분류
1. 개요
양자역학의 주요 결론은 물체의 여러 상태가 확률적으로 중첩되어 있을 수도 있다는 것이다. 따라서 고전 물리학에서처럼 위치는 [math(x)], 속도는 [math(v)]...와 같이 물리량을 하나의 정해진 값으로 표현할 수 없다는 문제가 발생하게 된다. 물리학자들은 확률적인 상태를 표기하기 위해서 위치, 운동량 등 모든 물리량의 확률 밀도 함수를 포함하고 있는 추상적인 대상인 양자 상태(quantum state)를 도입하였다. 이러한 양자 상태가 가지는 기본적인 성질이 바로 이 문서에서 다루게 될 내용이며, 이는 양자 이론을 전개하는 데에 필수적인 기반이 된다.
다만 오해하지 말아야 할 것은 아래 공리들이 역사적으로 맨 처음에 나온 건 아니라는 것이다. 예를 들어 케플러 법칙이 먼저 나온 후 이를 통해 뉴턴이 만유인력의 법칙을 정립하였지만, 고전역학에서 설명할 때는 대부분 만유인력의 법칙을 통해 케플러 법칙을 유도한다. 이 방법이 수학적으로 더욱 깔끔하기 때문이다. 마찬가지로 여기 나오는 양자역학의 공리들도 양자역학 이론을 가장 체계적이고 아름답게 정리하기 위해서 '선정된' 것일 뿐, 실제 역사를 따지자면 흑체 복사, 광전 효과 등(틀:양자역학의 '배경'에 있는 실험들)이 먼저 나온 것들이다.
다만 오해하지 말아야 할 것은 아래 공리들이 역사적으로 맨 처음에 나온 건 아니라는 것이다. 예를 들어 케플러 법칙이 먼저 나온 후 이를 통해 뉴턴이 만유인력의 법칙을 정립하였지만, 고전역학에서 설명할 때는 대부분 만유인력의 법칙을 통해 케플러 법칙을 유도한다. 이 방법이 수학적으로 더욱 깔끔하기 때문이다. 마찬가지로 여기 나오는 양자역학의 공리들도 양자역학 이론을 가장 체계적이고 아름답게 정리하기 위해서 '선정된' 것일 뿐, 실제 역사를 따지자면 흑체 복사, 광전 효과 등(틀:양자역학의 '배경'에 있는 실험들)이 먼저 나온 것들이다.
2. 디랙 표기법
나무위키의 다양한 양자역학 관련 문서를 살펴보다 보면 [math(left| psi right>)]라든가 [math(left< psi right| hat{A} left| psi right>)] 같은 표현을 자주 만나게 된다. 이 특별한 기호는 양자 상태를 나타내기 위해 폴 디랙이 고안한 표기법으로, 디랙 표기법(Dirac notation) 또는 브라-켓 표기법(bra-ket notation)이라고 한다. 이 표기법의 독특한 특징은 벡터를 [math(vec{v})]도 [math(mathbf{v})]도 아닌, [math(left| v right>)]로 표기한다는 것이다. 양자 상태는 기본적으로 벡터이기 때문에, 양자역학에서 편리하게 사용할 수 있는 표기법을 만든 것이다. 벡터뿐만 아니라 벡터의 내적이나 연산자를 포함한 수식도 디랙 표기법으로 나타낼 수 있는데, 자세한 정의는 다음과 같다.
디랙 표기법
| 관습적인 벡터 표기
| 행렬 표기
| |
[math(left| b right>)] (켓)
| [math(vec{b})] 또는 [math(mathbf{b})]
| [math(begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ vdots \ b_n end{pmatrix})]
| [math(g(x))]
|
[math(vec{a} cdot left{ quad right} )] 또는 [math(langle mathbf{a}, left{ quad right} rangle )]
| [math(displaystyle int_{a}^{b} {f^* (x) left{ quad right} mathrm{d} x})] [A]
| ||
[math(left< a | b right>)] [A]
| [math(vec{a} cdot vec{b} )] 또는 [math(langle {bold a}, {bold b} rangle )]
| [math(displaystyle begin{pmatrix} a_1^* & a_2^* & cdots & a_n^* end{pmatrix} begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ vdots \ b_n end{pmatrix} = sum_{k=1}^{n}{a_n^* b_n} )] [A]
| [math(displaystyle int_{a}^{b} {f^* (x) g(x) mathrm{d} x})] [A]
|
여기서 벡터 [math(a)]와 [math(b)]의 내적을 홑화살괄호(bracket)를 써서 [math( left< a | b right> )]로 나타내기 때문에 브라-켓 표기법이라는 이름이 붙은 것이다. "bracket"을 반으로 쪼개서 왼쪽 부분인 [math( left< a right| )]를 브라(bra), 오른쪽 부분 [math( left| b right> )]를 켓(ket)이라고 부른다.
