기호로는 [math({}_n{rm P}_r)], [math({rm P} (n, r ))], [math(n^{underline{r}})][1]등 여러가지가 있지만 한국 교육과정 상에서 자주 쓰이는 것은 [math({}_n{rm P}_r)]이다. [math(rm P)]는 영어 명칭 permutation[2]의 머리글자에서 유래했다.

뭔가 거창한 설명이 붙었지만 순열은 초등학교 때부터 알게 모르게 써왔던 수학 개념 중 하나다[3]중 [math(3)]개를 골라서 만들 수 있는 [math(3)]자리 수의 개수를 구하시오"같은 문제는 풀어봤을 것이다.]. 계산하는 방법도 초등학교에서 해왔던 방법 그대로이며, 단지 미지수가 추가된 것 뿐. 다음 그림과 같이 5장의 카드에서 3장 의 카드를 골라 순서대로 나열해 '세 자리로 된 문자'를 만드는 경우의 수는 몇 가지나 될까를 생각해보면 풀이법을 간단하게 연상할 수 있다.

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<파이썬 알고리즘 인터뷰> p.349, 책만, 2020

수식으로 나타내면 [math({}_n{rm P}_r = n times ( n-1 ) times ( n-2 ) times cdotscdots times ( n-r+1 ))].[4]부터 시작해서 하나씩 작은 수를 [math(r)]개 곱한 것이다.] 이를 팩토리얼을 사용하여 좀더 간략화 하면 [math({}_n{rm P}_r = dfrac{n!}{(n-r)!})]이다.[5]일 때도 정의가 되기 때문에 부분곱에 의한 정의를 확장하는 효과도 있다.] 자연수 범위에서 팩토리얼이 감마 함수와 동치[6]보다 작거나 같은 정수를 제외한다는 점은 여전히 동일하다.]라는 것을 이용해서 [math({}_n{rm P}_r = dfrac{Gamma ( n+1 )}{Gamma ( n-r+1 )})]의 꼴로 바꿀 수 있으며, 실수/복소수 순열도 구할 수 있다.[7]의 값을 구해보면 [math({}_pi{rm P}_i = 0.2977cdotscdots + i1.1049cdotscdots)]이 나온다. 그러나 이걸 직접 풀기는 매우 어려운데 링크에 나온 항등식 중 하나를 꼽아보면 [math(displaystyle {}_pi{rm P}_i = exp(int_{0}^{1} dfrac{i - ix + x^{1+pi} - x^{(1-i)+pi}}{(-1+x) ln x},mathrm{d}x))](단, [math(exp(x) = e^x)]) 가 나오는데 이거만 해도 어마무시한 계산 노가다를 수반한다.]

순열은 다음과 같은 성질을 갖는다.
[math({}_n{rm P}_r = n cdot {}_{n-1}{rm P}_{r-1} = {}_{n-1}{rm P}_r + r cdot {}_{n-1}{rm P}_{r-1})][8]명 중 특정한 [math(1)]명을 제외하고 뽑아 나열하는 경우의 수[math(+)]특정한 [math(1)]명을 포함하여 뽑아 나열하는 경우의 수]

이 성질은 팩토리얼을 쓰지 않고 순열의 기본 정의([math(n)]개에서 [math(r)]개를 골라 일렬로 나열한 것)만으로 증명할 수 있다.
[math(1 < r leq n)]일 때, [math({}_n{rm P}_r = (n-r+1) cdot {}_n{rm P}_{r-1})]

감마 함수를 이용해서도 증명이 가능하며, 이 경우 정의역이 복소수 범위로 확장[9]보다 작거나 같은 정수를 제외한다.]된다는 데에 의의가 있다. [math({}_n{rm P}_r = dfrac{Gamma left( n+1 right)}{Gamma left( n-r+1 right)})]에서 감마 함수의 성질에 의해 [math(left( n-r+1 right) Gamma left( n-r+1 right) = Gamma left( n-r+2 right) Leftrightarrow dfrac 1{Gamma left( n-r+1 right)} = dfrac{left( n-r+1 right)}{Gamma left( n-r+2 right)})]이므로

