분류
1. 개요
2. 상세
고등학교에서 배우는 평균값의 정리는 다음과 같다.
함수 [math( fleft(xright) )]가 닫힌 구간 [math( left[a, bright] )]에서 연속이고 열린 구간 [math( left(a, bright) )]에서 미분가능하면 [math( displaystyle frac{fleft(bright)-fleft(aright)}{b-a} = f'left(cright), c in left(a, bright) )]인 [math(c)]가 적어도 하나 존재한다.
기하학적으로 해석하면 두 점 [math(Aleft(a, fleft(aright)right), Bleft(b, fleft(bright)right))]를 연결하는 직선과 평행한 접선이 구간 [math(left(a, bright))] 안에 적어도 하나 존재한다는 뜻이다. 만약 [math(fleft(aright) = fleft(bright))]이면 롤의 정리가 성립한다. 즉, 평균값의 정리는 롤의 정리의 일반화라고 할 수 있다.
이 정리 덕에 부정적분값에 상수만 붙이는게 정당화된다. 즉, [math( F'left(xright) = fleft(xright) )]일 때 미분하여 [math( fleft(xright) )]가 되는 함수는 [math( Fleft(xright)+C)] 꼴뿐이다.
미분을 배워보면 알겠지만 미적분의 기본정리를 접하기 전 단계에서는 미분에서 가장 중요한 근간이 되는 정리이다. 미분 문제, 특히 접선을 이용한 방정식과 부등식류의 문제를 풀다가 잘 모르겠을 때는 평균값 정리를 적용하면 쉽게 풀리는 경우가 대부분이다.
이 정리 덕에 부정적분값에 상수만 붙이는게 정당화된다. 즉, [math( F'left(xright) = fleft(xright) )]일 때 미분하여 [math( fleft(xright) )]가 되는 함수는 [math( Fleft(xright)+C)] 꼴뿐이다.
미분을 배워보면 알겠지만 미적분의 기본정리를 접하기 전 단계에서는 미분에서 가장 중요한 근간이 되는 정리이다. 미분 문제, 특히 접선을 이용한 방정식과 부등식류의 문제를 풀다가 잘 모르겠을 때는 평균값 정리를 적용하면 쉽게 풀리는 경우가 대부분이다.
증명
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점 [math(left(a,f(a)right) )]와 점 [math(left(b,f(b)right) )]를 지나는 직선의 방정식을 [math(y=l(x))]라고 하자.
[math(F(x)=f(x)-l(x) )]라 두면, 이 함수는 [math( left[a,bright])]에서 연속이고 [math(left(a,bright) )]에서 미분가능하며, [math(F(a)=0, F(b)=0 )]이므로 롤의 정리에 의하여 [math(F'(c)=f'(c)-l'(c)=0 )]인 [math(c in left(a,bright) )]가 존재한다. [math(l'(c)=m= displaystyle frac{fleft(bright)-fleft(aright)}{b-a})]이므로 [math( f'(c)=displaystyle frac{fleft(bright)-fleft(aright)}{b-a})]이다. |
평균값 정리의 기하학적 의미는 곡선 [math(y = f(x))] 위의 두 점 [math( (a, f(a)))]와 [math((b, f(b)))]를 지나는 선분과 곡선 [math(y = f(x))] 위에 어떤 점이 존재하여 그 점에서의 접선이 평행하다는 것을 뜻한다.
파일:나무_평균값정리_기하학적의미.png
앞의 평균값 정리에서 [math(b-a = h)]라 하면 [math(c-a < b-a)]이므로 [math(0<displaystyle {c-a over h}<1)]이 된다. 여기서 [math( theta =displaystyle {c-a over h})]로 놓으면 평균값 정리는
[math(f(a+h) = f(a) + hf'(a + theta h))], [math(0< theta < 1)]
와 같이 나타낼 수 있다. 즉, 가까운 두 점을 한 점의 함수값과 그 점 인근의 미분값을 이용해서 계산할 수 있다는 것이며, 이것이 바로 선형근사의 기본 접근방식이다.
3. 코시의 평균값 정리
고등학교에서 배우는 평균값의 정리를 좀 더 일반화한 버전으로, 내용은 다음과 같다.
함수 [math( fleft(xright) )]와 [math( gleft(xright) )]가 닫힌 구간 [math( left[a, bright] )]에서 연속이고 열린 구간 [math( left(a, bright) )]에서 미분가능하면 [math( f'left(cright)left[gleft(bright)-gleft(aright)right] = g'left(cright)left[fleft(bright)-fleft(aright)right] )]인 [math(c)]가 [math( left(a, bright) )]내에 적어도 하나 존재한다.
