분류
1. 개요
Differential form ・ 微分形式
일변수 및 다변수 미적분학에서 쓰이는 개념으로, 고전적인 '무한소'의 개념을 엄밀히 하고 다차원으로 확장했다고 볼 수 있다.
보통 다변수 미적분학을 어느 정도 배우고 나서야 학습하게 되지만, 그 실체는 고등학교에서 미적분을 배울 때부터 숨어 있었다고도 볼 수 있다. 이는 미분형식이 '적분할 수 있는 무언가'의 개념을 모두 포괄해 설명할 수 있기 때문이다. 즉 일변수함수 적분에 나오는 [math(mathrm{d}x)], 다변수함수의 기울기 [math(mathrm{d}f)], 다중적분에서 나오는 [math(mathrm{d}x,mathrm{d}y)], 심지어는 물리학 등에서 쓰는 넓이/부피요소 [math(mathrm{d}A)], [math(mathrm{d}V)]까지도 모조리 미분형식이라는 이름으로 대통합할 수 있다고 보면 된다. 결정적으로, 3차원의 벡터장과 엮이는 델의 삼신기인 경사(gradient)/회전(curl)/발산(divergence)을 가장 일반적이면서도 우아하게 설명할 수 있는 게 바로 이 미분형식이다.
물론 이 정도의 파워를 갖고 있는 만큼 이해하는 게 쉽지만은 않아서, 델에 어느 정도 익숙해지고 [math(n)]차원 미분다양체를 이해할 수 있을 시점에야 배우는 것이 보통이다. 이 풀버전을 배우지 않을 위키러들은 바로 아래 '예시' 항목을 보면서 대충 이렇게 생겼을 것이라고 유추해보자.
미분형식의 일반적인 정의를 간단히 말하면 미분다양체의 각각의 접평면에 부여된 매끄러운(smooth) [math((0,,k))]-교대 텐서 (즉, 선형사상 [math(wedge^k T_p M rightarrow mathbb{R})])라고 할 수 있다. 자세한 정의는 하단에 서술한다. 미분기하학 및 층(sheaf)의 개념에 익숙한 숙련자들은 접평면의 다발의 쌍대공간인 공변접다발(cotangent bundle) [math(T^{*}M)]의 외대수(exterior algebra) 혹은 교대 대수(alternating algebra)를 미분형식의 층으로(즉, 이 층의 단면(section)이 미분형식이 된다.) 간주하기도 한다. [math(k)]차 및 전체 미분형식의 모음(혹은 층)을 각각 [math(Omega^k(M))], [math(Omega(M))]으로 쓰고, 개별 미분형식은 주로 [math(omega)], [math(eta)] 등의 기호를 쓴다.
일변수 및 다변수 미적분학에서 쓰이는 개념으로, 고전적인 '무한소'의 개념을 엄밀히 하고 다차원으로 확장했다고 볼 수 있다.
보통 다변수 미적분학을 어느 정도 배우고 나서야 학습하게 되지만, 그 실체는 고등학교에서 미적분을 배울 때부터 숨어 있었다고도 볼 수 있다. 이는 미분형식이 '적분할 수 있는 무언가'의 개념을 모두 포괄해 설명할 수 있기 때문이다. 즉 일변수함수 적분에 나오는 [math(mathrm{d}x)], 다변수함수의 기울기 [math(mathrm{d}f)], 다중적분에서 나오는 [math(mathrm{d}x,mathrm{d}y)], 심지어는 물리학 등에서 쓰는 넓이/부피요소 [math(mathrm{d}A)], [math(mathrm{d}V)]까지도 모조리 미분형식이라는 이름으로 대통합할 수 있다고 보면 된다. 결정적으로, 3차원의 벡터장과 엮이는 델의 삼신기인 경사(gradient)/회전(curl)/발산(divergence)을 가장 일반적이면서도 우아하게 설명할 수 있는 게 바로 이 미분형식이다.
물론 이 정도의 파워를 갖고 있는 만큼 이해하는 게 쉽지만은 않아서, 델에 어느 정도 익숙해지고 [math(n)]차원 미분다양체를 이해할 수 있을 시점에야 배우는 것이 보통이다. 이 풀버전을 배우지 않을 위키러들은 바로 아래 '예시' 항목을 보면서 대충 이렇게 생겼을 것이라고 유추해보자.