중복 순열은 순열과 마찬가지로 [math(n)]개 중에 [math(r)]개를 순서에 상관있게 뽑는데, 중복을 허락하여 뽑는 것을 말한다. 역시 거창한 설명이지만 초등학교 때부터 써온 수학적 개념. 계산하는 방법 역시 초등학교에서 해왔던 방법과 동일하다. 지수를 사용해 경우의 수를 나타내면 [math(n^r)]이 된다. 고등학교 확률과 통계 교과서에서는 [math({}_nPi_r)]이라는 표현을 쓰는데, 순열과 조합에서 쓰이는 비슷한 기호들과는 달리 출처 불명의 기호로[10], 세계적으로는 그냥 [math(n^r)]라 나타낸다. 2015 개정 교육과정 기준 교과서와 참고서에서는 두 표현이 같다고 병기하여 표시되어있지만 해당 표현은 아직 완전히 사라지지 않았다.

0의 0제곱 문서에서도 다루지만, [math({}_0Pi_0 = 0^0 = 1)]이다.

[math(n)]개 중에 [math(r)]개를 중복없이 순서에 맞게 뽑는데, [math(n)]개 중에 똑같은 것이 몇개 섞여있을 경우를 말한다. 예를들어 세 개의 문자 [math(a)], [math(a)], [math(b)]를 일렬로 늘어놓는 순열의 수를 찾아보자. 직접 찾아보면 [math(aab)], [math(aba)], [math(baa)]의 [math(3)]가지 경우 밖에 없다. 여기서 좀 더 관찰해 보면 [math(3)]개를 일렬로 늘어놓는 순열의 수는 [math({}_3{rm P}_3 = 3! = 6)], 중복되는 문자는 [math(2)]개이고, [math(3 = dfrac 62)]이다. 곧, 같은 것이 있을 때는 전체 순열의 수에서 무언가를 나눠주면 된다는 것을 확인할 수가 있다. 그리고 그 무언가는 중복되는 문자를 나열하는 방법의 수, 즉 이 예시에서는 [math(2!)]이 된다.

중복되는 것이 다른 종류로 여러가지 있을 때도 같은 논리가 성립하며, 이를 수식으로 나타내면 아래와 같다.

[math(n)]개를 나열하는데, 원형으로 나열하는 경우의 수를 말한다. 예를들어 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)]를 원형으로 나열하는 가짓 수를 찾는다 하자. 얼핏 생각하면 [math(4! = 24)]이라 말하기 쉽지만 처음 놓는 문자의 위치는 돌려보면 어디든지 다 똑같다. 원을 돌려버리면 그만이기 때문. 하지만 두번째 이후로 놓는 문자부터는 위치에 관계 있으며, 결국 구하고자 하는 답은 [math((4-1)! = 6)]이 된다. 이를 일반적으로 나타내면 아래와 같다.

링크를 참고하자.

염주순열 참고

완전순열 참고.

순열
[math(10)]명중 [math(3)]명을 뽑아 일렬로 세우는 경우의 수는?

중복 순열
중복을 허락하여 네 개의 숫자 [math(1, 2, 3, 4)]를 써서 세 자리 자연수를 만드는 가짓수는?

동자 순열(1)
wiki라는 네 글자를 일렬로 나열할 때의 가짓수는?

동자 순열(2)
namuwiki라는 여덟 글자를 일렬로 나열할 때의 가짓수는?

원순열
서로 다른 [math(5)]개의 구슬을 원형으로 나열하는 가짓수는?

염주 순열 / 목걸이 순열
서로 다른 [math(5)]개의 구슬로 목걸이를 만드는 방법의 가짓수는?

완전 순열 / 교란 순열
[math(5)]명의 사람이 시험을 보고 시험지를 채점하는데 자신의 시험지는 자신이 채점할 수 없다. 채점하게 하는 방법의 가짓수는?