이 문서에서는 $\epsilon_{0}$ 이상의 큰 가산서수를 설명하며 이보다 작은 '작은' 가산서수에 대해서는 서수(수학) 문서 참고.

$\epsilon_{0}$가 최초로 $\omega^\alpha=\alpha$를 만족하는 서수인 것과 같이, $\epsilon_{1}$은 두 번째로 $\omega^\alpha=\alpha$를 만족하는 서수이다. 이것을 정의하기 위해서는 또 다른 긴 과정이 필요하다. 0에서 $\epsilon_{0}$까지의 과정을 한 번 더 반복하면 $\epsilon_{0}2$을 얻고, $\epsilon_{0}$, $\epsilon_{0}2$, $\epsilon_{0}3$의 극한으로 $\omega\epsilon_{0}$을 얻는다. 그리고, $\epsilon_{0}=\omega^{\epsilon_{0}}$이므로 $\omega\epsilon_{0}=\omega\times\omega^{\epsilon_{0}}=\omega^{\epsilon_{0}+1}$이다!

똑같이 지금까지의 과정을 반복해서 $\omega^{\omega^{\epsilon_{0}+1}}$을 정의할 수 있다. 이제 서수의 수열 $\{\epsilon_{0}+1, \omega^{\epsilon_{0}+1}, \omega^{\omega^{\epsilon_{0}+1}}, \cdots\}$을 생각해볼 수 있다. 이 수열의 극한은 $\epsilon_{0}$보다 큰 것이 자명하며, 또한 $\omega^\alpha=\alpha$을 $\epsilon_{0}$보다 큰 서수들 중에서 최초로 만족한다. 따라서, 이 수열의 극서수가 $\epsilon_{1}$이다.

이렇게 $\epsilon_{1}$을 정의했으니, 같은 방식으로 $\epsilon_{2}$, $\epsilon_{3}$, 더 나아가서는 $\{\epsilon_{0}, \epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \cdots\}$의 극서수인 $\epsilon_{\omega}$, 더욱 나아가서 $\epsilon_{\epsilon_{0}}$까지 정의할 수 있다.

그럼 이제 또 다시 서수의 수열 $\{0, \epsilon_{0}, \epsilon_{\epsilon_{0}}, \epsilon_{\epsilon_{\epsilon_{0}}}, \cdots\}$을 생각해 볼 수 있다. 이 수열의 극서수를 $\zeta_{0}$으로 표기한다. $\epsilon_{0}$가 최초로 $\omega^\alpha=\alpha$를 만족하는 것과 비슷하게, $\zeta_{0}$은 최초로 $\epsilon_\alpha=\alpha$를 만족하는 서수이다. 이 서수를 읽을 때는 칸토어의 서수 혹은 그냥 제타 서수라고 읽는다.

맨 먼저 유의해야 하는 사실은, $\zeta_{0}$ 역시 $\epsilon$ 서수들에 속하므로 $\zeta_{0}=\omega^{\zeta_{0}}$이라는 것이다.

따라서, 위에서와 똑같이 $\omega\zeta_{0}=\omega\times\omega^{\zeta_{0}}=\omega^{\zeta_{0}+1}$가 성립하며, 위에서와 비슷하게 서수의 수열 $\{\zeta_{0}+1, \omega^{\zeta_{0}+1}, \omega^{\omega^{\zeta_{0}+1}}, \cdots\}$를 정의할 수 있다. 이 수열의 극서수는 $\zeta_{0}=\epsilon_{\zeta_{0}}$ 바로 다음에 나타나는 $\epsilon$ 서수이므로 $\epsilon_{\zeta_{0}+1}$이다. 비슷한 방식으로 $\epsilon$ 서수들을 계속 정의할 수 있다.

이제 다음 단계로 서수 수열 $\zeta_{0}+1, \epsilon_{\zeta_{0}+1}, \epsilon_{\epsilon_{\zeta_{0}+1}}, \cdots$의 극한서수를 생각해보자. $\epsilon_{1}$과 비슷하게, 이 수열의 극한서수는 $\zeta_{0}$ 이후 최초로 $\epsilon_\alpha=\alpha$을 만족하므로 $\zeta_{1}$이다.

