야코비 타원 함수

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1. 개요2. 정의3. 타원과의 관계4. 관련 공식5. 기타6. 관련 문서

1. 개요[편집]

야코비 타원 함수(Jacobi elliptic function)는 타원 적분에 관련된 함수의 일종으로, 야코비(Carl Gustav Jacob Jacobi; 1804 ~ 1851)가 1829년 자신의 저서 Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum에서 소개한 함수이다.

2. 정의[편집]

우리는 sine의 역함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.

ϕ≡∫0ξ11−t2 dt=sin⁡−1ξ\displaystyle \phi \equiv \int_{0}^{\xi} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}} }\,\mathrm{d}t=\sin^{-1}{\xi}

이와 비슷하게, 다음과 같은 정의를 할 수 있다.

u≡∫0ξ11−t21−k2t2 dt≡sn−1 ξ\displaystyle u \equiv \int_{0}^{\xi} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}\,\mathrm{d}t \equiv \mathrm{sn}^{-1}\,{\xi}

따라서

sn u=ξ=sin⁡ϕ\displaystyle \mathrm{sn}\,u =\xi=\sin{\phi}

임을 알 수 있고, sn u\mathrm{sn}\,u를 야코비 타원 함수(Jacobi elliptic function)라 한다.("에스엔"이라 읽는다.) 보통은 kk를 밝혀

ξ=sn(u;k)\displaystyle \xi=\mathrm{sn}(u;k)

로 표기한다.

또한, 다른 야코비 타원 함수는

cn(u;k)≡cos⁡ϕ=1−sin⁡2ϕ=1−sn2 (u;k)=1−ξ2dn(u;k)≡1(du/dϕ)=1−k2sin⁡2ϕ=1−k2 sn2 (u;k)=1−k2ξ2\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{cn}(u;k) &\equiv \cos{\phi} \\ &=\sqrt{1-\sin^{2}{\phi}} \\ &=\sqrt{1- \mathrm{sn}^{2}\,(u;k)} \\ &=\sqrt{1-\xi^{2}} \\ \\ \mathrm{dn}(u;k) &\equiv \frac{1}{(\mathrm{d}u/\mathrm{d}\phi)} \\ &=\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\phi}} \\ &=\sqrt{1-k^{2}\, \mathrm{sn}^{2}\,(u;k)} \\ &=\sqrt{1-k^{2}\xi^{2}} \end{aligned}

로 정의된다. 위와 마찬가지로 각각 "씨엔", "디엔"으로 읽는다.

이상을 정리하면 아래의 표와 같다.
u≡∫0ξ11−t21−k2t2 dt=∫0ϕ11−k2sin⁡2θ dθ \displaystyle \begin{aligned} u &\equiv \int_{0}^{\xi} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2}}}\,\mathrm{d}t \\&=\int_{0}^{\phi} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}}\,\mathrm{d}\theta \end{aligned}
sn(u;k)\mathrm{sn}(u;k)
ξ=sin⁡ϕ\xi=\sin{\phi}
cn(u;k)\mathrm{cn}(u;k)
1−ξ2=cos⁡ϕ\sqrt{1-\xi^{2}}=\cos{\phi}
1−sn2 (u;k)\sqrt{1-\mathrm{sn}^{2}\,(u;k)}
dn(u;k)\mathrm{dn}(u;k)
1−k2ξ2=1−k2sin⁡2ϕ\sqrt{1-k^{2}\xi^{2}}=\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\phi}}
1−k2 sn2 (u;k)\sqrt{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,(u;k)}


위의 야코비 타원 함수들은 주기성을 가지며, 실수 영역에서, 다음이 성립한다.

sn(u;k)=sn (u+4K(k);k)cn(u;k)=cn (u+4K(k);k)dn(u;k)=dn (u+2K(k);k)\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}(u;k)&=\mathrm{sn}\,(u+4K(k);k) \\ \mathrm{cn}(u;k)&=\mathrm{cn}\,(u+4K(k);k) \\ \mathrm{dn}(u;k)&=\mathrm{dn}\,(u+2K(k);k) \end{aligned}

K(k)K(k)는 위에서 봤던 완전 제1종 타원 적분이다.

아래는 k2=0.5k^{2}=0.5일 때, 야코비 타원 함수의 그래프이다.

파일:나무_야코비타원.png

3. 타원과의 관계[편집]

삼각함수 자체가 원과 관련되어, 반지름 rr인 원에 대하여 그 원 위의 점 (x, y)(x,\,y)은

x=rcos⁡ϕy=rsin⁡ϕ\displaystyle \begin{aligned} x&=r\cos{\phi} \\ y&=r\sin{\phi} \end{aligned}

의 관계를 가지고 있듯, 야코비 타원 함수또한 유사하게 yy축 위에 긴 반지름이 있고, 꼭짓점 한 좌표값 a=1a=1인 타원[1]에서 유사한 관계를 생각해볼 수 있다.