미분형식의 일반적인 정의를 간단히 말하면 미분다양체의 각각의 접평면에 부여된 매끄러운(smooth) [math((0,,k))]-교대 텐서 (즉, 선형사상 [math(wedge^k T_p M rightarrow mathbb{R})])라고 할 수 있다. 자세한 정의는 하단에 서술한다. 미분기하학 및 층(sheaf)의 개념에 익숙한 숙련자들은 접평면의 다발의 쌍대공간인 공변접다발(cotangent bundle) [math(T^{*}M)]의 외대수(exterior algebra) 혹은 교대 대수(alternating algebra)를 미분형식의 층으로(즉, 이 층의 단면(section)이 미분형식이 된다.) 간주하기도 한다. [math(k)]차 및 전체 미분형식의 모음(혹은 층)을 각각 [math(Omega^k(M))], [math(Omega(M))]으로 쓰고, 개별 미분형식은 주로 [math(omega)], [math(eta)] 등의 기호를 쓴다.
2. 예시
2.1. 무한소
구분구적법을 통해 적분을 정의할 때는 다음과 같이 분할에 대한 리만합을 미세한 합으로 극한을 보내는 방식을 썼다.
[math(displaystyle sum f(x) ,Delta x rightarrow int f(x),mathrm{d}x )]
여기서 [math(Delta x)]는 분할된 각각의 직사각형의 너비였지만 [math(mathrm{d}x)]의 실체는 무엇인가에 대해 의문을 품을 수 있다. 특히나 다음의 치환적분을 [math(x = g(y))]로 한다고 했을 때
[math(displaystyle int f(x),mathrm{d}x = int f(g(y)),mathrm{d}g(y) = int f(g(y)),g'(y),mathrm{d}y )]
위의 분할과 이를 연관지으려면 그 의미가 분명하지 않다. 현대의 미분형식 관점에서는 이 '무한소'의 개념을 개별 길이가 아니라, 일종의 비율의 개념으로 설명해 이해할 수 있었다. 즉, [math(mathrm{d}x)]란 걸 미세 길이 자체가 아니라, (분할한 구간):(구간에서 [math(x)]의 변화량)의 비율로 이해하는 것이다. 이렇게 생각하면 [math(x)]를 기준으로 분할하건 [math(y)]를 기준으로 분할하건, [math(mathrm{d}x)]는 변수에 상관없는 고정된 의미를 갖는 물리량이다. 또한 [math(mathrm{d}x)]가 [math(g'(y),mathrm{d}y)]로 대체되는 과정도, [math(x)]의 변화율과 [math(y)]의 변화율의 비율이 [math(g'(y))]여서 그렇다고 생각할 수 있는 것이다.
즉, 각 점 [math(p)]에 대해 [math(mathrm{d}x(p))]는 [math(p)] 근방에서 (구간의 길이):([math(x)]의 변화량)의 극한비율로 정의할 수 있다. [math(1)]-형식의 가장 원초적 정의인 것.
박부성 교수(경남대학교)의 다음 글도 참고하면 좋다. 사실 미분 입장에서 설명한 저 글이 보다 근본적이라고 볼 수 있다.
[math(displaystyle sum f(x) ,Delta x rightarrow int f(x),mathrm{d}x )]
여기서 [math(Delta x)]는 분할된 각각의 직사각형의 너비였지만 [math(mathrm{d}x)]의 실체는 무엇인가에 대해 의문을 품을 수 있다. 특히나 다음의 치환적분을 [math(x = g(y))]로 한다고 했을 때
[math(displaystyle int f(x),mathrm{d}x = int f(g(y)),mathrm{d}g(y) = int f(g(y)),g'(y),mathrm{d}y )]
위의 분할과 이를 연관지으려면 그 의미가 분명하지 않다. 현대의 미분형식 관점에서는 이 '무한소'의 개념을 개별 길이가 아니라, 일종의 비율의 개념으로 설명해 이해할 수 있었다. 즉, [math(mathrm{d}x)]란 걸 미세 길이 자체가 아니라, (분할한 구간):(구간에서 [math(x)]의 변화량)의 비율로 이해하는 것이다. 이렇게 생각하면 [math(x)]를 기준으로 분할하건 [math(y)]를 기준으로 분할하건, [math(mathrm{d}x)]는 변수에 상관없는 고정된 의미를 갖는 물리량이다. 또한 [math(mathrm{d}x)]가 [math(g'(y),mathrm{d}y)]로 대체되는 과정도, [math(x)]의 변화율과 [math(y)]의 변화율의 비율이 [math(g'(y))]여서 그렇다고 생각할 수 있는 것이다.
