이 문서의 내용을 이해하기 위해서는 벡터에 대한 기본적인 지식이 필요하다. 벡터 문서 참조.
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파일:곡선.png
어떤 시각 $t$에 입자가 A점으로부터 출발하여
시각 $t+\Delta\ t$에 B점에 도달하는 정보를 담은 그림이다.

먼저 목적은 입자의 속도를 구하는 것이다.

입자의 위치벡터 $\mathbf r$은 원점으로부터의 거리 $r$ 와 단위벡터 $u_r$를 갖는다.
$\displaystyle \mathbf{r}=r\mathbf{u}_r$
벡터는 특별히 볼드체로 표기하였음을 명심하자! $\bf r$은 벡터이고 $r$ 은 스칼라이다.)

극좌표를 사용하면 모든 단위벡터는 다음과 같이 표현 가능하다.
$\displaystyle \mathbf{u}_r( \theta ) = \cos \theta \, \hat{\mathbf{ i }}+ \sin \theta \, \hat{\mathbf j}$

벡터 $\mathbf{r}(t)$와 $\mathbf{r}(t+\Delta t)$를 나타내면
$\displaystyle \mathbf{r}(t)=r \cos \theta \, \hat{\mathbf i} + r \sin \theta \, \hat{\mathbf j}$
$\displaystyle \mathbf{r} (t+\Delta t) =\\ (r+\Delta r) \cos( \theta + \Delta \theta) \hat{\mathbf{i }}+ (r+\Delta r) \sin( \theta + \Delta \theta) \hat{\mathbf{j }}$

이제 입자의 속도를 구해보자.
$\displaystyle \mathbf{v} = \frac{\mathbf{r}(t+ \Delta\ t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t}$ 에서

매우 짧은 시간 간격 $\Delta\ t \approx 0$에 대하여
매우 짧은 각의 변화 $\Delta\ \theta\approx 0$ 으로 취급할 수 있고,

삼각함수의 성질
$\displaystyle \sin( \theta + \Delta \theta ) =\sin\theta \cos\Delta\theta + \cos\theta \sin\Delta\theta$
$\displaystyle \cos( \theta + \Delta \theta ) =\cos\theta \cos\Delta\theta - \sin\theta \sin\Delta\theta$
을 이용하여

${\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \dfrac{\mathbf{r}(t+ \Delta\ t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t}$를 $\bf \hat i , \, \hat j$ 성분끼리 정리하면

$\bf \hat i$성분 :

$\bf \hat j$성분 :

여기서 $\sin \Delta\theta \approx \Delta\theta , \cos \Delta\theta \approx 1$를 이용하여 다시 간단히 하면

$\bf \hat i$성분 :

$\bf \hat j$성분 :

매우 짧은 시간 간격 $\Delta\ t \approx 0$에 대하여
매우 짧은 거리 변화 $\Delta\ r \approx 0$일 것이므로

$\bf \hat i$성분 :
$\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} (\dfrac{\Delta r \cos \theta}{\Delta t} - \dfrac{r \sin \theta\Delta\theta}{\Delta t} )$
$\bf \hat j$성분 :
${\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\dfrac{\Delta r \sin \theta}{\Delta t} + \dfrac{r \cos \theta\Delta\theta}{\Delta t} )$

${\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \dfrac{\Delta \mathrm r}{\Delta t} = \dfrac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t}$를 반지름 방향 속도 $\bf \dot{r} = v$ 라 정의하고
$\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t} = \dfrac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d} t}$를 각속도 $\dot \theta = \omega$ 라 정의하면

$\mathbf {v} = \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{ \mathbf{r} (t+ \Delta t) - \mathbf{r} (t)}{\Delta t} = \\ ( \dot{r} \cos \theta - r \omega \sin \theta ) \hat{\mathbf i} + ( \dot{r} \sin \theta + r \omega \cos \theta ) \mathbf{ \hat {j}}$ 를 얻으며,

만약 각속도 벡터 $\vec{\omega} = \omega \mathbf{k}$ 를 정의하면
최종적으로 식 $\bf v = \dot{r} u_\mathit{r} + \omega \times r$가 성립한다. [1]

식1 의 $v$ $=$ $\dot{r}$ $u_r + \omega \times$

$r$

를 잘 보자,
이는 $r$ $=$ $r$ $u_r$의 양변을 시간에 대해 미분한 것과 같다.
미분 해 보면,$\dot{r}$ $=$ $v$ $=$ $\dot{r}$ $u_r +$ $r$ $\dot{u}_r$
이는 목차 1에서 구한 $v$ $=$ $\dot{r}$ $u_r + \omega \times$

$r$

와 같아야 하므로 다음이 성립한다.
$r$ $\dot{u}_r = \omega \times$

$r$

양 변을 $r$ 로 나누어 더 간단히 정리하면

$\dot{u}_r = \omega \times u_r$ [2]

정의에 따라 식 1을 $v$ $=$ $\dot{r}$ $u_r + \omega \times$

$r$

를 시간에 대해 미분하기만 하면

$\dot{v}$ $=$ $a$ $=$ $\ddot{r}$ $u_r +$ $\dot{r}$ $\dot{u_r} +$ $\dot{\omega} \times$ $r$ $+$ $\omega \times$ $\dot{r}$ 여기서 식 1과 2에 의해

$\dot{r}$ $=$ $\dot{r}$ $u_r + \omega \times$

$r$

와
$\dot{u_r} = \omega \times u_r$ 가 성립하므로

$a$ $=$ $\ddot{r}$ $u_r +$ $\dot{r}$ $\omega \times u_r +$ $\dot{\omega} \times$ $r$ $+$ $\omega \times$ ${( }$ $\dot{r}$ $u_r + \omega \times$

$r$

${)}$ 괄호 항을 전개하여 정리하면 최종적으로

$a$ $=$ $\ddot{r}$ $u_r + 2$ $\dot{r}$ $\omega \times u_r +$ $\dot{\omega} \times$ $r$ $+$ $\omega \times {( }$ $\omega \times$

$r$

${)}$ [3]

식 3의 $2$ $\dot{r}$ $\omega \times u_r$ 을 코리올리 가속도라고 하며, 자세한 건 전향력 문서 참조.