당연하지만, 디랙 표기법은 내적 공간의 벡터를 나타내는 표기법이기 때문에, 내적 및 벡터 공간 문서에 있는 모든 성질 및 정의들을 그대로 사용할 수 있다. 예를 들어,
- 덧셈: [math(left| a right> + left| b right> = left| c right>)], [math(left| a right> + left| 0 right> = left| a right>)]
- 스칼라 곱: [math(c left| a right> = left| a right> c )], [math(1 left| a right> = left| a right> )], [math(0 left| a right> = left| 0 right> )]
- 수반 연산자: [math( (left | b right>^*)^T = left | b right>^{dag} = left< b right|)]
- 켤레 대칭성: [math( left< a | b right>^* = left< b | a right>)]
- 양의 정부호성: [math( left< a | a right> geq 0 )]
- 노름(norm) : [math( | left| a right> | = sqrt{left< a | a right> })]
또 하나 주의할 것은, [math(left| quad right>)] 안에 들어가는 것은 어디까지나 켓 벡터의 "이름"이라는 것이다. 그런데 양자역학에서는 [math(left| M psi right> )] 라든가 [math(left| a+b right>)] 같은 표현이나, 특히 [math(hat{A} left| a right> = a left| a right>)] 처럼 문자의 중복을 자주 허용한다. 여기서 [math(left| a+b right>)]라는 것은 [math(a+b)]가 실제로 계산되는 것이 아니라, [math(overrightarrow{a+b})]처럼 벡터의 '이름'이 "[math(a+b)]"인 것이다. 코딩에 비유하자면 켓 안에 있는 것은 문자열(str)형, 밖에 있는 것은 실수(float)형이다. 따라서 [math(left| 1+1 right> = left| 3 right> )]라고 써도 수학적으로는 문제가 없는 것이다. [15]
3. 양자 상태(quantum state)
이렇게 디랙 표기법을 만든 것은 결국 양자 상태라는 것을 수학적으로 나타내기 위함이다. 양자 상태는 어떤 대상의 물리적인 정보를 나타내는 추상적인 표현이다. '양자' 상태라고 불리는 것 때문에 아주 작은 미시 세계의 입자만 표현한다고 생각이 들 수도 있지만, 사실 양자 상태는 모든 대상을 표현할 수 있다. 예를 들어 하나의 전자도 양자 상태를 가지고, 물 분자도 양자 상태를 가지며, 심지어 고양이나 우주 전체도 하나의 양자 상태로 가진다고 말할 수 있다. 이렇게 양자 상태로 나타내고자 하는 대상을 계(system)라고 한다.
기본적으로 고전 물리학에서 입자나 계를 분석할 때, 그 대상을 기술하기 위해 필요한 것은 위치, 속도, 질량, 필요하다면 전하량 정도가 있었다. 이 중에서 양자 상태가 담고 있는 정보는 위치와 속도이다. (정확히는 위치와 운동량을 담고 있다.) 여기에 필요에 따라 스핀[16], 입자물리학에서는 색깔이나 맛깔(...)[17]과 같은 정보를 포함하기도 한다. 문제는 그 유명한 불확정성 원리에서 말하는 것처럼 위치와 운동량을 정확히 하나의 값으로 가지는 것은 불가능하다는 점이다. 따라서 양자 상태는 위치와 운동량의 확률 밀도 함수를 포함해야 한다. 그러면 어떻게 두 가지의 확률 밀도 함수를 하나의 상태에 담을 수 있을까? 예를 들어 위치의 확률 밀도 함수를 [math(X)], 운동량의 확률 밀도 함수를 [math(P)]라고 하면 순서쌍 [math((X,P))]는 두 함수를 모두 담고 있다. 아니면 [math(X+iP)]처럼 두 함수를 복소수의 실수부와 허수부에 담는 방법도 있을 것이다. 하지만 이런 방법들은 그냥 [math(X)]랑 [math(P)]를 따로따로 취급하는 거랑 별 다른 의미가 없을 것이다.
