look and say sequence · 읽고(보고) 말하기 數列, 개미 數列

1로 시작하여, 읽고 말하는 대로 다음 항을 도출하는 수열이다. 보고 말하기 수열이라고도 하며, 프랑스의 유명 소설가 베르나르 베르베르의 소설 <개미>에 등장한다고 하여 개미 수열이라고도 한다. 이 수열은 일상적 언어를 사용한 구술적인 방식으로 정의되기에, 엄밀한 수학적 표현으로 정의되는 여타 수열과 달리 일반항이나 점화식을 구하기 어렵다.

콘웨이의 생명 게임으로 유명한 존 호튼 콘웨이가 만들었다.

읽고 말하기 수열을 [math(L_n)]([math(n)]은 자연수)[1]이라 하자. [math(L_1=1)]이라 하고, [math(L_{n+1})]의 값은 [math(L_n)]의 값의 각 자릿값을 따지는데, 만약 '[math(a)]개의 [math(b)], [math(c)]개의 [math(d)]...'가 된다면 [math(abcd)][2]란 [math(a×b×c×d)]의 의미가 아니다. 만약 [math(a=1, b=2, c=3, d=4)]라면 [math(abcd=1234)]가 되는 식이다.] 식으로 모든 수를 붙여서 나타낸다. 단, 큰 자리부터 개수를 세되, 자릿수의 값이 달라지면 세기를 중단하고 그 달라진 수의 개수를 센다. 또한, 각 자릿수에 전혀 등장하지 않는 수는 '0개의 1' 따위로 세는 것이 아니고 아예 표시하지 않는다. 그러면 읽고 말하기 수열은 다음과 같이 된다. 말로만 설명해서는 이해가 어려울 것이니 직접 수열을 보라.

이 경우 읽고 말하기 수열의 일의 자리는 항상 [math(1)]이다. [math(L_{1}=1)]인 이상 마지막에는 '[math(1)]'의 개수를 셀 수밖에 없고, '[math(n)]개의 [math(1)]'이 되어 '[math(n1)]' 꼴로 표기가 끝날 수밖에 없다.

혹은, '[math(a)]개의 [math(b)]'가 아니라 '[math(b)]가 [math(a)]개' 식으로 나타낼 수도 있다. 그러면 읽고 말하기 수열은 다음과 같이 된다.

이 경우, 수열의 각 항의 자릿수의 배열이 모두 역순이 되므로 맨 앞 자리가 항상 1이 된다.

각 자릿수의 값이 몇 개인지 세어 그것을 다음 항의 표기에 반영하므로, 한 번 출현한 자릿수는 영원히 그 수열에서 사라지지 않는다. 예를 들어 한 번 [math(3)]이 어떤 항의 어떤 자릿수에 출현하면, [math(3)]이 몇 개인지 세어 '[math(n)]개의 [math(3)]' 또는 '[math(3)]이 [math(n)]개' 식으로 그 바로 다음 항의 표기에 반영하므로, [math(3)]이 다음 항의 적어도 하나 이상의 자릿수에 출현하게 된다. 그렇다면 그 다음의 항도, 또 그 다음의 항도 마찬가지임은 자명하다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다.