$\epsilon$ 서수에서 했던 것과 비슷하게 위의 과정을 반복한다면 서수 수열 $\{0, \zeta_{0}, \zeta_{\zeta_{0}}, \zeta_{\zeta_{\zeta_{0}}}, \cdots\}$을 상상할 수 있다. 이 수열의 극서수는 자주 쓰이지는 않지만 그리스 문자 에타를 써서 $\eta_{0}$이라고 쓴다. 당연히, $\zeta_{\eta_{0}}=\eta_{0}$이며 이 서수는 $\zeta_{\alpha}=\alpha$을 만족하는 최초의 서수다.

지금까지의 과정을 복습해보면, $\omega^\alpha=\alpha$을 만족하는 서수들을 $\epsilon$으로 나타냈으며, $\epsilon_\alpha=\alpha$ 을 만족하는 서수들을 $\zeta$로 나타냈고, $\zeta_{\alpha}=\alpha$을 만족하는 서수는 $\eta$로 나타냈다. 수학자 오스왈드 베블런은 이렇게 함수의 부동점을 이용하여 정의된 서수들을 일반화하여 베블런 함수를 만들어냈다. 베블런 함수 $\phi_\beta(\alpha)$는 인수 및 결과값으로 서수를 갖는 함수이며, 이렇게 재귀적으로 정의된다.

이제 $\phi_1(0)$, $\phi_2(0)$, $\phi_3(0)$를 정의했으니 마찬가지로 나아가서 $\phi_\omega(0)$를 정의할 수 있다. 저 $\omega$에서 멈출 필요 없이, $\epsilon_0$, $\zeta_0$, 심지어 $\eta_0$까지 갈 수도 있으며, 이렇게 한 번 더 반복한다면 $\phi_{\phi_\omega(0)}(0)$를 얻을 것이다. 똑같은 방법으로 계속 중첩시켜 나가면, $\phi_{\phi_{\phi_\cdots(0)}(0)}(0)$을 얻는다. 이 서수는 Feferman–Schütte 서수라 불리며 $\Gamma_{0}$이라고 쓴다. 이 서수는 $\phi$ 자체에 대하여 부동점이다. 즉, $\phi_{\Gamma_{0}}(0)=\Gamma_{0}$이 성립한다.

편의를 위해 위의 베블런 함수 $\phi_\beta(\alpha)$를 이제부터 $\phi(\beta, \alpha)$로 쓰고, 특히 $\phi_0(\alpha)=\omega^\alpha$는 $\phi(\alpha)$로 쓰도록 하자. 이제 $\phi$가 변수 한 개인 경우와 두 개인 경우에 대해 정의되었으므로, 변수 세 개인 경우에 대해서도 확장할 수 있다.

계속 진행한다면, 충분히 큰 서수는 $\phi(\alpha, 0, 0)=\alpha$을 만족시킬 수 있기 때문에 이 확장으로도 제대로 나타낼 수 없다. 이러한 서수를 수학자 빌헬름 아커만의 이름을 따 아커만 서수라고 부른다. 이 서수는 $\phi$를 더욱 확장하여 $\phi(1, 0, 0, 0)$이라고 나타낼 수 있다.

더욱 나아가, 서수들의 수열 $\{\phi(1), \phi(1, 0), \phi(1, 0, 0), \phi(1, 0, 0, 0), \cdots\}$을 생각할 수 있다. 이 수열의 극서수는 유한한 인수를 가진 베블런 함수로 나타낼 수 없는 최초의 서수다. 이 서수는 작은 베블런 서수 (Small Veblen Ordinal)이라고 부른다.

더욱 나아가, 초한 개의 인수를 가지는 베블런 함수도 생각할 수 있다. 작은 베블런 서수는 이 함수의 $\omega$번째 인수가 1, 나머지 인수가 0인 경우의 함수값이 될 것이다. 하지만 이런 함수 한계에 부딪히게 되며, 초한 베블런 함수로 나타낼 수 없는 가장 작은 서수를 큰 베블런 서수 (Large Veblen ordinal)로 부른다.

이렇듯 큰 가산서수들의 정의는 복잡하기 때문에, 집합론 수학자들은 이 가산서수들을 더 편리하게 나타내 더욱 큰 서수를 나타낼 방법을 고안했다. 아직 표기법이 통일되지 않았지만 (다양한 표기법이 정리된 문서), 최초로 만들어진 하인츠 바흐만(Heinz Bachmann)의 $\psi$ 함수를 쓰면 지금까지 소개된 서수는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 여기서, $\Omega$는 가장 작은 불가산 서수를 나타낸다.

