldsymbol{mathsf{I} } cdot boldsymbol{omega} )]
로 쓰고, 이 논의는 위에서 했던 [math( 3 )]차원 회전에선 관성 모멘트 항이 스칼라가 아닌, 텐서가 돼야한다는 것을 얻는다.
각운동량 식에서 양변에 [math( omega_{i}/2 )]를 곱하고, [math( i )]에 대한 합을 하면,
[math( displaystyle sum_{i} frac{1}{2} omega_{i} L_{i} = sum_{ij} frac{1}{2} I_{ij} omega_{i} omega_{j} )]
을 얻고, 우변은 위에서 얻었던 회전 운동 에너지이다. 따라서 다음을 얻는다.
[math( displaystyle T_{textrm{rotating}}=frac{1}{2} boldsymbol{omega} cdot mathbf{L}=frac{1}{2} boldsymbol{omega} cdot boldsymbol{mathsf{I} } cdot boldsymbol{omega} )]
[math( displaystyle mathbf{L}=sum_{alpha} mathbf{r}_{alpha} times mathbf{p}_{alpha}=sum_{alpha} mathbf{r}_{alpha} times (m_{alpha} mathbf{v}_{alpha}) =sum_{alpha}m_{alpha} mathbf{r}_{alpha} times ( boldsymbol{omega}_{alpha} times mathbf{r}_{alpha}) )]
벡터 항등식을 이용하여 다시 쓰면,
[math( displaystyle mathbf{L} =sum_{alpha}m_{alpha}left [ r_{alpha}^{2}boldsymbol{omega}-(boldsymbol{omega} cdot mathbf{r}_{alpha}) mathbf{r}_{alpha} right ] )]
벡터의 성분을 밝혀 적으면,
[math( displaystyle L_{i}= sum_{alpha} m_{alpha} left [ omega_{i}left ( sum_{k} x_{alpha k}^{2} right )- x_{alpha i} left ( sum_{j} omega_{j}x_{alpha j} right ) right ] )]
이것 또한 크로네커 델타를 사용하여, 다시 쓰면,
[math( displaystyle L_{i} = sum_{j} omega_{j} left { sum_{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij} left ( sum_{k} x_{alpha k}^{2} right )- x_{alpha i} x_{alpha j} right ] right } )]
이때, 중괄로로 처리한 항은 위에서 도출했던 관성 텐서이므로 각운동량은 아래와 같이 쓸 수 있음을 얻는다.
[math( displaystyle L_{i} = sum_{j} I_{ij} omega_{j} )]
이것을 텐서 표기법으로 쓰면,
[math( displaystyle mathbf{L} = boldsymbol{mathsf{I} } cdot boldsymbol{omega} )]
로 쓰고, 이 논의는 위에서 했던 [math( 3 )]차원 회전에선 관성 모멘트 항이 스칼라가 아닌, 텐서가 돼야한다는 것을 얻는다.
각운동량 식에서 양변에 [math( omega_{i}/2 )]를 곱하고, [math( i )]에 대한 합을 하면,
[math( displaystyle sum_{i} frac{1}{2} omega_{i} L_{i} = sum_{ij} frac{1}{2} I_{ij} omega_{i} omega_{j} )]
을 얻고, 우변은 위에서 얻었던 회전 운동 에너지이다. 따라서 다음을 얻는다.
[math( displaystyle T_{textrm{rotating}}=frac{1}{2} boldsymbol{omega} cdot mathbf{L}=frac{1}{2} boldsymbol{omega} cdot boldsymbol{mathsf{I} } cdot boldsymbol{omega} )]
5. 관련 정리
5.1. 임의의 축에 대한 관성 모멘트
이번에는 관성 텐서를 이용하여, 임의의 축에 대한 강체의 관성 모멘트를 어떻게 구하는 지 알아보자.
파일:관성텐서임의의축(수정본).png
위 그림과 같이 각속도 [math( boldsymbol{omega} )]로 회전하는 강체를 생각해보자. 이때, 각속도 벡터와 평행하면서, 원점 [math( textrm{O} )]를 지나는 축을 회전축이라 고려해보자. 이 회전축의 방향 벡터 [math( hat{mathbf{n}} )]를 방향 코사인으로 나타내면,
[math( displaystyle hat{mathbf{n}}=(cos{alpha},,cos{beta},, cos{gamma}) )]
이라 나타낼 수 있고, 관성 모멘트의 정의에서 해당 축에 대한 관성 모멘트는
[math( displaystyle I = sum_{alpha} m_{alpha} {r'}_{alpha}^{2} )]
이 된다.[5] 이때,
[math( {r'}_{alpha}^{2} = (r_{alpha} sin{theta_{alpha}})^{2} = left| hat{mathbf{n}} times mathbf{r}_{alpha} right|^{2} )]
이다. 이때, [math( displaystyle hat{mathbf{n}}=(cos{alpha},,cos{beta},, cos{gamma}) )]와 [math( mathbf{r}_{alpha}=sum_{i} mathbf{x}_{ai} )]임을 이용하면, 다음을 얻는다.
