헤비사이드 계단함수

분류

1. 개요2. u(0)의 값

1. 개요

Heaviside Step Function

영국의 천재 전기공학자 올리버 헤비사이드가 연구한 함수라 하여 명명되었으며, 특수함수의 일종이다. 단위 계단함수(Unit Step Function, 單位階段函數)라고도 하며 정의는 다음과 같다.

[math(displaystyle u(x)equivint_{-infty}^{x}delta(t),mathrm{d}t)]

위에서 [math(delta(x))]는 디랙 델타 함수이다. 중요성에 비해 표기가 통일되어 있지 않아 [math(H(x))], [math(theta(x))]로 표기하기도 한다.[1]를 쓴다.]

구체적인 함숫값은 아래와 같다. 단, [math(x=0)]일 때는 대부분 [math(1/2)]로 정의하나 아래 항목에서와 같이 여러 의견이 있다.

[math(displaystyle u(x) = begin{cases}
1 & (x>0)\
1/2 & (x=0)\
0 & (x<0)
end{cases} )]

적분 기호 없이 간단하게 정의하자면 다음과 같다.

[math(u(x)=dfrac{1}{2}left(mathrm{sgn},x+1right))]

위에서 [math(mathrm{sgn},x)]는 부호 함수이다. 형태에서 보듯 부호 함수를 절반으로 줄여 놓고 [math(x)]축 위쪽으로 올려 놓은 모양새라 부호 없는 부호 함수라고 이해해도 무리가 없을 정도.

아래는 헤비사이드 계단함수의 그래프를 나타낸 것이다. 이때, [math(u(0)=1/2)]로 택하였다.

파일:나무_헤비사이드_계단함수_그래프.png

2. u(0)의 값

수학자마다 [math(u(0))]의 함숫값 정의가 달라 논란이 많다.[2]을 따르되 굳이 정수로 만들고 싶으면 거기에 바닥함수나 천장함수만 씌우면 되기 때문이다.]

[math(boldsymbol{u(0)={1}/{2}})] 설
- 다수설로, 위의 부호 함수로 쉽게 정의할 수 있고 [math({mathrm{d}}(mathrm{sgn},x)/mathrm{d}x=2delta(x))]가 성립한다는 근거를 들어 설명한다.
[math(boldsymbol{u(0)=0})] 설
- 자연수 판별 함수를 이용해 [math(u(x)=bold{1}_{mathbb N}(mathrm{sgn},x))]로 깔끔하게 정의할 수 있기 때문에 선호하는 경우가 있다.
[math(boldsymbol{u(0)=1})] 설
- 위와 비슷하나[5]로 바뀐다.], 0으로 나누기 같은 골칫거리가 생기지 않아서 선호하는 경우가 있다.

한편 이 함수로 유도되는 발판 함수(ramp function) [math(R(x) = x u(x))][6]는 정의상 어차피 0으로 곱해져버리기 때문에 이런 논란은 없다.

[1] 울프럼 알파와 같은 울프럼 언어에서는 [math(theta(x))[2] 사실 크게 유의미한 논란은 아닌 것이 다수론인 [math(1/2)[3] 이 경우 정의가 범자연수 집합을 쓴 [math(u(x)=bold{1}_{mathbb N_{0}}(mathrm{sgn},x))[4] 이 경우 정의가 범자연수 집합을 쓴 [math(u(x)=bold{1}_{mathbb N_{0}}(mathrm{sgn},x))[5] 이 경우 정의가 범자연수 집합을 쓴 [math(u(x)=bold{1}_{mathbb N_{0}}(mathrm{sgn},x))[6] 헤비사이드 계단함수의 원시함수이기도 하다.