집합 $S=\{0, 1, \omega, \Omega\}$를 준비한다.
집합 $C(0)$은 $S$의 원소들과 덧셈, 곱셈, 지수를 유한 번 사용하여 만들 수 있는 모든 서수의 집합으로 정의한다. 그럼 $C(0)$에는 $1, 2, 3, ...,\omega, \omega+1, \omega2, \omega^2, \omega^\omega, ..., \Omega, \Omega+1, \Omega+\omega, \Omega^\Omega$과 같은 서수들이 포함되어 있다.

그런데 $C(0)$에는 $\epsilon_0$이 포함되어 있지 않다. "유한 번" 사용해야 한다고 했으므로, $\omega$가 무한 번 지수로 올려진 $\epsilon_0$은 원소가 될 수 없는 것이다. 따라서 $\psi(0)$는 첫 번째로 도달할 수 없는 서수인 $\epsilon_0$로 정해진다.

그런 다음, $C(1)$을 $C(0)$의 원소들과 $\psi(0)=\epsilon_0$을 유한 번 사용하여 만들 수 있는 모든 서수의 집합으로 정의한다. 아까와 마찬가지로, $\omega$나 $\epsilon_0$[3]를 무한 번 써야하는 $\epsilon_1$은 $C(1)$에 없다. 따라서 $\psi(1)=\epsilon_1$이 된다.

같은 방법으로 $C(2)$를 $C(1)$의 원소들과 $\psi(1)$을 유한 번 사용해 만들 수 있는 서수의 집합으로 정의하고, $\psi(2)=\epsilon_2$가 된다. 이쯤 되면 $\psi(\alpha)=\epsilon_\alpha$임을 알 수 있다.

위의 식에서 $\psi(\epsilon_\alpha)=\epsilon_{\epsilon_\alpha}, \psi(\epsilon_{\epsilon_\alpha})=\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_\alpha}}$ 등도 얻어낼 수 있지만, $\epsilon$을 무한 번 사용해야 하는 $\zeta_0$은 이전과 같은 방법으로 얻어낼 수 없다. 여기서 $\Omega$가 등장한다.

$\psi(\zeta_0)$를 계산하면, $\epsilon_{\zeta_0}=\zeta_0$가 된다. $\zeta_0$보다 큰 어떤 서수를 넣어도 결과값으로 $\zeta_0$이 나온다. 그런데 $\Omega$가 $\zeta_0$보다는 크기 때문에, $\psi(\Omega)=\zeta_0$이 된다.

계속해서 $C(\zeta_0+1)$은 $C(\zeta_0)$의 원소들과 $\psi(\Omega)=\zeta_0$를 유한 번 사용해 만들 수 있는 모든 서수의 집합이 되고, 여기에 없는 최초의 서수는 $\zeta_0$의 바로 다음 $\epsilon$인 $\epsilon_{\zeta_0+1}$이다. 따라서 $\psi(\Omega+1)=\epsilon_{\zeta_0+1}$이다. $\psi(\Omega+2)$는 그 다음 엡실론이 되고, 그 값은 $\epsilon_{\zeta_0+2}$이다.

그럼 여기서 $\psi(\Omega+\alpha)=\epsilon_{\zeta_0+\alpha}$이라는 것을 알 수 있다. 그런데 앞에서도 그랬듯이 $\alpha$가 $\zeta_1$이상이면 성립하지 않는다. $\epsilon_{\zeta_0+\zeta_1}=\epsilon_{\zeta_1}=\zeta_1$이기 때문이다.

$\Omega$를 다시 사용해, $\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega2)=\zeta_1$이 된다. 계속하면 $\psi(\Omega2+\alpha)=\epsilon_{\zeta_1+\alpha}$, 초월하여 $\psi(\Omega3)=\zeta_2$이다. 이를 통해 $\psi(\Omega×\alpha)=\zeta_{\alpha-1}$[4]라는 규칙을 알아낼 수 있다. 이 역시도 $\alpha$가 $\zeta$에 대해 부동점인 $\eta_0$ 이상이 되면 막히지만, $\psi(\Omega×\Omega)=\psi(\Omega^2)=\eta_0$으로 도달한다.

이처럼 계산을 통해 규칙을 찾아내고, 부동점에 걸릴때마다 $\Omega$로 부동점을 돌파해내어, 다시 계산으로 규칙을 찾는 것을 반복하면 된다.