[math( I=begin{bmatrix}cos{alpha} & cos{beta} & cos{gamma} end{bmatrix} begin{bmatrix}I_{11} & I_{12} & I_{13} \ I_{21} & I_{22} & I_{23} \ I_{31} & I_{32} & I_{33}end{bmatrix}begin{bmatrix}cos{alpha}\ cos{beta} \ cos{gamma} end{bmatrix} )]
이때,
[math( displaystyle I_{ij} equiv sum _{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij}left ( sum_{k} x_{alpha k}^{2} right )-x_{alpha i}x_{alpha j} right ] )]
이다. 이것을 텐서 기호로 나타내면,
[math( displaystyle I = boldsymbol{lambda}^{T} cdot boldsymbol{mathsf{I} } cdot boldsymbol{lambda} )]
로 나타낼 수 있다. 여기서 [math( begin{bmatrix}cos{alpha}\ cos{beta} \ cos{gamma} end{bmatrix} equiv boldsymbol{lambda} )]으로, 축의 방향 벡터의 성분을 열벡터로 나타낸 것이며, [math( boldsymbol{lambda}^{T} )]는 [math( boldsymbol{lambda} )]의 전치행렬을 뜻한다.
파일:관성텐서임의의축(수정본).png
.png){kind=link}
위 그림과 같이 각속도 [math( boldsymbol{omega} )]로 회전하는 강체를 생각해보자. 이때, 각속도 벡터와 평행하면서, 원점 [math( textrm{O} )]를 지나는 축을 회전축이라 고려해보자. 이 회전축의 방향 벡터 [math( hat{mathbf{n}} )]를 방향 코사인으로 나타내면,
[math( displaystyle hat{mathbf{n}}=(cos{alpha},,cos{beta},, cos{gamma}) )]
이라 나타낼 수 있고, 관성 모멘트의 정의에서 해당 축에 대한 관성 모멘트는
[math( displaystyle I = sum_{alpha} m_{alpha} {r'}_{alpha}^{2} )]
이 된다.[5] 이때,
[math( {r'}_{alpha}^{2} = (r_{alpha} sin{theta_{alpha}})^{2} = left| hat{mathbf{n}} times mathbf{r}_{alpha} right|^{2} )]
이다. 이때, [math( displaystyle hat{mathbf{n}}=(cos{alpha},,cos{beta},, cos{gamma}) )]와 [math( mathbf{r}_{alpha}=sum_{i} mathbf{x}_{ai} )]임을 이용하면, 다음을 얻는다.
[math( I=begin{bmatrix}cos{alpha} & cos{beta} & cos{gamma} end{bmatrix} begin{bmatrix}I_{11} & I_{12} & I_{13} \ I_{21} & I_{22} & I_{23} \ I_{31} & I_{32} & I_{33}end{bmatrix}begin{bmatrix}cos{alpha}\ cos{beta} \ cos{gamma} end{bmatrix} )]
이때,
[math( displaystyle I_{ij} equiv sum _{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij}left ( sum_{k} x_{alpha k}^{2} right )-x_{alpha i}x_{alpha j} right ] )]
이다. 이것을 텐서 기호로 나타내면,
[math( displaystyle I = boldsymbol{lambda}^{T} cdot boldsymbol{mathsf{I} } cdot boldsymbol{lambda} )]
로 나타낼 수 있다. 여기서 [math( begin{bmatrix}cos{alpha}\ cos{beta} \ cos{gamma} end{bmatrix} equiv boldsymbol{lambda} )]으로, 축의 방향 벡터의 성분을 열벡터로 나타낸 것이며, [math( boldsymbol{lambda}^{T} )]는 [math( boldsymbol{lambda} )]의 전치행렬을 뜻한다.
