이 문서의 내용을 이해하기 위해서는 벡터에 대한 기본적인 지식이 필요하다.
벡터 문서 참조.
.
파일:곡선.png 어떤 시각
t t t 에 입자가 A점으로부터 출발하여
시각
t + Δ t t+\Delta\ t t + Δ t 에 B점에 도달하는 정보를 담은 그림이다.
먼저 목적은
입자의 속도를 구하는 것 이다.
입자의 위치벡터
r \mathbf r r 은 원점으로부터의 거리
r r r 와 단위벡터
u r u_r u r 를 갖는다.
r = r u r \displaystyle \mathbf{r}=r\mathbf{u}_r r = r u r 벡터는 특별히 볼드체로 표기하였음을 명심하자! r \bf r r r r r 극좌표를 사용하면 모든 단위벡터는 다음과 같이 표현 가능하다.
u r ( θ ) = cos θ i ^ + sin θ j ^ \displaystyle \mathbf{u}_r( \theta ) = \cos \theta \, \hat{\mathbf{ i }}+ \sin \theta \, \hat{\mathbf j} u r ( θ ) = cos θ i ^ + sin θ j ^ 벡터
r ( t ) \mathbf{r}(t) r ( t ) 와
r ( t + Δ t ) \mathbf{r}(t+\Delta t) r ( t + Δ t ) 를 나타내면
r ( t ) = r cos θ i ^ + r sin θ j ^ \displaystyle \mathbf{r}(t)=r \cos \theta \, \hat{\mathbf i} + r \sin \theta \, \hat{\mathbf j} r ( t ) = r cos θ i ^ + r sin θ j ^ r ( t + Δ t ) = ( r + Δ r ) cos ( θ + Δ θ ) i ^ + ( r + Δ r ) sin ( θ + Δ θ ) j ^ \displaystyle \mathbf{r} (t+\Delta t) =\\ (r+\Delta r) \cos( \theta + \Delta \theta) \hat{\mathbf{i }}+ (r+\Delta r) \sin( \theta + \Delta \theta) \hat{\mathbf{j }} r ( t + Δ t ) = ( r + Δ r ) cos ( θ + Δ θ ) i ^ + ( r + Δ r ) sin ( θ + Δ θ ) j ^ 이제 입자의 속도를 구해보자.
v = r ( t + Δ t ) − r ( t ) Δ t \displaystyle \mathbf{v} = \frac{\mathbf{r}(t+ \Delta\ t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t} v = Δ t r ( t + Δ t ) − r ( t ) 에서
매우 짧은 시간 간격
Δ t ≈ 0 \Delta\ t \approx 0 Δ t ≈ 0 에 대하여
매우 짧은 각의 변화
Δ θ ≈ 0 \Delta\ \theta\approx 0 Δ θ ≈ 0 으로 취급할 수 있고,
삼각함수의 성질
sin ( θ + Δ θ ) = sin θ cos Δ θ + cos θ sin Δ θ \displaystyle \sin( \theta + \Delta \theta ) =\sin\theta \cos\Delta\theta + \cos\theta \sin\Delta\theta sin ( θ + Δ θ ) = sin θ cos Δ θ + cos θ sin Δ θ cos ( θ + Δ θ ) = cos θ cos Δ θ − sin θ sin Δ θ \displaystyle \cos( \theta + \Delta \theta ) =\cos\theta \cos\Delta\theta - \sin\theta \sin\Delta\theta cos ( θ + Δ θ ) = cos θ cos Δ θ − sin θ sin Δ θ 을 이용하여
lim Δ t → 0 r ( t + Δ t ) − r ( t ) Δ t {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \dfrac{\mathbf{r}(t+ \Delta\ t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t} Δ t → 0 lim Δ t r ( t + Δ t ) − r ( t ) 를
i ^ , j ^ \bf \hat i , \, \hat j i ^ , j ^ 성분끼리 정리하면
i ^ \bf \hat i i ^ 성분 :
lim Δ t → 0 r ( cos θ cos Δ θ − sin θ sin Δ θ ) + Δ r ( cos θ cos Δ θ − sin θ sin Δ θ ) − r cos θ Δ t {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \dfrac{r(\cos \theta \cos\Delta\theta - \sin\theta \sin\Delta\theta)+\Delta r(\cos\theta \cos\Delta\theta - \sin\theta \sin\Delta\theta) -r \cos \theta}{\Delta t} Δ t → 0 lim Δ t r ( cos θ cos Δ θ − sin θ sin Δ θ ) + Δ r ( cos θ cos Δ θ − sin θ sin Δ θ ) − r cos θ
lim Δ t → 0 r ( sin θ cos Δ θ + cos θ sin Δ θ ) + Δ r ( sin θ cos Δ θ + cos θ sin Δ θ ) − r sin θ Δ t {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \dfrac{r(\sin\theta \cos\Delta\theta + \cos\theta \sin\Delta\theta)+\Delta r(\sin\theta \cos\Delta\theta + \cos\theta \sin\Delta\theta) -r \sin \theta}{\Delta t} Δ t → 0 lim Δ t r ( sin θ cos Δ θ + cos θ sin Δ θ ) + Δ r ( sin θ cos Δ θ + cos θ sin Δ θ ) − r sin θ
여기서
sin Δ θ ≈ Δ θ , cos Δ θ ≈ 1 \sin \Delta\theta \approx \Delta\theta , \cos \Delta\theta \approx 1 sin Δ θ ≈ Δ θ , cos Δ θ ≈ 1 를 이용하여 다시 간단히 하면