물리학자들은 이러한 정보를 효과적으로 양자 상태에 저장하기 위해서 선형대수학의 언어를 빌렸다. 양자 상태를 힐베르트 공간의 원소인 벡터로 표현한 것이다. 바로 이것이 디랙 표기법에 등장하는 켓 벡터 [math(left| psi right>)]이다. 이렇게 벡터로 표기했을 때의 장점은 기저(basis)를 어떻게 설정하느냐에 따라 성분이 위치가 될 수도 있고 운동량이 될 수도 있다는 것이다. 특히 위치 기저에서는 벡터의 성분을 바로 파동함수라고 하며, 이것의 절댓값의 제곱이 위치 확률 밀도가 된다. ('절댓값'을 취하는 것에서 알 수 있듯이, 운동량에 관한 정보는 복소수의 편각 부분에 저장되어 있다.)
이렇게 켓 벡터로 양자 상태를 표현하는 방법가 딱 하나로 결정되지는 않는다. 사실, 임의의 복소수 [math(c neq 0)]에 대하여 [math(c left| psi right>)]는 같은 양자 상태를 의미한다. 예를 들어 어떤 입자의 양자 상태가 [math(left| psi right>)]라면 [math((2-3i) left| psi right>)]도 같은 양자 상태가 되는 것이다. 다만 계산의 편의성 등을 고려했을 때 양자 상태는 그 크기가 1일 때가 가장 다루기 쉽다. 즉 [math(left< psi | psi right> = 1)]이어야 한다. 이렇게 양자 상태의 크기(노름)을 1로 만드는 것을 규격화(normalization) 또는 정규화라고 한다. 물론, [math(displaystyle e^{i theta})] 꼴의 복소수는 모두 크기가 1이기 때문에, 파동함수에 이런 형태의 복소수를 곱한 것이 물리적인 의미를 갖지는 않는다. 다만, [math(displaystyle left| psi right> + e^{i theta} left| phi right> )]와 같이 두 양자상태의 선형결합에서는 상대적 위상이 의미가 있다.
기본적으로 고전 물리학에서 입자나 계를 분석할 때, 그 대상을 기술하기 위해 필요한 것은 위치, 속도, 질량, 필요하다면 전하량 정도가 있었다. 이 중에서 양자 상태가 담고 있는 정보는 위치와 속도이다. (정확히는 위치와 운동량을 담고 있다.) 여기에 필요에 따라 스핀[16], 입자물리학에서는 색깔이나 맛깔(...)[17]과 같은 정보를 포함하기도 한다. 문제는 그 유명한 불확정성 원리에서 말하는 것처럼 위치와 운동량을 정확히 하나의 값으로 가지는 것은 불가능하다는 점이다. 따라서 양자 상태는 위치와 운동량의 확률 밀도 함수를 포함해야 한다. 그러면 어떻게 두 가지의 확률 밀도 함수를 하나의 상태에 담을 수 있을까? 예를 들어 위치의 확률 밀도 함수를 [math(X)], 운동량의 확률 밀도 함수를 [math(P)]라고 하면 순서쌍 [math((X,P))]는 두 함수를 모두 담고 있다. 아니면 [math(X+iP)]처럼 두 함수를 복소수의 실수부와 허수부에 담는 방법도 있을 것이다. 하지만 이런 방법들은 그냥 [math(X)]랑 [math(P)]를 따로따로 취급하는 거랑 별 다른 의미가 없을 것이다.
