톨레미 정리

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분류
1. 개요2. 정리3. 증명4. 톨레미 부등식5. 특별한 경우의 톨레미 정리6. 여담7. 관련 문서

1. 개요[편집]

Ptolemy's theorem

그리스의 천문학자 프톨레마이오스의 이름이 붙은 평면기하학 정리 중 하나이다. 톨레미의 정리는 원에 내접하는 사각형에 관한 것이며, 삼각형의 닮음과 원의 성질만 배우면 바로 증명이 가능할 정도로 간단하다.

2. 정리[편집]

파일:namu_톨레미_1.svg

내접사각형 ABCD\rm ABCD에서,

AB‾⋅CD‾+AD‾⋅BC‾=AC‾⋅BD‾\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}+\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm BC}=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BD}

이 성립한다. 다른 말로 표현하자면,
내접사각형의 두 대각선 길이의 곱은 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합이다.

3. 증명[편집]

파일:namu_톨레미_2.svg

∠CAD=∠BAP\angle{\rm CAD}=\angle{\rm BAP}가 되게 대각선 BD‾\overline{\rm BD}위에 점 PP를 잡는다. 또한, 원주 ADAD에 대한 원주각에 의해 ∠ABP=∠ACD\angle{\rm ABP}=\angle{\rm ACD}이다.

∴△ABP∼△ACD\therefore\triangle{\rm ABP}\sim\triangle{\rm ACD} \quad(AA\rm AA 닮음)

변의 비를 구하면,

AB‾:BP‾=AC‾:CD‾∴AB‾⋅CD‾=AC‾⋅BP‾⋯ (1)\begin{aligned} \overline{\rm AB}:\overline{\rm \rm BP}&=\overline{\rm AC}:\overline{\rm CD} \\ \therefore \overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}&=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BP} \quad \cdots \, \small{(1)} \end{aligned}

이제 ∠BAC=∠PAD\angle{\rm BAC}=\angle{\rm PAD}이고, ∠BCA=∠BDA\angle{\rm BCA}=\angle{\rm BDA} (호 AB\rm AB에 대한 원주각)이므로

△ABC∼△APD\triangle{\rm ABC}\sim\triangle{\rm APD} \quad (AA\rm AA 닮음)

변의 비를 구하면,

AC‾:BC‾=AD‾:PD‾∴BC‾⋅AD‾=AC‾⋅PD‾⋯ (2)\begin{aligned} \overline{\rm AC}:\overline{\rm BC}&=\overline{\rm AD}:\overline{\rm PD} \\ \therefore \overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm AD}&=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm PD}\quad \cdots \, \small{(2)} \end{aligned}


식 (1)\small{(1)}과 식 (2)\small{(2)}를 변끼리 더하면,

AB‾⋅CD‾+AD‾⋅BC‾=AC‾(BP‾+PD‾)=AC‾⋅BD‾\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}+\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm BC}=\overline{\rm AC}\left(\overline{\rm BP}+\overline{\rm PD}\right)=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BD}

4. 톨레미 부등식[편집]

임의의 사각형에서,

AB‾⋅CD‾+AD‾⋅BC‾≥AC‾⋅BD‾\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}+\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm BC}\geq\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BD}

가 성립한다. 등호가 성립할 필요충분조건은 사각형이 원에 내접할 때이다.

평면에서의 증명은 원래 증명과 비슷하게 닮음이 되는 점 P\rm P를 찍고 삼각부등식을 이용한다.

신기한 것은, 이 톨레미의 부등식은 평면 뿐만이 아니라 모든 차원의 사각형에 대해 성립한다! 이 경우는 일반성을 잃지 않고 3차원으로 간주한 뒤 AC→×BD→\overrightarrow{\rm AC} \times \overrightarrow{\rm BD}에 수직인 평면으로 사영을 시켜 증명할 수 있다.

5. 특별한 경우의 톨레미 정리[편집]

원을 직선으로 눌렀을 때도 톨레미의 정리는 성립한다. 한마디로, 직선 위의 점 A\rm A, B\rm B, C\rm C, D\rm D에서도 위의 정리가 성립한다.

단순 계산으로 증명할 수 있다.

6. 여담[편집]

  • 한국에서는 "프톨레마이오스의 정리" 보다는 영어식 발음인 "톨레미의 정리"라는 이름으로 더 많이 알려져 있다.
  • 한국의 수학 교육과정에서는 가르치지 않고 수학 경시대회를 준비한다면 학원 같은 곳에서 배우게 된다. 하지만 비단 수학 경시대회가 아니더라도 이 톨레미의 정리는 알아놓으면 고등학교 때까지는 잘만 써먹는다. 삼각함수의 합차공식 등을 직각삼각형 2개만 그려 증명할 수도 있다.

7. 관련 문서[편집]