파일:external/upload.wikimedia.org/500px-K%C3%B6nigsberg_graph.svg.png
이 그림은 한붓그리기가 불가능하다.[1]

한 번 지나간 선으로는 지나가지 않고 모든 선을 이어 그림을 완성하는 것. 붓을 종이에서 떼지 않고 한 번에 그린다고 해서 '한붓그리기'라는 이름이 붙었다. 이산수학에서는 경로가 닫혀있느냐[2] 아니냐에 따라 오일러 트레일(Euler trail), 또는 오일러 회로(Euler circuit)이라고 부른다.

우체부[3]가 쾨니히스베르크[4]에 있는 7개의 다리를 단 한 번씩만 건너서 다시 출발점으로 되돌아올 수 있겠냐는 문제를 1736년에 레온하르트 오일러가 그런 거 없다라고 증명한 것을 한붓그리기의 이론적 출발점으로 보고 있다.

비슷한 그래프 이론 문제로는 모든 변을 한 번만 지나야 하는 한붓 그리기 문제와는 반대로 모든 꼭짓점을 모두 한 번만 방문해야 하는 해밀턴 경로 문제도 있다.

2015년 기준 고등학교 3학년까지는 '행렬과 그래프' 단원에서 한붓그리기가 가능한 그래프에 대해 배운다. 다만 새 교육과정을 적용받는 고1, 고2부터는 행렬 단원 자체가 아예 빠져서 더 이상 한붓그리기에 대해 배우지 못한다.

그래프에서 한 꼭지점에 연결된 변의 개수이다. 단, 고리[5]는 2개의 변으로 생각한다.

기호로 Deg(a)로 표기한다.

그래프의 변의 개수가 k개일 때, 다음과 같은 정리가 성립한다.

파일:Euler_trail_01.png
이 경우에는 어떤 점에서 출발해도 다시 출발점으로 되돌아올 수 있다. 즉, 오일러 회로가 존재한다. 대표적인 그래프로 흔히 그리는 꼭짓점 5개짜리 별 그림이 있다.

파일:Euler_trail_02.png
차수가 홀수인 점이 A와 B라고 했을 때, A에서 출발하면 B로 도착하게 된다. 즉, 오일러 트레일은 존재하지만 오일러 회로는 존재하지 않는다. 위 그림에서 하단의 3에서 출발하면 반대편 3으로 도착하게 되는 것을 알 수 있다.

홀수점이 2개를 넘을 때는 한붓그리기가 불가능하다.

증명은 비교적 간단하다. 한붓그리기는 들르는 점에 상관없이 변을 모두 지났냐에 초점을 두기에, 하나의 단일 폐곡선으로 볼 수 있다. 이때 홀수점이 4곳 이상이라면 중간에 고립된 곡선이 생기므로 한붓 그리기가 불가능하다.

이해가 어렵다면 다음을 상상해 보자. 직접 그리면 더 좋다.
원 위에 점 A,B,C,D를 순서대로 잡자. 그리고 호 AB와 호 CD를 없애보자. 그러면 A, B, C, D 모두 홀수점이 된다.
이때 BC는 고립되었으므로 지나갈 수 없다. 따라서 한붓그리기는 불가능하다.

머리를 써야 하는 퍼즐이기 때문에 여러 게임에서도 한붓그리기를 사용한다.