5.2. 평행축 정리
파일:관성텐서평행축정리(수정본).png
위 그림과 같이 강체의 질량중심이 아닌 [math( textrm{Q} )]을 원점으로 잡은 [math( X_{i} )]계를 벡터 [math( mathbf{a} )]만큼 평행이동하여 강체의 질량중심인 [math( textrm{O} )]가 원점인 좌표계 즉, 처음에 관성 텐서를 유도할 때 쓴 [math( x_{i} )]계를 고려해보자. 이때, [math( X_{i} )]계에서 측정된 관성 텐서의 성분을 [math( J_{ij} )]라 놓으면,
[math( displaystyle J_{ij} = sum _{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij}left ( sum_{k} X_{alpha k}^{2} right )-X_{alpha i}X_{alpha j} right ] )]
이때, 다음이 성립하므로
[math( displaystyle mathbf{R}_{alpha}=mathbf{r}_{alpha}+mathbf{a} )]
위의 관성 텐서는
[math( displaystyle J_{ij} = sum _{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij}left { sum_{k} (x_{alpha k}+a_{k})^{2} right }-(x_{alpha i}+a_{i})(x_{alpha j}+a_{j}) right ] )]
이때, 이것을 전개하고, 다시쓰면,
[math( displaystyle J_{ij} = sum _{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij}left ( sum_{k} x_{alpha k}^{2} right )-x_{alpha i}x_{alpha j} right ]+sum _{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij}left ( sum_{k} a_{k}^{2} right )-a_{ i}a_{ j} right ]-2sum _{alpha} m_{alpha} left[ delta_{ij} sum_{k} x_{alpha k}a_{k}-(x_{alpha i} a_{j}+x_{alpha j} a_{i}) right] )]
이때, 우변의 제 [math( 1 )]항은 위에서 계산했던, [math( x_{i} )]계에서 측정된 관성 텐서의 성분인 [math( I_{ij} )]이고, 제 [math( 2 )]항에서 [math( sum _{alpha} m_{alpha} equiv M )]으로 강체의 전체 질량이며, 제 [math( 3 )]항은 [math( sum _{alpha } m_{alpha} x_{alpha } =sum _{alpha } m_{alpha} mathbf{r}_{alpha} )]로 강체의 질량중심 벡터를 나타내는 항의 계산이 포함되어 있다. 그러나, [math( x_{i} )]계의 원점이 강체의 질량중심이므로 이 항이 포함된 항은 모두 [math( 0 )]이 되므로 제 [math( 3 )]항은 없어진다.
이상에서
[math( displaystyle J_{ij} = I_{ij}+M left [ delta_{ij}left ( sum_{k} a_{k}^{2} right )-a_{ i}a_{ j} right ] )]
이고, 관성 모멘트에서 "평행축 정리"라고 논했던 것의 일반형을 얻는다.
.png){kind=link}
위 그림과 같이 강체의 질량중심이 아닌 [math( textrm{Q} )]을 원점으로 잡은 [math( X_{i} )]계를 벡터 [math( mathbf{a} )]만큼 평행이동하여 강체의 질량중심인 [math( textrm{O} )]가 원점인 좌표계 즉, 처음에 관성 텐서를 유도할 때 쓴 [math( x_{i} )]계를 고려해보자. 이때, [math( X_{i} )]계에서 측정된 관성 텐서의 성분을 [math( J_{ij} )]라 놓으면,
[math( displaystyle J_{ij} = sum _{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij}left ( sum_{k} X_{alpha k}^{2} right )-X_{alpha i}X_{alpha j} right ] )]
이때, 다음이 성립하므로
[math( displaystyle mathbf{R}_{alpha}=mathbf{r}_{alpha}+mathbf{a} )]
위의 관성 텐서는
[math( displaystyle J_{ij} = sum _{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij}left { sum_{k} (x_{alpha k}+a_{k})^{2} right }-(x_{alpha i}+a_{i})(x_{alpha j}+a_{j}) right ] )]
이때, 이것을 전개하고, 다시쓰면,
[math( displaystyle J_{ij} = sum _{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij}left ( sum_{k} x_{alpha k}^{2} right )-x_{alpha i}x_{alpha j} right ]+sum _{alpha} m_{alpha} left [ delta_{ij}left ( sum_{k} a_{k}^{2} right )-a_{ i}a_{ j} right ]-2sum _{alpha} m_{alpha} left[ delta_{ij} sum_{k} x_{alpha k}a_{k}-(x_{alpha i} a_{j}+x_{alpha j} a_{i}) right] )]
이때, 우변의 제 [math( 1 )]항은 위에서 계산했던, [math( x_{i} )]계에서 측정된 관성 텐서의 성분인 [math( I_{ij} )]이고, 제 [math( 2 )]항에서 [math( sum _{alpha} m_{alpha} equiv M )]으로 강체의 전체 질량이며, 제 [math( 3 )]항은 [math( sum _{alpha } m_{alpha} x_{alpha } =sum _{alpha } m_{alpha} mathbf{r}_{alpha} )]로 강체의 질량중심 벡터를 나타내는 항의 계산이 포함되어 있다. 그러나, [math( x_{i} )]계의 원점이 강체의 질량중심이므로 이 항이 포함된 항은 모두 [math( 0 )]이 되므로 제 [math( 3 )]항은 없어진다.
