스털링 근사

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1. 개요2. 수열 버전3. 간단한 버전4. 좀 더 정확한 버전5. 보다 더 정확한 버전6. 예1

1. 개요[편집]

스털링 근사는 큰 값의 계승을 대략적으로 구하는 방법으로 두가지 진술이 있다.
증명에는 계승의 일반적 정의인 감마 함수를 이용한다.

2. 수열 버전[편집]

모든 양의 정수 n에 대해
수열 n!ennn+0.5\displaystyle \frac{n! e^n}{n^{n+0.5}}은 ee에서 출발해 2π\displaystyle \sqrt{2\pi}로 수렴하는 단조 감소 수열이다.

3. 간단한 버전[편집]

n!≈(ne)n\displaystyle n!\approx\left ( \frac{n}{e} \right )^{n}

4. 좀 더 정확한 버전[편집]

n!≈2πn(ne)n\displaystyle n!\approx\sqrt{2\pi n}\left ( \frac{n}{e} \right )^{n}

5. 보다 더 정확한 버전[편집]

n!≈2πn(ne)n(1+112n)\displaystyle n!\approx\sqrt{2\pi n}\left ( \frac{n}{e} \right )^{n}\left ( 1+\frac{1}{12n} \right )

6. 예1[편집]

15000의 계승을 근사식에 대입하면.
15000!≈2π×15000(15000e)15000≈2.74×1056129\displaystyle 15000!\approx\sqrt{2\pi \times 15000}\left ( \frac{15000}{e} \right )^{15000}\approx2.74\times{10}^{56129}