폰 망골트 함수

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폰 망골트 함수(Von Mangoldt function)는 특수함수의 하나로, 정의는 다음과 같다.

Λ(n)≡ln⁡n (1{1}∘ω)(n)Ω(n)+1{1}(n)\displaystyle \Lambda(n) \equiv \dfrac{\ln n \,(\bold{1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)}{\Omega(n) + \bold{1}_{\{1\}}(n)} \quad(n∈Nn \in \mathbb{N})

[유도 과정 보기]

우선 소인수가 1개일 경우 1, 소인수가 1개가 아닌 경우 0인 경우를 정의하기 위해 다음과 같은 합성함수를 정의하자.

(1{1}∘ω)(n)( \bold{1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)

그리고 결과값을 내놓을 자연로그함수를 여기에 곱해주자.

ln⁡n (1{1}∘ω)(n)\ln n \,(\bold{1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)

위 정의에 따라 소인수가 1개일 경우에만 그 수의 로그값을 얻는다.
그런데 이 정의에는 문제가 있다. ω(n)\omega(n)은 소인수의 제곱수에서도 1의 값을 띠기 때문이다.

이때, 로그의 성질에 의해 ln⁡ab=bln⁡a\ln a^b = b \ln a가 성립하므로, 소인수 멱수 계량 함수를 나누어서 상쇄시킬 수 있다.

ln⁡n (1{1}∘ω)(n)Ω(n)\dfrac{\ln n \,(\bold{1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)}{\Omega(n)}

여기까지 봐서는 큰 문제가 없는 듯하지만, Ω(n)=0\Omega(n)=0을 만족하는 자연수가 존재한다. 다름아닌 1로, 위 식에 1을 대입하면

ln⁡1 (1{1}∘ω)(1)Ω(1)=00\dfrac{\ln 1 \,(\bold{1}_{\{1\}} \circ \omega)(1)}{\Omega(1)} = \dfrac{0}{0}

의 부정형이 되어 잘 정의된 함수가 아니다.[1]

그런데 부정형을 만드는 자연수는 1뿐이므로, 분모에 위에서 정의한 판별 함수를 더해주면 1에서도 잘 정의됨을 알 수 있다.

ln⁡1 (1{1}∘ω)(1)Ω(1)+1{1}(1)=01=0\dfrac{\ln 1 \,(\bold{1}_{\{1\}} \circ \omega)(1)}{\Omega(1) + \bold{1}_{\{1\}}(1)} = \dfrac{0}{1} = 0

최종적으로 폰 망골트 함수의 정의는 이렇게 유도된다.

Λ(n)≡ln⁡n (1{1}∘ω)(n)Ω(n)+1{1}(n)\displaystyle \Lambda(n) \equiv \dfrac{\ln n \,(\bold{1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)}{\Omega(n) + \bold{1}_{\{1\}}(n)}


위에서 ω\omega, Ω\Omega는 소인수 계량 함수, 1{1}\bold{1}_{\{1\}}는 소인수가 하나인 수만을 취하기 위한 1만을 원소로 갖는 집합의 판별 함수이다. 분모의 1{1}(n)\bold{1}_{\{1\}}(n)은 [math(Omega(n)=0)][2]인 상황에서도 잘 정의하기 위한 것이다.

정의에 따라 소수이거나 소수의 거듭제곱으로 정의된 수인 경우 해당 소인수의 자연로그값을 띠며[3], 나머지 경우에는 00이다.


[1] 여기에 로피탈의 정리를 갖다 붙이려는 사람이 있을 수 있는데, 정의에 사용한 1{1}(n),ω(n),Ω(n)\bold{1}_{\{1\}}(n), \omega(n), \Omega(n) 모두 도함수가 없기 때문에 로피탈의 정리를 쓸 수가 없다.[2] Ω(n)=0\Omega(n)=0를 만족하는 자연수는 딱 하나 있다. 다름아닌 11.[3] 예컨대 Λ(2)=Λ(4)=Λ(8)=⋯=Λ(2n)=ln⁡2\Lambda(2)=\Lambda(4)=\Lambda(8)=\cdots=\Lambda(2^n)=\ln 2가 성립한다.