이상에서
[math( displaystyle J_{ij} = I_{ij}+M left [ delta_{ij}left ( sum_{k} a_{k}^{2} right )-a_{ i}a_{ j} right ] )]
이고, 관성 모멘트에서 "평행축 정리"라고 논했던 것의 일반형을 얻는다.
6. 관성 주축
위에서 [math( 3 )]차원 상에서 강체의 회전 운동 시 각운동량과 각속도는 서로 평행하지 않음을 알아냈다. 그러나, 특정 축에선 이들이 평행할 수 있다. 그러한 축을 관성 주축이라 한다. 즉,
[math( displaystyle mathbf{L}=I boldsymbol{omega} )]
를 만족하는 축을 구하려고 하는 것이다. 따라서 다음을 만족해야 한다.
[math( displaystyle boldsymbol{mathsf{I} } cdot boldsymbol{omega} =I boldsymbol{omega} )]
이때, 단위 텐서 [math( boldsymbol{mathsf{E} } )][6]를 이용하면,
[math( displaystyle (boldsymbol{mathsf{I} }-I boldsymbol{mathsf{E}} ) cdot boldsymbol{omega} =0 )]
로 식을 바꿀 수 있다. 이것을 행렬 꼴로 바꾸면,
[math( displaystyle begin{bmatrix}I_{11}-I & I_{12} & I_{13} \ I_{21} & I_{22}-I & I_{23} \ I_{31} & I_{32} & I_{33}-I end{bmatrix}begin{bmatrix}omega_{1}\ omega_{2}\ omega_{3}end{bmatrix}=begin{bmatrix}0\ 0\ 0end{bmatrix} )]
이때, [math( I )]가 [math( 0 )]을 제외한 해를 갖기 위해선 행렬식
[math( displaystyle begin{vmatrix}I_{11}-I & I_{12} & I_{13} \ I_{21} & I_{22}-I & I_{23} \ I_{31} & I_{32} & I_{33}-I end{vmatrix}=0 )]
을 만족해야 한다.
여기까지 왔다면, 눈치 챈 사람도 있겠지만, 관성 주축을 구하는 것은 행렬의 대각화 과정과 똑같다는 것을 알 수 있다. 이때, 대각화 과정에서 구해지는 고유값이 해당 주축의 관성 모멘트에 해당하게 되고, 또한 고유벡터[7]가 곧 주축에 대응하게 된다.
정리하면, 대각화 과정을 거친 후 얻은 고유값 [math( I )]가 주축의 관성 모멘트임을 알 수 있고, 해당 고유값으로 구해진 각속도 벡터
[math( displaystyle boldsymbol{omega}= (omega_{1}, , omega_{2}, , omega_{3}) )]
가 주축이 되게 된다.
주축의 관성 모멘트는 각 축에 대해 여러 값이 주어질 수 있으며, 이때 그 구해진 축으로 강체의 좌표계를 정하게 되면, 관성 텐서는 다음과 같은 꼴로 나타나게 된다.
[math( displaystyle boldsymbol{mathsf{I} } = begin{bmatrix}I_{1} &0 &0 \ 0 & I_{2} &0 \ 0 &0 & I_{3}end{bmatrix} )]
참고로, 대각화 문제를 많이 풀어봤다면, 관성 주축은 어떤 직선으로 주어지는 것 뿐만 아니라, 평면(축의 임의성이 존재)이 주어질 수도 있음을 추측해볼 수 있다.
관성 텐서의 경우 구해진 주축은 모두 직교하게 되며, 주축의 관성 모멘트는 실수 값이 구해지게 된다. 대칭행렬, 스펙트럼 정리 참조. 이것에 대한 증명은 수준 상 생략한다.
