진자

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1. 개요2. 종류
2.1. 단진자2.2. 물리진자2.3. 비틀림 진자2.4. 결합진자
3. 관련 문서

1. 개요[편집]

Pendulum · 振子

일정한 축을 중심으로 일정한 주기 운동을 하는 물체를 말한다. 이때, 진자에 작용하는 복원력이나 결합 방식에 따라 그 종류가 나뉘게 된다.

2. 종류[편집]

2.1. 단진자[편집]

2.2. 물리진자[편집]

Physical pendulum

파일:나무_물리진자_수정.png

수평한 회전축을 가지고 있는 강체. 괘종시계의 시계추가 물리진자에 해당한다.

위 그림에서 회전축 O \textrm{O} 로 부터 강체의 질량중심(Center of mass) CM \textrm{CM} 까지의 거리를 LCM L_{\textrm{CM}} 이라 하자. 이때, 관성모멘트가 I I 인 강체가 받는 토크는

Iθ¨=−mgLCMsin⁡θ\displaystyle I \ddot{\theta}=-mgL_{\mathrm{CM}}\sin{\theta}

가 되고, 이것을 정리하면,

θ¨+mgLCMIsin⁡θ=0\displaystyle \ddot{\theta}+\frac{mgL_{\mathrm{CM} }}{I}\sin{\theta}=0

가 된다. 이때 강체가 작은 변위로 진동한다고 가정하면, sin θ≈θ \textrm{sin}\,\theta \approx \theta 로 놓을 수 있으므로

θ¨+mgLCMIθ=0\displaystyle \ddot{\theta}+\frac{mgL_{\mathrm{CM} }}{I}\theta=0

따라서 이 미분 방정식에서 진자의 진동 주기는

T=2πImgLCM\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgL_{\mathrm{CM} } }}

임을 알 수 있다.

2.3. 비틀림 진자[편집]

Torsion pendulum

파일:나무_비틀림진자.png

그림과 같이 비틀림 계수가 χ \chi 인 줄에 관성 모멘트가 I I 인 원판이 매달려 있는 비틀림 진자를 고려해보자. 이때, 진자를 θ \theta 만큼 비틀게 됐을 때, 진자에 작용하는 복원 토크는

Iθ¨=−χθ\displaystyle I \ddot{\theta} =-\chi \theta

로 주어진다. 따라서 이 방정식을 정리하면,

θ¨+χIθ=0 \displaystyle \ddot{\theta}+\frac{ \chi}{I} \theta =0

가 되므로 비틀림 진자의 주기는

T=2πIχ \displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{I}{\chi}}

가 된다. 따라서 초기에 θm \theta_{m} 만큼 비틀었다면, 평형점 O \textrm{O} 을 기준으로 θm \theta_{m} 만큼의 진폭으로 진동하게 됨을 알 수 있다.

2.4. 결합진자[편집]

Coupled pendulum

파일:결합진자_종류_재수정_2.png

결합진자의 형태는 무수히 많으며, 위는 대표적인 예를 모아놓은 것이다.

(가)의 경우 두 진자의 고유 진동수가 비슷하면 하나의 진자가 흔들릴때 다른 진자도 흔들리는 공명을 일으킨다. 하지만 두 진자의 고유 진동수가 다르면 공명을 잘 일으키지 않는다. 공명의 대표적인 예시 중 하나이다.

(나) 상황에 대해 아래를 고려해보자. 문제 상황을 쉽게하기 위해 질량은 같다고 가정했고, 평형상태에서 용수철이 늘어난 길이는 없다.

파일:나무_결합진자_나.png

우선 계의 운동 에너지는

T=12m(x˙12+x˙22)\displaystyle T=\frac{1}{2}m({\dot{x}_{1}}^{2}+{\dot{x}_{2}}^{2})

이고, 계의 퍼텐셜 에너지는 x1≤x2 x_{\textrm{1}} \leq x_{\textrm{2}} 라 가정하면,

U=mgl(1−cos⁡θ1)+mgl(1−cos⁡θ1)+12k(x2−x1)2\displaystyle U=mgl(1-\cos{\theta_{1}})+mgl(1-\cos{\theta_{1}})+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2}