즉, 각 점 [math(p)]에 대해 [math(mathrm{d}x(p))]는 [math(p)] 근방에서 (구간의 길이):([math(x)]의 변화량)의 극한비율로 정의할 수 있다. [math(1)]-형식의 가장 원초적 정의인 것.
박부성 교수(경남대학교)의 다음 글도 참고하면 좋다. 사실 미분 입장에서 설명한 저 글이 보다 근본적이라고 볼 수 있다.
2.2. 전미분
다변수 미적분학을 배울 때 간혹 편미분과 더불어 함수의 '전미분'(total derivative)이란 대상을 다음처럼 정의할 때가 있다.
[math(displaystyle mathrm{d}f = frac{partial f}{partial x_1},mathrm{d}x_1 + frac{partial f}{partial x_2},mathrm{d}x_2 + cdots + frac{partial f}{partial x_n},mathrm{d}x_n )]
여기서의 [math(mathrm{d}x_i)]의 정체도 사실 위와 비슷하게 [math(x_i)]의 변화량의 비율의 일종이다. 이 경우에는 한 점에서 뻗어나갈 수 있는 방향이 [math(n)]차원이어서, [math(mathrm{d}x_i)]는 [math(n)]차원 벡터를 숫자에 대응시키는 선형함수, 즉 코벡터(covector)[1]로 봐야 한다. 일반적으로 [math(mathrm{d}f)]도 이와 동일하게, [math(v)] 방향에 대해 [math(f)]의 변화량의 비율을 주는, 즉 방향미분으로 정의될 수 있다.
[math(displaystyle mathrm{d}f|_{p}(v) = D_v f (p) = lim_{h rightarrow 0} frac{f(p + vh) - f(p)}{h} )]
이렇게 보면 [math(mathrm{d}x_i)]도 [math(f=x_i)]인 경우인 것이고, 이 전미분도 좌표계에 의존하지 않는 고유한 양이 된다는 것을 관찰할 수 있다. 이것도 각 점에서 벡터를 집어넣었을 때 숫자를 주는 [math(1)]-형식이다.
쉽게 말하자면 전미분은 변수의 작은 변화에 따른 다변 함수의 변화량을 뜻하는 것이다
[math(displaystyle mathrm{d}f = frac{partial f}{partial x_1},mathrm{d}x_1 + frac{partial f}{partial x_2},mathrm{d}x_2 + cdots + frac{partial f}{partial x_n},mathrm{d}x_n )]
여기서의 [math(mathrm{d}x_i)]의 정체도 사실 위와 비슷하게 [math(x_i)]의 변화량의 비율의 일종이다. 이 경우에는 한 점에서 뻗어나갈 수 있는 방향이 [math(n)]차원이어서, [math(mathrm{d}x_i)]는 [math(n)]차원 벡터를 숫자에 대응시키는 선형함수, 즉 코벡터(covector)[1]로 봐야 한다. 일반적으로 [math(mathrm{d}f)]도 이와 동일하게, [math(v)] 방향에 대해 [math(f)]의 변화량의 비율을 주는, 즉 방향미분으로 정의될 수 있다.
[math(displaystyle mathrm{d}f|_{p}(v) = D_v f (p) = lim_{h rightarrow 0} frac{f(p + vh) - f(p)}{h} )]
이렇게 보면 [math(mathrm{d}x_i)]도 [math(f=x_i)]인 경우인 것이고, 이 전미분도 좌표계에 의존하지 않는 고유한 양이 된다는 것을 관찰할 수 있다. 이것도 각 점에서 벡터를 집어넣었을 때 숫자를 주는 [math(1)]-형식이다.
