비에타 정리

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1. 개요[편집]

비에타 정리(Vieta's formula)
체 FF 위에서 차수 nn의 다항식
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0\displaystyle f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{1} x + a_0
의 근이 중복을 포함하여 α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n으로 나타난다고 했을 때, 각각의 계수 aka_k는 다음의 식으로 나타낼 수 있다. (0≤k≤n0 \le k \le n)
(−1)kan−kan=∑1≤i1<i2<⋯<ik≤nαi1⋯αik\displaystyle (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} = \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} \alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_k}
위 식의 우변은 n개의 수 α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n 중 서로 다른 kk개를 선택해서 더한 것으로, 보통 기본 대칭다항식(elementary symmetric polynomial)이라고 하고 sk(α1,⋯ ,αn)s_k(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)으로 표기한다.

비에타 정리의 특별한 경우로 n차방정식의 모든 근의 합은 −an−1/an-a_{n-1}/a_n, 모든 근의 곱은 (−1)na0/an(-1)^n a_0/a_n이 된다.

정리의 증명은 방정식의 인수분해 형태
f(x)=∑k=0nakxk=an(x−α1)(x−α2)⋯(x−αn)\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_n (x- \alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)
에서 양변의 xn−kx^{n-k}의 계수를 비교하면 된다. 우변을 전개했을 때의 곱에서는 xx가 (n−k)(n-k)번 선택되어야 하므로 근 αi\alpha_i 중에서 kk개가 선택되고, 이들 중 서로 다른 것을 선택해 곱하므로 대칭다항식이 등장하는 것. 부호 (−1)k(-1)^k 부분은 (−αi)(-\alpha_i)들을 kk번 곱하게 되는 과정에서 등장한다. 어떻게 보면 이항정리의 증명과 상당히 유사한 점이 있다. (α1=⋯=αn\alpha_1 = \cdots = \alpha_n이면 실제로 이항정리가 되기는 한다.)

비에타 정리에서 등장하는 기본 대칭다항식은 대칭다항식 연구에서 매우 중요한 역할을 하는데, 근들에 대한 모든 대칭다항식은 기본 대칭다항식에 대한 다항식으로 나타낼 수 있기 때문이다. 이차방정식의 경우 두 근 α,β\alpha, \beta에 대한 다항식 중 α↔β\alpha \leftrightarrow \beta 치환에 대해 동일한 모든 다항식은 α+β,αβ\alpha+\beta, \alpha \beta의 다항식으로 나타낼 수 있다. 이 근과 계수들로 근 αk\alpha_k의 mm제곱의 합을 구하는 뉴턴 항등식(Newton's identity) 등의 다양한 공식들도 존재하고, 한편으로는 갈루아 이론을 이러한 대칭다항식 관점에서 생각하는 방법도 있다. 비에타 정리는 이외에도 행렬의 특성다항식 등등 nn차방정식을 다루는 많은 상황에 쓰인다.