여기서 [math(gleft(xright) = x )]라 두면 우리가 보통 알고 있는 평균값의 정리가 된다.
증명
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<math>Fleft(xright) = fleft(xright)left{gleft(bright)-gleft(aright)right}-gleft(xright)left{fleft(bright)-fleft(aright)right} </math>라 정의하자. 그럼 [math(F)]는 닫힌구간 [math(left[a, bright])]에서 연속이고 열린구간 [math(left(a, bright))]에서 미분가능하다.
또한, [math( Fleft(aright)=Fleft(bright)=fleft(aright)gleft(bright)-gleft(aright)fleft(bright))]이므로 롤의 정리에 의해 [math(F'left(cright) = 0 )]를 만족하는 [math(cin left(a, bright))]가 존재한다. 그러면 [math(F'left(xright) = f'left(xright)left{gleft(bright)-gleft(aright)right}-g'left(xright)left{fleft(bright)-fleft(aright)right})]이므로, [math( f'left(cright)left{gleft(bright)-gleft(aright)right} = g'left(cright)left{fleft(bright)-fleft(aright)right})] |
4. 활용
4.1. 함수의 증감
여러 가지 활용이 있겠지만, 함수의 그래프를 그리는 방법이 가장 익숙할 것이다.
함수 [math(f)]가 [math(left(a, bright))]에서 미분가능하고 모든 [math(xin(a,b))]에 대해 [math(f'left(xright) > 0 )]이면, [math(f)]는 그 구간에서 증가한다.
증명
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열린 구간 [math(left(a,bright))] 안에서 임의의 실수 [math(x_1, x_2)]를 [math(x_1<x_2)]가 되게 잡는다. 그럼 [math(f)]는 [math(left[x_1, x_2right])]에서 연속이고 [math(left(x_1, x_2right))]에서 미분가능하다.
따라서 평균값의 정리에 의해 [math(displaystyle f'left(x_0right) = frac{fleft(x_2right)-fleft(x_1right)}{x_2-x_1})]를 만족하는 [math(x_0)]가 [math(left(x_1, x_2right))]내에 적어도 하나 존재한다. 또한 [math(x_2-x_1 > 0, f'left(x_0right) > 0)]이므로 [math(fleft(x_2right)-fleft(x_1right) > 0 )]이다. 즉, [math(fleft(x_1right) < fleft(x_2right))]가 성립한다. [math(x_1, x_2)]는 구간 안의 임의의 값이므로 [math(f)]는 구간 내에서 증가한다. |
비슷한 방법으로 아래 명제를 증명할 수 있다.
함수 [math(f)]가 [math(left(a, bright))]에서 미분가능하고모든[math(xin(a,b))]에 대해 [math(f'left(xright) < 0 )]이면, [math(f)]는 그 구간에서 감소한다.
4.2. 로피탈의 정리
해당 문서 참고
4.3. 미분가능성
어떤 한 점에서 미분가능성을 모를 때, 주변 미분계수의 극한을 관찰함으로써 미분가능성을 판정할 수도 있다.
실수 [math(a)]를 포함하는 열린구간 [math(I)]에서 정의된 함수 [math(f)]가 있을 때, [math(f)]가 [math(a)]에서 연속이고 [math(I-left{aright})]에서 미분가능하며, [math(displaystyle lim_{xto a}f'left(xright)=L)]이면([math(L)]은 실수) [math(f)]는 [math(a)]에서 미분가능하고 [math(f'left(aright)=L)]이다.
증명
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<bgcolor=math>displaystyle lim_{xto a}f'left(xright)=L</math>이므로 임의의 양수 [math(varepsilon)]에 대하여 양수 [math(delta left(varepsilonright))]가 존재하여 [math(0<left|x-aright|<deltaleft(varepsilonright))]인 임의의 [math(x in I)]에 대해 [math(left|f'left(xright)-Lright|<varepsilon)]이다.