쉽게 말하자면 전미분은 변수의 작은 변화에 따른 다변 함수의 변화량을 뜻하는 것이다
2.3. 중적분에서의 면적소
중적분에서 나오는 [math(mathrm{d}x,mathrm{d}y)]에서 각각의 [math(mathrm{d}x)], [math(mathrm{d}y)]도 위와 비슷하게 생각할 수 있다. 하지만, 다변수의 치환적분인 야코비안
[math(displaystyle mathrm{d}u,mathrm{d}v = left| begin{matrix} partial u / partial x & partial v / partial x \ partial u / partial y & partial v / partial y end{matrix} right| mathrm{d}x,mathrm{d}y )]
은 얼핏 보면 위에 기껏 증명한
[math(displaystyle begin{aligned}
mathrm{d}u &= frac{partial u}{partial x},mathrm{d}x + frac{partial u}{partial y},mathrm{d}y \
mathrm{d}v &= frac{partial v}{partial x},mathrm{d}x + frac{partial v}{partial y},mathrm{d}y
end{aligned} )]
등과 전혀 맞지 않는 것으로 보인다. 이는 [math(mathrm{d}x,mathrm{d}y)]가 단순한 곱으로 연결되어 있지 않기 때문이다. 당장은 매우 뜬금없지만, 만약에 [math(mathrm{d}x)], [math(mathrm{d}y)]라는 사이에 사실 쐐기(wedge)라는 기호 [math(wedge)]가 있었고, 다음을 만족했다고 생각해보자. (나머지 함수의 곱에 대해선 분배법칙으로 작용한다.)
[math(displaystyle begin{aligned}
mathrm{d}x wedge mathrm{d}x &= mathrm{d}y wedge mathrm{d}y = 0 \
-mathrm{d}y wedge mathrm{d}x &= mathrm{d}x wedge mathrm{d}y
end{aligned} )]
이걸 가정하면 야코비안 변환식을 다음처럼 얼추 그럴싸하게 얻을 수 있다!
[math(displaystyle mathrm{d}u,mathrm{d}v = left| begin{matrix} partial u / partial x & partial v / partial x \ partial u / partial y & partial v / partial y end{matrix} right| mathrm{d}x,mathrm{d}y )]
은 얼핏 보면 위에 기껏 증명한
[math(displaystyle begin{aligned}
mathrm{d}u &= frac{partial u}{partial x},mathrm{d}x + frac{partial u}{partial y},mathrm{d}y \
mathrm{d}v &= frac{partial v}{partial x},mathrm{d}x + frac{partial v}{partial y},mathrm{d}y
end{aligned} )]
등과 전혀 맞지 않는 것으로 보인다. 이는 [math(mathrm{d}x,mathrm{d}y)]가 단순한 곱으로 연결되어 있지 않기 때문이다. 당장은 매우 뜬금없지만, 만약에 [math(mathrm{d}x)], [math(mathrm{d}y)]라는 사이에 사실 쐐기(wedge)라는 기호 [math(wedge)]가 있었고, 다음을 만족했다고 생각해보자. (나머지 함수의 곱에 대해선 분배법칙으로 작용한다.)
[math(displaystyle begin{aligned}
mathrm{d}x wedge mathrm{d}x &= mathrm{d}y wedge mathrm{d}y = 0 \
-mathrm{d}y wedge mathrm{d}x &= mathrm{d}x wedge mathrm{d}y
end{aligned} )]
이걸 가정하면 야코비안 변환식을 다음처럼 얼추 그럴싸하게 얻을 수 있다!
[math(displaystyle begin{aligned} mathrm{d}u wedge mathrm{d}v &= left(frac{partial u}{partial x},mathrm{d}x + frac{partial u}{partial y},mathrm{d}y right) wedge left(frac{partial v}{partial x},mathrm{d}x + frac{partial v}{partial y},mathrm{d}yright) \ &= left( frac{partial u}{partial x}frac{partial v}{partial y} - frac{partial u}{partial y}frac{partial v}{partial x} right)mathrm{d}x wedge mathrm{d}y end{aligned} )] |
'적분의 정의'의 관점을 생각해보면 [math(mathrm{d}x wedge mathrm{d}y = mathrm{d}A)]도 넓이에 근거해 정해졌음을 알 수 있다. 즉, 도형을 작은 도형 [math(P_i)]들로 분할했을 때의 리만합 [math( sum f(x_i,,y_i),mathrm{Area}(P_i)~( (x_i,,y_i) in P_i))]의 극한값이 면적분이 되는데, 이게 결국 푸비니 정리에 의해 이게 다중적분과 일치하는 만큼, 즉 [math(mathrm{d}x wedge mathrm{d}y)]는 주어진 점 근방의 도형을 [math((x,,y))]로 이동시켰을 때의 넓이의 배율로 생각할 수 있다. 코벡터들에 쐐기를 때렸다고 어떻게 넓이의 배율이 나오는지 정확히 이해하려면, 아쉽게도 행렬식은 물론이요 저 쐐기 기호의 정확한 정의를 알아야 하므로 다중선형대수(multilinear algebra)의 지식이 필요하긴 하다. 다만, 저 쐐기란 게 얼추 행렬식처럼 작용한다는 것을 위의 야코비안 변환식을 통해서 느낀다면, 아쉬운대로 저게 벡터들을 집어넣었을 때 이들로 이루어지는 평행사변형(3개 이상의 쐐기곱이면 평행육면체)의 넓이를 옮겨주는 함수, 즉 교대텐서(기하학에서 말하는 [math((0,,k))]-교대텐서, 대수학에서는 [math(wedge^k((mathbb{R}^n)^{*}))])가 된다고 받아들이는 정도는 가능할 것이다.