[math( displaystyle mathbf{L}=I boldsymbol{omega} )]
를 만족하는 축을 구하려고 하는 것이다. 따라서 다음을 만족해야 한다.
[math( displaystyle boldsymbol{mathsf{I} } cdot boldsymbol{omega} =I boldsymbol{omega} )]
이때, 단위 텐서 [math( boldsymbol{mathsf{E} } )][6]를 이용하면,
[math( displaystyle (boldsymbol{mathsf{I} }-I boldsymbol{mathsf{E}} ) cdot boldsymbol{omega} =0 )]
로 식을 바꿀 수 있다. 이것을 행렬 꼴로 바꾸면,
[math( displaystyle begin{bmatrix}I_{11}-I & I_{12} & I_{13} \ I_{21} & I_{22}-I & I_{23} \ I_{31} & I_{32} & I_{33}-I end{bmatrix}begin{bmatrix}omega_{1}\ omega_{2}\ omega_{3}end{bmatrix}=begin{bmatrix}0\ 0\ 0end{bmatrix} )]
이때, [math( I )]가 [math( 0 )]을 제외한 해를 갖기 위해선 행렬식
[math( displaystyle begin{vmatrix}I_{11}-I & I_{12} & I_{13} \ I_{21} & I_{22}-I & I_{23} \ I_{31} & I_{32} & I_{33}-I end{vmatrix}=0 )]
을 만족해야 한다.
여기까지 왔다면, 눈치 챈 사람도 있겠지만, 관성 주축을 구하는 것은 행렬의 대각화 과정과 똑같다는 것을 알 수 있다. 이때, 대각화 과정에서 구해지는 고유값이 해당 주축의 관성 모멘트에 해당하게 되고, 또한 고유벡터[7]가 곧 주축에 대응하게 된다.
정리하면, 대각화 과정을 거친 후 얻은 고유값 [math( I )]가 주축의 관성 모멘트임을 알 수 있고, 해당 고유값으로 구해진 각속도 벡터
[math( displaystyle boldsymbol{omega}= (omega_{1}, , omega_{2}, , omega_{3}) )]
가 주축이 되게 된다.
주축의 관성 모멘트는 각 축에 대해 여러 값이 주어질 수 있으며, 이때 그 구해진 축으로 강체의 좌표계를 정하게 되면, 관성 텐서는 다음과 같은 꼴로 나타나게 된다.
[math( displaystyle boldsymbol{mathsf{I} } = begin{bmatrix}I_{1} &0 &0 \ 0 & I_{2} &0 \ 0 &0 & I_{3}end{bmatrix} )]
참고로, 대각화 문제를 많이 풀어봤다면, 관성 주축은 어떤 직선으로 주어지는 것 뿐만 아니라, 평면(축의 임의성이 존재)이 주어질 수도 있음을 추측해볼 수 있다.
관성 텐서의 경우 구해진 주축은 모두 직교하게 되며, 주축의 관성 모멘트는 실수 값이 구해지게 된다. 대칭행렬, 스펙트럼 정리 참조. 이것에 대한 증명은 수준 상 생략한다.
7. 관성 텐서 도입의 장점
관성 모멘트의 정의에서 같은 물체를 회전시키더라도 회전축이 어디냐에 따라 관성 모멘트가 달라질 수 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 이 불편함을 해결하기 위해 관성 텐서가 도입되었다.
관성 텐서는 회전운동에 대한 역학을 엄밀하게 정의하는 데 상당한 도움이 된다. 예를 들면, 각운동량과 각속도 역시 벡터량이므로 주어지는 기존의 각운동량과 각속도의 관계 식[8]]에서 관성 모멘트를 관성 텐서로 대치하면 각운동량과 각속도를 각 방향 성분으로 나누어 계산해야만 하는 기존 공식과 달리 3차원 운동에서도 각운동량과 각속도를 그대로 벡터량으로 둔 채로 취급이 가능하다.
관성 텐서는 회전운동에 대한 역학을 엄밀하게 정의하는 데 상당한 도움이 된다. 예를 들면, 각운동량과 각속도 역시 벡터량이므로 주어지는 기존의 각운동량과 각속도의 관계 식[8]]에서 관성 모멘트를 관성 텐서로 대치하면 각운동량과 각속도를 각 방향 성분으로 나누어 계산해야만 하는 기존 공식과 달리 3차원 운동에서도 각운동량과 각속도를 그대로 벡터량으로 둔 채로 취급이 가능하다.