야코비 타원 함수에서는 위에서 보았듯, uu라는 것을 변수로 쓰는데 위에서 언급했듯, 야코비 타원 함수는 타원

x2+y2b2=1(b≥1)\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \qquad (b \geq 1)

에서 정의된다고 했고, 극좌표계로 변환하여 해당 타원 위의 점 (x, y)(x,\,y)에 대하여

x=rcos⁡ϕy=rsin⁡ϕr=11−k2sin⁡2ϕ(k≡1−1b2)\displaystyle \begin{aligned} x&=r\cos{\phi} \\ y&=r\sin{\phi} \\ r&=\frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\phi} }} \qquad \left( k \equiv \sqrt{1-\frac{1}{b^{2} }} \right) \end{aligned}

로 쓸 수 있다. 여기서 kk는 해당 타원의 이심률이고, 0≤k≤10 \leq k \leq 1을 만족한다. 그런데

u=∫0ϕ11−k2sin⁡2θ dθ=∫0ϕr dθ\displaystyle \begin{aligned} u&=\int_{0}^{\phi} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,\mathrm{d}\theta \\ &=\int_{0}^{\phi} r\, \mathrm{d}\theta \end{aligned}

으로 곧 uu는 각 ϕ\phi에 대응되는 반지름 rr의 원의 미소 호의 길이의 합을 0≤θ≤ϕ0 \leq \theta \leq \phi 범위 내에서 모두 더한 것을 의미한다. uu의 역함수로써 amplitude라는 함수를 정의하기도 하는데

ϕ≡am(u;k)\displaystyle \phi \equiv \mathrm{am}(u;k)

로 쓴다.

본격적으로 야코비 타원 함수을 분석하기 전에 한 가지 정의를 하고자 한다. 점 (x′, y′)(x',\,y')은 단위원 위의 점이며, (x, y)(x,\,y)는 (야코비 타원 함수를 정의하는) 타원 위의 점이다. 또한 rr은 해당 타원을 극좌표계로 변환했을 때의 반지름을 말한다.

u=∫0y′11−k2t21−t2 dt=sn−1 y′\displaystyle \begin{aligned} u&=\int_{0}^{y'} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}t^{2}}\sqrt{1-t^{2} }}\,\mathrm{d}t \\ &=\mathrm{sn}^{-1}\,y' \end{aligned}

로 쓸 수 있고, 여기서 y′=sin⁡ϕy'=\sin{\phi}이다. 즉,

y′=sn u\displaystyle y'=\mathrm{sn}\,u

임을 알 수 있다. 계속해서 위에서 정의했던 cn u\mathrm{cn}\,u, dn u\mathrm{dn}\,u에 대해서도 해보면 결과적으로 아래와 같은 결과를 얻는다.

y′=sn u=sin⁡ϕx′=cn u=cos⁡ϕr−1=dn u\displaystyle \begin{aligned} y'&=\mathrm{sn}\,u =\sin{\phi} \\ x'&=\mathrm{cn}\,u =\cos{\phi} \\ r^{-1}&=\mathrm{dn}\,u \end{aligned}

이 결과를 시각화한 결과가 아래 그림에 나타내져 있다.

파일:namu_야코비_타원_함수_타원과의_관계_수정.png

직각삼각형의 닮음을 이용하면 결국 타원에 대하여

x=r cn uy=r sn ur=1dn u\displaystyle \begin{aligned} x&=r\,\mathrm{cn}\,u \\y&=r\,\mathrm{sn}\,u \\ r&=\frac{1}{\mathrm{dn}\,u} \end{aligned}

임을 얻는다.

4. 관련 공식[편집]

[1] k→0\boldsymbol{k \to 0}일 때, 야코비 타원 함수

sn(u;0)=sin⁡ucn(u;0)=cos⁡udn(u;0)=1\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}(u;0)&=\sin{u} \\ \mathrm{cn}(u;0)&=\cos{u} \\ \mathrm{dn}(u;0)&=1 \end{aligned}

즉, 이 경우는 야코비 타원 함수는 삼각함수와 같은 것을 알 수 있다.

[2] k→1\boldsymbol{k \to 1}일 때, 야코비 타원 함수

sn(u;1)=tanh⁡ucn(u;1)=sech udn(u;1)=sech u\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}(u;1)&=\tanh{u} \\ \mathrm{cn}(u;1)&=\mathrm{sech}\,{u} \\ \mathrm{dn}(u;1)&=\mathrm{sech}\,{u} \end{aligned}


[3] 야코비 타원 함수에 대한 항등식

sn2 u+cn2 u=1k2 sn2 u+dn2 u=1dn2 u−k2 cn2 u=1\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}^{2}\,u+\mathrm{cn}^{2}\,u&=1 \\ k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u+\mathrm{dn}^{2}\,u&=1 \\ \mathrm{dn}^{2}\,u-k^{2}\,\mathrm{cn}^{2}\,u&=1 \end{aligned}

(매개변수 kk는 표기에서 생략했다.)