이것을 가장 넓은 범위에서 일반화하면 각 점에서 [math(k)]차원 넓이요소를 집어넣었을 때 이걸 숫자로 대응시키는 [math(k)]-형식의 개념이 된다. 다만, [math(n)]차원 공간의 [math(k)]차원 넓이요소는 ([math(wedge^k(mathbb{R}^n))]의 차원인) [math(binom{n}{k})]개의 방향이 있고, 이들이 무엇을 의미하는지 체감하는 것은 또 다른 문제이다. 이것은 스토크스 정리의 쉬운 경우(그린 정리나 켈빈-스토크스 정리) 등으로 경험을 쌓는 수밖에 없다.
이것을 가장 넓은 범위에서 일반화하면 각 점에서 [math(k)]차원 넓이요소를 집어넣었을 때 이걸 숫자로 대응시키는 [math(k)]-형식의 개념이 된다. 다만, [math(n)]차원 공간의 [math(k)]차원 넓이요소는 ([math(wedge^k(mathbb{R}^n))]의 차원인) [math(binom{n}{k})]개의 방향이 있고, 이들이 무엇을 의미하는지 체감하는 것은 또 다른 문제이다. 이것은 스토크스 정리의 쉬운 경우(그린 정리나 켈빈-스토크스 정리) 등으로 경험을 쌓는 수밖에 없다.
3. 엄밀한 정의 및 성질
3.1. 정의 및 기본 연산
미분형식(differential form)
차원이 [math(n)]인 미분다양체 [math(M)] 위에 정의된 [math(k)]-미분형식(differential [math(k)]-form) 혹은 [math(k)]-형식([math(k)]-form) [math(omega)]는, 각 점 [math(p in M)]에 대한 매끄럽게 변하는 [math((0,,k))]-교대 텐서 [math(omega_p:wedge^k T_p M rightarrow mathbb{R})]의 모음 [math({omega_p}_{p in M})]으로 정의된다. 즉, 다음 둘을 만족시켜야 한다.
다양체 위의 [math(k)]-미분형식의 집합을 [math(Omega^k(M))]으로 쓴다.
|
미분다양체의 열린집합 [math(U subset M)] 위에서의 [math(k)]-형식도 점 [math(p)]의 조건을 [math(p in U)]로만으로 완화해 적용할 수 있다. [math(mathrm{d}x/x)] 같이 미분형식이 모든 점에서 정의되지 않는 경우에 사용가능하다.
같은 차수의 미분형식에 대해서는 덧셈, 뺄셈, 매끄러운 함수에 대한 스칼라곱을 정의할 수 있고, 이 세 연산에 대해 [math(Omega^k(M))]은 매끄러운 함수의 환 [math(C^{infty}(M))]에 대한 가군을 이룬다. 한편, 텐서의 쐐기곱(wedge product)을 점별로 생각하면 미분형식의 쐐기곱 [math(wedge : Omega^k(M) times Omega^l(M) rightarrow Omega^{k+l}(M))]을 정의할 수 있고, 이 쐐기곱은 결합법칙과 위의 가군 연산에 대한 분배법칙을 만족한다. 또한 매끄러운 함수를 [math(0)]-형식으로 간주하면 함수에 대한 스칼라곱과 쐐기곱이 일치한다.(즉 [math(f omega = f wedge omega)]) 보통 이 셋을 종합해 모든 미분형식의 직합(direct sum) [math(Omega(M) = oplus Omega^k(M))]에 층이 있는 대수(graded algebra) 구조가 주어졌다고 표현한다. 다중선형대수에선 이런 식으로 쐐기곱을 이용해 만들어진 대수를 보통 외대수(exterior algebra)라고 부른다.