물리학자들은 이러한 정보를 효과적으로 양자 상태에 저장하기 위해서 선형대수학의 언어를 빌렸다. 양자 상태를 힐베르트 공간의 원소인 벡터로 표현한 것이다. 바로 이것이 디랙 표기법에 등장하는 켓 벡터 [math(left| psi right>)]이다. 이렇게 벡터로 표기했을 때의 장점은 기저(basis)를 어떻게 설정하느냐에 따라 성분이 위치가 될 수도 있고 운동량이 될 수도 있다는 것이다. 특히 위치 기저에서는 벡터의 성분을 바로 파동함수라고 하며, 이것의 절댓값의 제곱이 위치 확률 밀도가 된다. ('절댓값'을 취하는 것에서 알 수 있듯이, 운동량에 관한 정보는 복소수의 편각 부분에 저장되어 있다.)
이렇게 켓 벡터로 양자 상태를 표현하는 방법가 딱 하나로 결정되지는 않는다. 사실, 임의의 복소수 [math(c neq 0)]에 대하여 [math(c left| psi right>)]는 같은 양자 상태를 의미한다. 예를 들어 어떤 입자의 양자 상태가 [math(left| psi right>)]라면 [math((2-3i) left| psi right>)]도 같은 양자 상태가 되는 것이다. 다만 계산의 편의성 등을 고려했을 때 양자 상태는 그 크기가 1일 때가 가장 다루기 쉽다. 즉 [math(left< psi | psi right> = 1)]이어야 한다. 이렇게 양자 상태의 크기(노름)을 1로 만드는 것을 규격화(normalization) 또는 정규화라고 한다. 물론, [math(displaystyle e^{i theta})] 꼴의 복소수는 모두 크기가 1이기 때문에, 파동함수에 이런 형태의 복소수를 곱한 것이 물리적인 의미를 갖지는 않는다. 다만, [math(displaystyle left| psi right> + e^{i theta} left| phi right> )]와 같이 두 양자상태의 선형결합에서는 상대적 위상이 의미가 있다.
4. 관측가능량(observable)
쉽게 말하면 그냥 물리량이다. 양자역학에서 물리량은 에르미트 연산자로 나타낸다.
5. 측정(measurement)
어떤 물리량(연산자)를 측정한다는 것은 양자 상태를 측정하려는 연산자의 고유상태(=고유켓=고유벡터) 중 하나로 사영(projection)하는 것이다. 특히 연산자 [math(hat{A})]의 [math(n)]번째 고유상태를 [math(left| n right>)]이라고 하면, [math(left| psi right>)]를 측정했을 때 [math(left| n right>)]이 측정될 확률은 [math(| left< n | psi right> |^2 )]이다. 이 확률은 수학적으로 유도할 수 있는 것이 아니고, 코펜하겐 해석에 따른 공리 중 하나이다.
6. 상태의 합성
계 [math(A)]의 양자 상태가 힐베르트 공간 [math(H_A)]에 있는 켓 [math(left| a right>)]이고, 계 [math(B)]의 양자 상태가 [math(left| b right> in H_B)]이면, [math(A)]와 [math(B)]를 함께 나타내는 양자 상태는 두 상태의 텐서곱인 [math( left| a right> otimes left| b right>)]으로 나타내며, 간단하게 [math( left| a right> left| b right>)]로 나타낼 수 있다. 이때 이 상태는 힐베르트 공간 [math(H_A otimes H_B)]의 원소이다.
[1] [math( [a,b[2] [math( [a,b[3] 브라는 일종의 연산자로서, 항상 오른쪽에 벡터 또는 연산자가 와서 '내적'되기를 기다린다. 그 대상은 오른쪽 표기법에서 중괄호 { } 안에 들어간다.[A] 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 별표(*)는 물리학에서 켤레복소수(complex conjugate)를 의미하며, 복소수를 성분으로 가지는 벡터의 내적은 항상 왼쪽에 켤레를 취한다. 수학에서는 켤레복소수 표현으로 윗줄([math(overline a)[6] 브라는 일종의 연산자로서, 항상 오른쪽에 벡터 또는 연산자가 와서 '내적'되기를 기다린다. 그 대상은 오른쪽 표기법에서 중괄호 { } 안에 들어간다.[15] 물론 이것은 당연히 좋지 않은 표기법이다. 기호는 언제나 편의성을 위해 만든 것이기 때문에 벡터의 이름도 말이 되게 짓는 것이 좋다.[16] 양자역학적으로만 설명할 수 있는 물리량이다.[17] 실제 있는 물리학 용어이다!