i ^ \bf \hat i i ^ 성분 :
lim Δ t → 0 r ( cos θ − sin θ Δ θ ) + Δ r ( cos θ − sin θ Δ θ ) − r cos θ Δ t = lim Δ t → 0 ( Δ r cos θ Δ t − ( r − Δ r ) sin θ Δ θ Δ t ) \displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \dfrac{r(\cos\theta - \sin\theta \Delta\theta)+\Delta r(\cos\theta - \sin\theta \Delta\theta) -r \cos \theta}{\Delta t} = {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\dfrac{\Delta r \cos \theta}{\Delta t} - \frac{(r-\Delta r) \sin \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) Δ t → 0 lim Δ t r ( cos θ − sin θ Δ θ ) + Δ r ( cos θ − sin θ Δ θ ) − r cos θ = Δ t → 0 lim ( Δ t Δ r cos θ − Δ t ( r − Δ r ) sin θ Δ θ )
lim Δ t → 0 r ( sin θ + cos θ Δ θ ) + Δ r ( sin θ + cos θ Δ θ ) − r sin θ Δ t = lim Δ t → 0 ( Δ r sin θ Δ t + ( r + Δ r ) cos θ Δ θ Δ t ) \displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \dfrac{r(\sin\theta + \cos\theta \Delta\theta)+\Delta r(\sin\theta + \cos\theta \Delta\theta) -r \sin\theta}{\Delta t} = {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\dfrac{\Delta r \sin \theta}{\Delta t} + \frac{(r+\Delta r) \cos \theta \Delta\theta}{\Delta t} ) Δ t → 0 lim Δ t r ( sin θ + cos θ Δ θ ) + Δ r ( sin θ + cos θ Δ θ ) − r sin θ = Δ t → 0 lim ( Δ t Δ r sin θ + Δ t ( r + Δ r ) cos θ Δ θ )
매우 짧은 시간 간격
Δ t ≈ 0 \Delta\ t \approx 0 Δ t ≈ 0 에 대하여
매우 짧은 거리 변화
Δ r ≈ 0 \Delta\ r \approx 0 Δ r ≈ 0 일 것이므로
i ^ \bf \hat i i ^ 성분 :
lim Δ t → 0 ( Δ r cos θ Δ t − r sin θ Δ θ Δ t ) \displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} (\dfrac{\Delta r \cos \theta}{\Delta t} - \dfrac{r \sin \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) Δ t → 0 lim ( Δ t Δ r cos θ − Δ t r sin θ Δ θ ) j ^ \bf \hat j j ^ 성분 :
lim Δ t → 0 ( Δ r sin θ Δ t + r cos θ Δ θ Δ t ) {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\dfrac{\Delta r \sin \theta}{\Delta t} + \dfrac{r \cos \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) Δ t → 0 lim ( Δ t Δ r sin θ + Δ t r cos θ Δ θ ) lim Δ t → 0 Δ r Δ t = d r d t {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \dfrac{\Delta \mathrm r}{\Delta t} = \dfrac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t} Δ t → 0 lim Δ t Δ r = d t d r 를 반지름 방향 속도
r ˙ = v \bf \dot{r} = v r ˙ = v 라 정의하고
lim Δ t → 0 Δ θ Δ t = d θ d t \displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t} = \dfrac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d} t} Δ t → 0 lim Δ t Δ θ = d t d θ 를 각속도
θ ˙ = ω \dot \theta = \omega θ ˙ = ω 라 정의하면
v = lim Δ t → 0 r ( t + Δ t ) − r ( t ) Δ t = ( r ˙ cos θ − r ω sin θ ) i ^ + ( r ˙ sin θ + r ω cos θ ) j ^ \mathbf {v} = \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{ \mathbf{r} (t+ \Delta t) - \mathbf{r} (t)}{\Delta t} = \\ ( \dot{r} \cos \theta - r \omega \sin \theta ) \hat{\mathbf i} + ( \dot{r} \sin \theta + r \omega \cos \theta ) \mathbf{ \hat {j}} v = Δ t → 0 lim Δ t r ( t + Δ t ) − r ( t ) = ( r ˙ cos θ − r ω sin θ ) i ^ + ( r ˙ sin θ + r ω cos θ ) j ^ 를 얻으며,
만약 각속도 벡터
ω ⃗ = ω k \vec{\omega} = \omega \mathbf{k} ω = ω k 를 정의하면
최종적으로 식
v = r ˙ u r + ω × r \bf v = \dot{r} u_\mathit{r} + \omega \times r v = r ˙ u r + ω × r 가 성립한다.