미분기하학에 상당히 익숙해졌다면, 공변접다발(cotangent bundle) [math(T^{*}M)]에 주어진 외대수 자체가 [math(Omega(M))]이 되고, 이것의 차수 [math(k)] 부분이 [math(Omega^k(M))]이며, [math(k)]-형식은 [math(Omega^k(M))]의 대역 단면(global section)이 된다는 식으로 위 내용들을 표현할 수도 있다.
같은 차수의 미분형식에 대해서는 덧셈, 뺄셈, 매끄러운 함수에 대한 스칼라곱을 정의할 수 있고, 이 세 연산에 대해 [math(Omega^k(M))]은 매끄러운 함수의 환 [math(C^{infty}(M))]에 대한 가군을 이룬다. 한편, 텐서의 쐐기곱(wedge product)을 점별로 생각하면 미분형식의 쐐기곱 [math(wedge : Omega^k(M) times Omega^l(M) rightarrow Omega^{k+l}(M))]을 정의할 수 있고, 이 쐐기곱은 결합법칙과 위의 가군 연산에 대한 분배법칙을 만족한다. 또한 매끄러운 함수를 [math(0)]-형식으로 간주하면 함수에 대한 스칼라곱과 쐐기곱이 일치한다.(즉 [math(f omega = f wedge omega)]) 보통 이 셋을 종합해 모든 미분형식의 직합(direct sum) [math(Omega(M) = oplus Omega^k(M))]에 층이 있는 대수(graded algebra) 구조가 주어졌다고 표현한다. 다중선형대수에선 이런 식으로 쐐기곱을 이용해 만들어진 대수를 보통 외대수(exterior algebra)라고 부른다.
미분기하학에 상당히 익숙해졌다면, 공변접다발(cotangent bundle) [math(T^{*}M)]에 주어진 외대수 자체가 [math(Omega(M))]이 되고, 이것의 차수 [math(k)] 부분이 [math(Omega^k(M))]이며, [math(k)]-형식은 [math(Omega^k(M))]의 대역 단면(global section)이 된다는 식으로 위 내용들을 표현할 수도 있다.
3.2. 외미분(exterior derivative)
외미분(exterior derivative)
다음 조건을 만족하는 선형연산자 [math(mathrm{d} : Omega^k(M) rightarrow Omega^{k+1}(M))]이 유일하게 존재하고, 이를 외미분이라 부른다.
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외미분을 미분형식 자체에 대해 정의하는 내적인 정의(intrinsic definition)도 가능하긴 하지만 의외로 복잡해서 정의로 채택되는 경우는 드물다.
이 외미분이 미분형식의 핵심 개념 중 하나이긴 하지만 의외로 바로 이해하긴 쉽지 않다. 위의 두 성질을 이용해 계산을 하고, 아래의 델이나 스토크스 정리를 통해 의미를 이해하는 경우가 보통이다. 다행히도 다음 표현으로 인해 외미분의 계산은 그렇게까지 어렵진 않다.
이 외미분이 미분형식의 핵심 개념 중 하나이긴 하지만 의외로 바로 이해하긴 쉽지 않다. 위의 두 성질을 이용해 계산을 하고, 아래의 델이나 스토크스 정리를 통해 의미를 이해하는 경우가 보통이다. 다행히도 다음 표현으로 인해 외미분의 계산은 그렇게까지 어렵진 않다.
미분형식의 기저 표현
미분다양체 위 열린집합 [math(U)]에 주어진 좌표계 [math((x_1,,x_2,,cdots,,x_n) : U rightarrow mathbb{R}^n)]에 대해, 임의의 미분형식은 매끄러운 함수와 [math(1)]-형식들 [math(mathrm{d}x_1,,mathrm{d}x_2,,cdots,,mathrm{d}x_n)]의 쐐기곱들의 합으로 유일하게 표현할 수 있다. 즉, [math(U)] 위의 [math(k)]-형식 [math(omega)]는 다음과 같이 표현된다. [math(displaystyle omega = sum_{I subset {1,2, cdots, n}, |I|=k} f_I,mathrm{d}x_I,qquad f_I in C^{infty}(U) )] 여기서 [math(I={i_1,,i_2,,cdots,,i_k})]에 대해 [math(mathrm{d}x_{I} = mathrm{d}x_{i_1} wedge mathrm{d}x_{i_2} wedge cdots wedge mathrm{d}x_{i_k} )]이다. |
이 표현에서 외미분을 계산하는 방법은 다음과 같다. 우선 [math(mathrm{d}x_I)]의 외미분은 [math(0)]임을 보일 수 있다. 즉, [math(mathrm{d}(f,mathrm{d}x_I) = mathrm{d}f wedge mathrm{d}x_I)]을 계산하면 되는데, [math(mathrm{d}f = sum_i (partial f/partial x_i),mathrm{d}x_i)]이고 [math( mathrm{d}x_i wedge mathrm{d}x_I= mathrm{d}x_i wedge mathrm{d}x_{i_1} wedge cdots wedge mathrm{d}x_{i_k})]는 앞뒤자리만 바꿔서 [math(mathrm{d}x_{I'})]꼴로 바꿔준다. 구체적인 예시를 보고 싶으면 아래의 델 관련 부분을 계산해볼 수도 있다.
