베르누이 미분방정식은 $y$가 $t$의 함수일 때 다음과 같이 표현되는 비선형 1계 상미분 방정식이다.
$y'(t) + p(t) y(t) = q(t) y(t)^n\qquad(n\neq 0, 1)$[1]

이 방정식은 1695년 이를 처음으로 연구한 야코프 베르누이의 이름을 붙였다. 베르누이 미분방정식은 비선형 상미분방정식임에도 일반해를 구하는 방법이 알려져 있는 특수한 경우이다. 로지스틱 방정식은 베르누이 미분방정식의 한 예다.

자명해가 아닌 해를 구하려면 양변을 $y^n$로 나누고 $\displaystyle u = \frac{1}{y^{n-1}}$로 치환하여 다음과 같은 선형 상미분방정식으로 변환한다.
$u'(t) + (1-n) p(t) u(t) = (1-n) q(t)$
이렇게 치환된 문제는 적분인자를 사용한 해법으로 쉽게 해를 구할 수 있다. 이 치환된 문제의 해를 $u^*(t)$라 하면 베르누이 미분방정식의 해는 $\displaystyle y(t) = \Big[u^*(t)\Big]^{\frac{1}{1-n}}$이다.

풀이를 쉽게 하기 위해 위의 식에서 $P(t) = (1-n) p(t)$라고 하고 $Q(t)=(1-n)q(t)$라고 하면 적분인자는 $\displaystyle e^{\int P(t)\,\mathrm{d}t}$이고, 이로부터 $u^*(t)$를 다음과 같이 얻을 수 있다.
$\displaystyle u^*(t) = \frac{\int e^{\int P(t)\,\mathrm{d}t} Q(t)\,\mathrm{d}t + C}{e^{\int P(t)\,\mathrm{d}t}} = \frac{(1-n)\int e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t} q(t)\,\mathrm{d}t + C}{e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t}}$
따라서 초기조건에 따라 적분상수 $C$를 적당한 값으로 정해주면 $y(t)$는 다음과 같다.
$\displaystyle y(t) = \left[ \frac{(1-n)\int e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t} q(t)\,\mathrm{d}t + C}{e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t}}\right]^{\frac{1}{1-n}}$