두 집합 A, B의 원소의 개수를 비교할 때, A의 원소수가 B의 원소수보다 작거나 같고, 또한 반대로 B의 원소수가 A의 원소수보다 작거나 같다면, 두 집합의 원소의 수가 같다는 정리이다. 유한집합에서는 자명하지만 무한집합에서도 이러한 사실이 성립한다는 내용을 담고 있다.

임의의 집합 $A, B$에 대하여, 함수 $f: A \to B$와 $g: B \to A$가 모두 단사함수라면 전단사함수 $h: A \to B$가 존재한다.

이를 다시쓰면,

가 성립한다.

단사함수 $f: A \to B$와 $g: B \to A$가 있을 때, 집합열 $\left(C_n \right)$을 다음과 같이 정의한다.

그리고, $\displaystyle C = \bigcup_{n=0}^{\infty} C_n$이라 할 때, 함수 $h: A \to B$를 다음과 같이 정의한다.

그러면 $h$는 전단사함수가 된다.

먼저, 단사함수가 되는 것을 보인다. $x_1, x_2 \in A$가 있다고 하자$\left(x_1 \neq x_2\right)$. $f, g^{-1}$는 각각 정의된 영역에서 단사이므로 $x_1 \in C, x_2 \in A\setminus C$인 경우만 살피면 충분하다. $x_1 \in C$이므로, $x_1 \in C_n$인 n이 존재한다. 따라서 $\left(C_n \right)$의 정의로부터 $g\left(f\left(x_1\right)\right) \in C_{n+1}$이 성립하고, $g^{-1}\left(x_2\right) \in B\setminus g^{-1}\left(C\right)$이므로 $f\left(x_1\right)\neq g^{-1}\left(x_2\right)$이다. 즉, $h\left(x_1\right)\neq h\left(x_2\right)$

다음으로, 전사함수가 됨을 보인다. 임의로 $y \in B$를 택했을 때, $y \in f\left(C\right)$라면 당연히 $y \in h\left(A\right)$이다. 만약 $y \notin f\left(C\right)$이라면 $g$가 단사이므로

이다. 또한 정의에 의해 $g\left(y\right) \notin C_0$이다. 따라서 $g\left(y\right) \notin C$이고, 이는 $g\left(y\right) \in A\setminus C$라는 뜻이다. 따라서 $y \in h\left(A\right)$이다.