3.3. 견인과 적분
견인(pullback)
미분다양체 사이의 매끄러운 사상(smooth map) [math(f: M rightarrow N)]에 대해, [math(N)]의 [math(k)]-형식 [math(omega)]의 [math(varphi)]에 대한 견인 [math(f^{*} omega)]는 [math(M)] 위의 [math(k)]-형식으로 다음처럼 정의된다. [math(displaystyle f^{*}omega_p(v_1,,cdots,,v_k) = omega_{f(p)} (mathrm{d}f_{p}(v_1),,cdots,,mathrm{d}f_{p}(v_k) ) )] 여기서 [math(mathrm{d}f_{p} : T_p M rightarrow T_{f(p)} N)]은 [math(f)]의 미분이다. |
견인은 미분형식의 외대수 구조와 외미분을 보존한다. 이름처럼 미분형식의 구조를 다른 공간으로 끌어온다는 의미를 담고 있다.
미분형식의 적분은 다양체 [math(M)]이 유향(orientable)이고 미분형식이 compact support를 가져야 적분의 존재성을 일단 보장할 수 있다. 이 조건 하에선 미분형식을 유클리드 공간으로 견인한 후 그 위에서 통상적인 중적분을 통해 하게 되는데, 보통 다음 세 단계로 나누어 정의한다. 이 정의는 잘 정의되어 있고(즉, 계산 방법에 의존하지 않고) 통상적인 적분에 기대할 수 있는 선형성 성질 등을 모두 만족시킴을 증명할 수 있다. 일반적인 견인에 대해서도 적분이 보존된다.
미분형식의 적분은 다양체 [math(M)]이 유향(orientable)이고 미분형식이 compact support를 가져야 적분의 존재성을 일단 보장할 수 있다. 이 조건 하에선 미분형식을 유클리드 공간으로 견인한 후 그 위에서 통상적인 중적분을 통해 하게 되는데, 보통 다음 세 단계로 나누어 정의한다. 이 정의는 잘 정의되어 있고(즉, 계산 방법에 의존하지 않고) 통상적인 적분에 기대할 수 있는 선형성 성질 등을 모두 만족시킴을 증명할 수 있다. 일반적인 견인에 대해서도 적분이 보존된다.
- 유클리드 공간 [math(mathbb{R}^n)]의 [math(n)]-형식의 적분은, 직교좌표로 표현했을 때의 계수 함수를 중적분한다.
즉, 이제까지 해온 적분이랑 똑같이 하면 된다.
[math(displaystyle int f ,mathrm{d}x_1 wedge cdots wedge mathrm{d}x_k = int f )] - [math(n)]차원 다양체의 열린집합 [math(U)]가 [math(mathbb{R}^n)]의 부분집합 [math(V)]와 미분동형(diffeomorphism) [math( f: V rightarrow U)]로 나타낼 수 있을 때는 다음처럼 견인으로 정의한다.
[math(displaystyle int_{U} omega = int_{V} f^{*} omega )] - 임의의 [math(n)]차원 다양체의 열린집합 [math(U)]에서 [math(n)]-형식 [math(omega)]의 적분은 [math(U)]의 partition of unity와 분배법칙을 통해 계산한다. 즉, [math(U)]를 덮는 열린집합들 [math(V_i)]와 이에 상응하는 partition of unity의 표현 [math(1 = sum rho_i )] ([math(rho_i : U rightarrow mathbb{R}_{ge 0})]은 [math(V_i)] 밖에서는 [math(0)]인 매끄러운 함수)에 대해 다음처럼 정의한다.