한편 평균값 정리에 의하여 임의의 [math(xin I-left{aright})]에 대해 [math(displaystyle {fleft(xright)-fleft(aright)over x-a}=f'left(cright))]인 [math(c)]가 [math(a)]와 [math(x)]사이에 존재한다. 즉, [math(0<left|c-aright|<left|x-aright|)]이다. 그러면 [math(x in I)]이고 [math(0<left|x-aright|<deltaleft(varepsilonright))]일 때 [math(displaystyle left|{fleft(xright)-fleft(aright)over x-a}-Lright|=left|f'left(cright)-Lright|<varepsilon)]이 성립하므로 [math(displaystyle lim_{xto a}{fleft(xright)-fleft(aright)over x-a}=L)]이다. 따라서 [math(f)]는 [math(a)]에서 미분가능하고 [math(f'left(aright)=L)]이다. |
참고로 [math(displaystyle lim_{xto a}f'left(xright)=pminfty)]이면 [math(f)]가 [math(a)]에서 미분가능하지 않고, [math(displaystyle lim_{xto a}f'left(xright))]가 수렴하지도, 무한대로 발산하지도 않는경우 이 방법으로는 미분가능성을 판단할 수 없다. 로피탈의 정리와 사용조건이 같다는 걸 알 수 있다.[2]
4.4. 적분의 평균값 정리
대학교 미분적분학에 등장한다. 이 정리는 주어진 곡선에 대한 면적과 같은 직사각형을 구하는 데 도움을 준다.
함수 [math(f)]가 실수상에 속하는 폐구간[math([a, b])]에서 연속함수 이면, [math(displaystyle frac{1}{b-a}int^{b}_{a} f(x)mathrm{d}x = f(c))]를 만족하는 [math(cin(a, b))]가 존재한다.
증명
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[math(f)]가 [math([a, b])]에서 연속이므로 최대, 최소값의 정리에 의하여 [math(M = sup{f(x)|xin[a, b]})], [math(m = inf {f(x)|xin[a, b]})]가 존재한다. 따라서 모든 [math(xin[a, b])]에 대하여 [math(mle f(x)le M)]이므로 적분의 대소 비교 성질에 의하여 [math(m(b - a)le displaystyle int^{b}_{a} f(x)mathrm{d}xle M(b - a))]이다. 그러므로 다음이 성립한다.
[math( mle displaystyle frac{1}{b-a}int^{b}_{a} f(x)mathrm{d}x le M)] [math(f)]는 [math([a, b])]에서 연속이므로, 중간값의 정리에 의하여 [math(displaystyle frac{1}{b-a}int^{b}_{a} f(x)mathrm{d}x = f(c))]를 만족하는 [math(cin(a, b))]가 존재한다. |
4.5. 가우스의 평균값 정리
Gauss's Mean Value Theorem
복소평면상에서 코시 적분 공식에서 유도되는 공식.
복소평면상에서 코시 적분 공식에서 유도되는 공식.
함수 [math(f)]가 닫힌 원 [math(left|z-z_{0}right|leq r)]에서 해석적(Analytic)이라고 하면, [math(f(z_{0})=displaystyle{frac{1}{2pi}}int_{0}^{2pi}f(z_{0}+re^{itheta})mathrm{d}theta)]이다.
증명
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코시 적분 공식 [math(f(z_{0})=displaystyle{frac{1}{2pi i}}int_{mathcal{C}}displaystyle{frac{f(z)}{z-z_{0}}mathrm{d}z})]에서, [math(mathcal{C}:z_{0}+re^{itheta})]라고 하자.
즉, [math(f(z_{0})=displaystyle{frac{1}{2pi i}}int_{left|z-z_{0}right|=r}displaystyle{frac{f(z)}{z-z_{0}}mathrm{d}z})]인데, [math(z-z_{0}=z_{0}+re^{itheta}-z_{0}=re^{itheta})]이므로, [math(mathrm{d}z=ire^{itheta}mathrm{d}theta)]가 되고, [math(f(z_{0})=displaystyle{frac{1}{2pi i}}int_{0}^{2pi}displaystyle{frac{f(z_{0}+re^{itheta})}{re^{itheta}}ire^{itheta}mathrm{d}theta})]가 된다. 정리하면 [math(f(z_{0})=displaystyle{frac{1}{2pi}}int_{0}^{2pi}f(z_{0}+re^{itheta})mathrm{d}theta)]가 성립한다. |
적분 평균값 정리에서 [math(a=0, b=2pi, x=z_{0}+re^{itheta}, c=z_{0})]라고 둘 경우의 경우와 일치한다. [math(x)]를 [math(mathbb{C})]상에서 범위 [math(X:left|z_{0}-yright|leq r)]의 경계선으로 보면, [math(c=z_{0}to cin X)]이기 때문.