아인슈타인 합 규약

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1. 개요2. 규칙3. 기타4. 예시

1. 개요[편집]

아인슈타인 합 규약(Einstein notation/Einstein summation convention)은 주로 상대성 이론에서 사용되는 선형대수학의 표기를 쉽게 하기 위해 알베르트 아인슈타인이 1916년에 고안해낸 표기법이다.

예를 들어, 다음과 같은

3 \times 3

\mathrm{A}

와

3 \times 1

행벡터

\mathbf{x}, \mathbf{y}

를 생각하자.

\mathrm{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} , \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix}, \mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}

(단,

x^i

는 x의 i제곱이라는 뜻이 아니고 그냥 첨자를 위에 붙인 것이다.)

이때 행렬 곱을 이용한 식

\mathbf{y} = \mathrm{A} \mathbf{x}

를 성분별로 표시하고 싶다면, 다음과 같은 식으로 표현하면 된다.

\displaystyle y_i = \sum_{j=1}^3 a_{ij} x^j \quad (i = 1,2,3)

예를 들어,

i = 2

일 때

y_2 = a_{21} x^1 + a_{22} x^2 + a_{23} x^3

이다. 여기서 아인슈타인 합 규약의 핵심은 시그마 기호와

(i=1,2,3)

를 생략하는 것이다. 상대성 이론의 수식들은 이러한 합 기호가 너무 많이 등장해서 일일히 다 쓰기에는 시간낭비이기 때문이다. 따라서 아인슈타인 합 규약을 이용하여 위 식을 쓰면 다음과 같다.

\displaystyle y_i = a_{ij} x^j

이렇게 하면 행렬의 곱을 문자 단 3개와 첨자로 짧게 나타낼 수 있으며, 시그마 기호는 생략되어 있다. 구체적으로 아인슈타인 합 규약의 규칙은 다음과 같다.

1. 하나의 항 안에 같은 문자로 된 위 첨자와 아래 첨자가 존재한다면(예:

a_i b^i

), 합 기호

\displaystyle \sum_{i=1}^3

가 생략된 것으로 본다. 이러한 문자

i

를 dummy index라고 한다.
2. 하나의 항 안에 위 첨자와 아래 첨자가 짝을 이루지 않고 하나만 존재한다면(예:

x_i = y_i

), 이는

i=1,2,3

을 대입해서 만들 수 있는 3개의 등식을 한번에 쓴 것이다. 이러한 문자

i

는 free index라고 한다.

또한 규칙에 따르면

y_k = a_{ij} x^j

와 같은 식은 좌변의 k와 우변의 i의 문자가 서로 다르므로 의미가 없다. 따라서 free index는 양변에 같이 존재해야만 한다.

상대성 이론에서는 보통 첨자를 알파벳으로 쓰면 1~3까지 더하고, 그리스 문자 첨자는 0~3까지 더하는 것을 의미한다. 따라서 $a_i b^i = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3$ 이지만 $x_\mu^\mu = x_0^0 + x_1^1 + x_2^2 + x_3^3$ 이다.
미분연산자의 분모에는 위 첨자가 들어가더라도 아래 첨자로 간주한다. 예를 들어 $\displaystyle a^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ 는 분모에 $i$ 가 위 첨자로 들어가 있지만 $i$ 에 대한 합을 계산해야 한다. [1]

\mathbf{a \cdot b } = a^i b_i

\displaystyle {df \over dt} = {df \over dx^i} {dx^i \over dt}

[1] 이는 contravariant(위 첨자)에 대한 미분 그 자체는 covariant(아래 첨자)로 볼 수 있기 때문이다.