우선, $T$가 경로 연결 공간임을 보이자. $T$ 위의 임의의 두 점이 $\left( x, \sin \dfrac 1x \right)$, $\left( y, \sin \dfrac 1y \right)$일 때, 경로 $f: I = [0, 1] \to T$를

로 놓으면 $f$가 두 점 사이의 경로를 준다.
이제 곡선 $T$가 경로 연결 공간이므로, $T$는 자연스럽게 연결 공간이 된다.[1] 연결 공간의 폐포도 연결 공간이므로, $\overline T$는 연결 공간이다.□

결론을 부정하여 $\overline T$가 경로 연결 공간이라고 하자. 그러면, $\overline T$의 점 $f(0) = (0, 1)$과 $f(1) = (1, \sin 1)$을 잇는 경로 $f: I = [0, 1] \to \overline T$가 존재한다. 경로 $f$는 2차원 공간 $\mathbb R^2$를 공역으로 갖는 연속함수이므로, $x$축 및 $y$축에 해당하는 성분함수 $f_1: I = [0, 1] \to \mathbb R$와 $f_2: I = [0, 1] \to \mathbb R$도 연속함수이다.

이제 $\overline T$의 닫힌 부분집합 $\left\{ 0 \right\} \times I \subset \overline T$를 생각하면, 역상 $f^{-1}(\left\{ 0 \right\} \times I)$도 $I$의 닫힌 부분집합 이어야 한다. 한편 실수의 유계이면서 닫힌 부분집합은 최댓값을 가지므로, $\alpha = \max f^{-1}(\left\{ 0 \right\} \times I)$라 놓을 때 $f(\alpha ) = (0, \beta ) \in \left\{ 0 \right\} \times I$이다.

다음으로 $\gamma \in I - \left\{ \beta \right\}$인 $\gamma$를 고르고, $\sin \phi = \gamma$인 $\phi \in [0, 2 \pi]$를 택하자. $\alpha < 1$이므로, $\alpha < \alpha' < 1$인 $\alpha'$를 아무거나 고르자. $\alpha' > \alpha$이므로 $f_1(\alpha') > 0$이다. 따라서 중간값 정리에 의해 $f_1([\alpha, \alpha'])$은 $\left[ 0, f_1(\alpha') \right]$의 모든 값을 가지며, 이 중에는 특별히 $\dfrac 1{2n \pi + \phi}$와 같은 수들이 무수히 많이 존재한다.

따라서, $f([\alpha, \alpha'])$는 무수히 많은 $\left( \dfrac 1{2n \pi + \phi}, \gamma \right)$를 가진다. 이 집합의 극한점은 $(0, \gamma)$인데, 구간 $[\alpha, \alpha']$가 닫힌 집합이므로 $(0, \gamma) \in f([\alpha, \alpha'])$이다. 그런데 $[\alpha, \alpha']$의 점 중에서 $\alpha$를 제외한 점들은 전부 $x$좌표가 양수이므로 $(0, \gamma)$가 될 수 있는 것은 $\alpha$ 뿐이다. 그러나, $f(\alpha ) = (0, \beta ) \neq (0, \gamma)$ 이므로 모순을 얻는다.

종합하면 귀류법의 가정이 잘못되었으며, $\overline T$는 경로 연결 공간이 아니라는 결론을 얻는다.□