1. 개요
스튜어트 정리(Stewart's theorem)는 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트가 증명한 정리로, 삼각형 관련 문제를 풀 때 아주 유용하며, 아래와 같다.
문자를 조금 바꿔서 [math(c)]를 [math(a)]로 바꾸면 [math(displaystyle mb^2+na^2=(m+n)(mn+d^2))]가 되는데 이렇게 하면 "명박이 나이 너무 많아 다이"(...)로 외울 수 있다.
한편 [math(m=n )]이면,
[math(displaystyle mb^2+mc^2=2m(m^2+d^2) )]
이고, 양변을 [math(m )]으로 나눠주면
[math(displaystyle b^2+c^2=2(m^2+d^2) )]
보통 고등학교 때 배우는 중선 정리(아폴로니우스 정리[1])가 된다.
파일:나무_스튜어트_정리_수정_수정_수정.png
[math(displaystyle mb^2+nc^2=(m+n)(mn+d^2)=a(mn+d^2) )]
[math(displaystyle mb^2+nc^2=(m+n)(mn+d^2)=a(mn+d^2) )]
한편 [math(m=n )]이면,
[math(displaystyle mb^2+mc^2=2m(m^2+d^2) )]
이고, 양변을 [math(m )]으로 나눠주면
[math(displaystyle b^2+c^2=2(m^2+d^2) )]
보통 고등학교 때 배우는 중선 정리(아폴로니우스 정리[1])가 된다.
2. 증명
일반적으로 제2 코사인법칙을 이용해 증명하나, 피타고라스의 정리로도 증명이 가능하다.
2.1. 코사인 법칙
두 변 [math(overline{rm AP})]와 [math(overline{rm CP})]가 이루는 각을 [math(theta )]라 하자. 이때, [math(triangle rm APC)]에서 제2코사인 법칙에 의해,
[math(displaystyle c^2=m^2+d^2-2mdcostheta quad cdots quad (rm I) )]
한편, [math(triangle rm ABP)]에 제2코사인 법칙을 적용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} b^2&=n^2+d^2-2ndcos(pi-theta) \&=n^2+d^2+2ndcostheta quad cdots quad (rm I!I) end{aligned} )]
[math((rm I))]에 [math(n)]을, [math((rm I!I))]에 [math(m)]을 곱하여 더하면, 스튜어트 정리가 유도된다.
[math(displaystyle begin{aligned} mb^2+nc^2&=m^2n+nd^2-2mndcostheta+mn^2+md^2+2mndcostheta \&=m^2n+mn^2+md^2+nd^2 \&=mn(m+n)+d^2(m+n) \&=(m+n)(mn+d^2)\&=a(mn+d^2) end{aligned} )]
[math(displaystyle c^2=m^2+d^2-2mdcostheta quad cdots quad (rm I) )]
한편, [math(triangle rm ABP)]에 제2코사인 법칙을 적용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} b^2&=n^2+d^2-2ndcos(pi-theta) \&=n^2+d^2+2ndcostheta quad cdots quad (rm I!I) end{aligned} )]
[math((rm I))]에 [math(n)]을, [math((rm I!I))]에 [math(m)]을 곱하여 더하면, 스튜어트 정리가 유도된다.
[math(displaystyle begin{aligned} mb^2+nc^2&=m^2n+nd^2-2mndcostheta+mn^2+md^2+2mndcostheta \&=m^2n+mn^2+md^2+nd^2 \&=mn(m+n)+d^2(m+n) \&=(m+n)(mn+d^2)\&=a(mn+d^2) end{aligned} )]
2.2. 피타고라스 정리
파일:나무_스튜어트_정리_피타고라스_수정.png
위 그림과 같이 꼭짓점 [math(rm A)]에서 [math(overline{rm BC})]에 내린 수선의 발을 [math(rm{H})]라 하고, [math(overline{rm AH}=h )], [math(overline{rm PH}=x )]라 하자. 피타고라스 정리에 의하여 [math(triangle rm APH)]에서
[math(displaystyle begin{aligned} h^2+x^2=d^2 end{aligned} )]
이고, [math(triangle rm AHC)]에서 마찬가지로
[math(displaystyle begin{aligned} h^2+(m-x)^2&=c^2 end{aligned} )]
이것을 정리하고, [math(h^2+x^2=d^2)]임을 이용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} c^2=d^2+m^2-2mx end{aligned} )]
이다. 또, [math(triangle rm AHB)]에 피타고라스 정리를 사용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} h^2+(n+x)^2=b^2 quad cdots quad (rm I) end{aligned} )]
이것을 정리하고, [math(h^2+x^2=d^2)]임을 이용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} b^2=d^2+n^2+2nx quad cdots quad (rm I!I) end{aligned} )]
이때, [math((rm I))]에 [math(n)], [math((rm I!I))]에 [math(m)]을 곱하여 더해주면, 스튜어트 정리가 유도된다.
[math(displaystyle begin{aligned} & nd^2+m^2n-2mnx+md^2+mn^2+2mnx \&=d^2(m+n)+mn(m+n) \ &= (m+n)(mn+d^2) \&=a(mn+d^2) \&=mb^2+nc^2 end{aligned} )]
위 그림과 같이 꼭짓점 [math(rm A)]에서 [math(overline{rm BC})]에 내린 수선의 발을 [math(rm{H})]라 하고, [math(overline{rm AH}=h )], [math(overline{rm PH}=x )]라 하자. 피타고라스 정리에 의하여 [math(triangle rm APH)]에서
[math(displaystyle begin{aligned} h^2+x^2=d^2 end{aligned} )]
이고, [math(triangle rm AHC)]에서 마찬가지로
[math(displaystyle begin{aligned} h^2+(m-x)^2&=c^2 end{aligned} )]
이것을 정리하고, [math(h^2+x^2=d^2)]임을 이용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} c^2=d^2+m^2-2mx end{aligned} )]
이다. 또, [math(triangle rm AHB)]에 피타고라스 정리를 사용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} h^2+(n+x)^2=b^2 quad cdots quad (rm I) end{aligned} )]
이것을 정리하고, [math(h^2+x^2=d^2)]임을 이용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} b^2=d^2+n^2+2nx quad cdots quad (rm I!I) end{aligned} )]
이때, [math((rm I))]에 [math(n)], [math((rm I!I))]에 [math(m)]을 곱하여 더해주면, 스튜어트 정리가 유도된다.
[math(displaystyle begin{aligned} & nd^2+m^2n-2mnx+md^2+mn^2+2mnx \&=d^2(m+n)+mn(m+n) \ &= (m+n)(mn+d^2) \&=a(mn+d^2) \&=mb^2+nc^2 end{aligned} )]
3. 관련 문서
[1] 파푸스의 정리라는 말은 우리나라 및 일본에서만 쓰임