[4] 야코비 타원 함수의 덧셈 공식

sn (u1+u2)=sn u1 cn u2 dn u2+sn u2 cn u1 dn u11−k2 sn2 u1 sn2 u2cn (u1+u2)=cn u1 cn u2−sn u1 dn u1 sn u2 dn u21−k2 sn2 u1 sn2 u2dn (u1+u2)=dn u1 dn u1−k2 sn u1 cn u1 sn u2 cn u21−k2 sn2 u1 sn2 u2\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}\,(u_{1}+u_{2})&=\frac{\mathrm{sn}\,u_{1}\,\mathrm{cn}\,u_{2}\,\mathrm{dn}\,u_{2}+\mathrm{sn}\,u_{2}\,\mathrm{cn}\,u_{1}\,\mathrm{dn}\,u_{1}}{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{1}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{2}} \\ \mathrm{cn}\,(u_{1}+u_{2})&=\frac{\mathrm{cn}\,u_{1}\,\mathrm{cn}\,u_{2}-\mathrm{sn}\,u_{1}\,\mathrm{dn}\,u_{1}\,\mathrm{sn}\,u_{2}\,\mathrm{dn}\,u_{2}}{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{1}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{2}} \\ \mathrm{dn}\,(u_{1}+u_{2})&=\frac{\mathrm{dn}\,u_{1}\,\mathrm{dn}\,u_{1}-k^{2}\,\mathrm{sn}\,u_{1}\,\mathrm{cn}\,u_{1}\,\mathrm{sn}\,u_{2}\,\mathrm{cn}\,u_{2}}{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{1}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{2}} \\ \end{aligned}

(매개변수 kk는 표기에서 생략했다.)

[5] 야코비 타원 함수의 미분

ddu(sn u)=cn u dn uddu(cn u)=−sn u dn uddu(dn u)=−k2 sn u cn u\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\mathrm{sn}\,u)&=\mathrm{cn}\,u\,\mathrm{dn}\,u \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\mathrm{cn}\,u)&=-\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{dn}\,u \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\mathrm{dn}\,u)&=-k^{2}\,\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{cn}\,u \end{aligned}

(매개변수 kk는 표기에서 생략했다.)

[6] 야코비 타원 함수의 보조 함수
세 야코비 타원 함수 sn u\mathrm{sn}\,u, cn u\mathrm{cn}\,u, dn u\mathrm{dn}\,u의 비로 정의되는 보조 함수들이 존재하며, 각 정의는 아래와 같다.

ns u≡1sn unc u≡1cn und u≡1dn usc u≡sn ucn ucs u≡cn usn usd u≡sn udn uds u≡dn usn ucd u≡cn udn udc u≡dn ucn u\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{ns}\,u &\equiv \frac{1}{\mathrm{sn}\,u} \\ \\ \mathrm{nc}\,u &\equiv \frac{1}{\mathrm{cn}\,u} \\ \\ \mathrm{nd}\,u &\equiv \frac{1}{\mathrm{dn}\,u} \\ \\ \mathrm{sc}\,u &\equiv \frac{\mathrm{sn}\,u}{\mathrm{cn}\,u} \\ \\ \mathrm{cs}\,u &\equiv \frac{\mathrm{cn}\,u}{\mathrm{sn}\,u} \\ \\ \mathrm{sd}\,u &\equiv \frac{\mathrm{sn}\,u}{\mathrm{dn}\,u} \\ \\ \mathrm{ds}\,u &\equiv \frac{\mathrm{dn}\,u}{\mathrm{sn}\,u} \\ \\ \mathrm{cd}\,u &\equiv \frac{\mathrm{cn}\,u}{\mathrm{dn}\,u} \\ \\ \mathrm{dc}\,u &\equiv \frac{\mathrm{dn}\,u}{\mathrm{cn}\,u} \end{aligned}

(매개변수 kk는 표기에서 생략했다.)

5. 기타[편집]

  • 야코비 타원 함수는 공식적으로 확정된 표기법이 없어 책이나 교재, 수치 계산 프로그램에 따라 다를 수 있다. 그렇기 때문에 타원 적분을 사용할 때는 사용하는 매체의 표기를 어떻게 하는 지를 주의깊게 살펴본 후 써야 한다.
    • 수치 계산 프로그램인 매스매티카는 매개변수 k2≡mk^{2} \equiv m을 사용한다. 이는 해당 프로그램을 기반으로 만들어진 검색엔진인 Wolfram Alpha도 마찬가지이다.

6. 관련 문서[편집]


[1] xx축 위에 긴 반지름이 있는 타원에서도 생각할 수 있으나 yy축 위에 긴 반지름이 있는 경우가 훨씬 직관적으로 이해할 수 있기 때문에 이것을 사용했다.