확률 흐름 밀도

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1. 개요2. 공식3. 기타

1. 개요[편집]

Probability current

양자역학에서는 불확정성 원리에 의해 입자의 위치나 운동량을 확정적으로 나타낼 수 없는 대신, 위치의 확률 밀도 함수로 나타낼 수 있다. 이때 입자의 시간과 위치에 따른 확률 밀도 함수를 P(x,t) P(x,t) 라 하면, 확률 흐름 밀도 J(x, t) J(x,\,t) 는 다음과 같은 식을 만족한다.
∂P∂t=−∂J∂x \displaystyle {\partial P \over \partial t} = - {\partial J \over \partial x}
즉, 확률 흐름 밀도는 시간에 따른 확률이 변하는 것을 나타낸다. 다만 확률 밀도 함수라는 것은 "입자가 x=a x=a 와 x=b x=b 사이에서 발견될 확률" 같은 형태, 즉
Pab=∫abP(x) dx \displaystyle P_{ab} = \int_a^b P(x) \, dx
와 같은 식만 실제 확률의 값을 가진다. 따라서 확률 밀도 함수 또한 입자가 x=a x=a 와 x=b x=b 사이에서 발견될 확률이 시간에 따라 어떻게 변하는 지를 계산하기 위해 사용된다. 이는 그냥 위 식을 a a 부터 b b 까지 dx dx 로 적분하면 된다.
dPabdt=J(a, t)−J(b, t) \displaystyle {dP_{ab} \over dt} = J(a,\,t) - J(b,\,t)
즉 J(a, t)−J(b, t) J(a,\,t) - J(b,\,t) 는 입자가 a a 와 b b 사이에서 발견될 확률의 변화율을 나타낸다.

2. 공식[편집]

입자의 파동함수를 Ψ(x,t) \Psi (x,t) 라고 하면, 확률 밀도 함수는 P(x,t)=∣Ψ∣2 P(x,t) = {| \Psi |}^2 이다. 이때 1차원의 경우 확률 흐름 밀도 J J 는 다음과 같이 Ψ \Psi 에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
J(x, t)=−iℏ2m(Ψ∗∂Ψ∂x−∂Ψ∗∂xΨ) \displaystyle J(x,\,t) = - {{i \hbar} \over {2m}} \left( \Psi^\ast {{\partial \Psi} \over {\partial x}} - {{\partial \Psi^\ast} \over {\partial x}} \Psi \right)
단, mm은 입자의 질량이고, Ψ∗\Psi^\ast는 Ψ\Psi의 켤레복소수이다. 또한 3차원에서는 편미분을 그레이디언트로 바꿔서 일반화할 수 있다.
J(x, t)=−iℏ2m(Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗) \displaystyle J(x,\,t) = - {{i \hbar} \over {2m}} \left( \Psi^\ast \boldsymbol{ \nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{ \nabla} \Psi^\ast \right)

3. 기타[편집]

전자기학에서 연속 방정식은 다음과 같다.
∇⋅J+∂ρ∂t=0\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0
이때 ρ\rho 대신 확률 ∣Ψ∣2|\Psi|^2로 생각한다면 확률 흐름 밀도는 J\mathbf{J}가 된다! 따라서 확률 흐름 밀도는 마치 어떤 영역에서 확률이 (마치 전류 밀도처럼) 빠져나오는 것이라고 생각할 수 있다.