이다. 이때, θ1, θ2 \theta_{\textrm{1}}, \, \theta_{\textrm{2}} 가 매우 작다고 가정하면,

cos⁡θi≈1−θi22\displaystyle \cos{\theta_{i}} \approx 1-\frac{\theta_{i}^{2}}{2}

로 근사 가능하다. 따라서 퍼텐셜 에너지는

U=mgl(θ122+θ222)+12k(x2−x1)2\displaystyle U=mgl\left( \frac{\theta_{1}^{2}}{2}+\frac{\theta_{2}^{2}}{2}\right)+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2}

그런데, θ1, θ2 \theta_{\textrm{1}}, \, \theta_{\textrm{2}} 가 매우 작으므로

lθi≈xi\displaystyle l \theta_{i} \approx x_{i}

로 할 수 있음에 따라

U=mg2l(x12+x22)+12k(x2−x1)2\displaystyle U=\frac{mg}{2l}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2}

이상에서 계의 라그랑지안은

L=T−U=12m(x˙12+x˙22)−[mg2l(x12+x22)+12k(x2−x1)2]\displaystyle \begin{aligned} L&=T-U \\&=\frac{1}{2}m({\dot{x}_{1}}^{2}+{\dot{x}_{2}}^{2})-\left[ \frac{mg}{2l}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} \right] \end{aligned}

이상에서 x1, x2 x_{\textrm{1}}, \, x_{\textrm{2}} 의 각각에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

x1 : ∂L∂x1−ddt(∂L∂x˙1)x2 : ∂L∂x2−ddt(∂L∂x˙2)\displaystyle \begin{aligned} x_{1}& \,:\, \frac{\partial L}{\partial x_{1}}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{1}} \right) \\ x_{2}& \,:\, \frac{\partial L}{\partial x_{2}}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{2}} \right) \end{aligned}

오일러 방정식을 품으로써 나온 두 식을 더허거나 빼면, 아래의 두 식을 얻는다.

(x¨1+x¨2)+gl(x1+x2)=0(x¨1−x¨2)+[gl+2km](x1−x2)=0\displaystyle \begin{aligned} (\ddot{x}_{1}+\ddot{x}_{2})+\frac{g}{l}(x_{1}+x_{2})&=0 \\ (\ddot{x}_{1}-\ddot{x}_{2})+\left[ \frac{g}{l}+\frac{2k}{m} \right] (x_{1}-x_{2})&=0 \end{aligned}

이때, x1+x2≡X x_{\textrm{1}}+x_{\textrm{2}} \equiv X , x2−x1≡Y x_{\textrm{2}}-x_{\textrm{1}} \equiv Y 라 놓으면, 두 방정식을 쉽게 판단할 수 있다.

X¨+glX=0Y¨+[gl+2km]Y=0\displaystyle \ddot{X}+\frac{g}{l}X=0 \qquad \qquad \ddot{Y}+\left[ \frac{g}{l}+\frac{2k}{m} \right]Y=0

두 방정식은 각각 각진동수 g/l \sqrt{g/l} , (g/l)+(2k/m) \sqrt{(g/l)+(\textrm{2}k/m)} 의 조화진동자의 진동 방정식이다. 따라서 결합진자에서 두 변위의 합과 차는 sine 혹은 cosine 항으로 기술된다는 것을 알 수 있다.

이때, x1=x2 x_{\textrm{1}}=x_{\textrm{2}} 라면, 계는 위의 첫 번째 식만 남고 아래의 식으로 기술된다.

x¨2+glx2=0\displaystyle \ddot{x}_{2}+\frac{g}{l}x_{2}=0

이때, x1=−x2 x_{\textrm{1}}=-x_{\textrm{2}} 라면, 계는 위의 두 번째 식만 남고 아래의 식으로 기술된다.

x¨2+[gl+2km]x2=0\displaystyle \ddot{x}_{2}+\left[ \frac{g}{l}+\frac{2k}{m} \right]x_{2}=0

이때, 위, 아래 상황은 아래 그림과 같이 각각 동 위상, 반대 위상으로 같은 진폭으로 진동하는 경우이다. 따라서 반대 위상인 경우가 더 빠르게 진동함을 알 수 있다.

파일:나무_결합진자_위상.png

3. 관련 문서[편집]