[math(displaystyle int_{U} omega = sum_i int_{V_i} rho_i omega )]
4. 스토크스 정리
스토크스 정리(Stokes' theorem)
가향(orientable)인 경계가 있는 [math(n)]차원 미분다양체 [math(M)] 위의 [math((n-1))]-형식 [math(omega)]에 대해 다음이 성립한다. [math(displaystyle int_{partial M} omega = int_{M} mathrm{d} omega )] |
위 서술만으로는 약간의 애매함이 있는데, 우선 [math(omega)]는 적분이 가능한 것으로 간주한다. 이제까지는 경계가 있는 다양체에 대해 미분형식을 정의하지 않았지만 큰 정의는 크게 다르지 않다. 이 과정을 엄밀하게 할 수 있으면 경계 위에서 [math(partial X)]의 접평면은 [math(X)]의 접평면의 부분공간으로 간주할 수 있으므로 좌변의 적분도 잘 정의할 수 있다.
해당 항목을 참고하여도 좋다.
스토크스 정리의 증명 자체는 의외로 어렵지 않은데,(??????) 적분이 pullback에 대해 보존되고 선형성을 만족한다는 것을 보이면 partition of unity를 잘 써서 [math(M)]이 [math(mathbb{R}^n)]의 직사각형일 때만 보이면 충분하다는 걸로 환원해서 진행하곤 한다. 직사각형인 경우는 단순계산으로 증명할 수 있다. 사실 더럽고 짜증나는 것은 이 정리를 서술하기 위한 모든 과정으로, 많은 수업/교과서에선 여기까지 온 학습자들에 대한 보상 느낌으로 끝자락에 배치되는 경우가 많다.
보다 중요한 것은 이 정리를 어떤 식으로 활용하냐이다. 우선 이 정리는 외미분에 대한 해석을 제공하는데, 위의 정리에서 [math(M)]을 주어진 점 [math(p)] 근방으로 잡고 영역을 한없이 축소시키면 [math(mathrm{d} omega_p)]의 값을 구할 수 있다. 아래에 나오는 발산(divergence) 등과 연관시켜 발산을 점 주변의 흐름의 극한, 즉 퍼져나오는 양 이런 느낌으로 이해하는 것과 비슷한 맥락이다. 한편으로는 위 성질은 완전 형식(exact form, [math(omega = mathrm{d}nu)] 꼴의 형식)이 닫힌 형식(closed form, 경계가 없는 영역에서 [math(int_N omega = 0)])이 된다는 것의 일반화로도 볼 수 있고, 이 얘기를 또 끌어나가면 위상수학에서의 코호몰로지에 대한 이야기로도 풀어갈 수도 있다.
해당 항목을 참고하여도 좋다.
스토크스 정리의 증명 자체는 의외로 어렵지 않은데,
보다 중요한 것은 이 정리를 어떤 식으로 활용하냐이다. 우선 이 정리는 외미분에 대한 해석을 제공하는데, 위의 정리에서 [math(M)]을 주어진 점 [math(p)] 근방으로 잡고 영역을 한없이 축소시키면 [math(mathrm{d} omega_p)]의 값을 구할 수 있다. 아래에 나오는 발산(divergence) 등과 연관시켜 발산을 점 주변의 흐름의 극한, 즉 퍼져나오는 양 이런 느낌으로 이해하는 것과 비슷한 맥락이다. 한편으로는 위 성질은 완전 형식(exact form, [math(omega = mathrm{d}nu)] 꼴의 형식)이 닫힌 형식(closed form, 경계가 없는 영역에서 [math(int_N omega = 0)])이 된다는 것의 일반화로도 볼 수 있고, 이 얘기를 또 끌어나가면 위상수학에서의 코호몰로지에 대한 이야기로도 풀어갈 수도 있다.
5. 미분형식으로 3차원에서의 델 해석하기
3차원 유클리드 공간 [math(mathbb{R}^3)]의 직교좌표계 [math(x)], [math(y)], [math(z)] 기준으로 미분형식과 그 외미분은 다음처럼 계산할 수 있다.
- 함수 [math(f)]에 대해
[math(displaystyle mathrm{d}f = frac{partial f}{partial x},mathrm{d}x + frac{partial f}{partial y},mathrm{d}y + frac{partial f}{partial z},mathrm{d}z )] - [math(1)]-형식 [math(omega = A_x mathrm{d}x + A_y mathrm{d}y + A_z mathrm{d}z )]에 대해
[math(displaystyle begin{aligned} mathrm{d} omega &= mathrm{d}(A_x) wedge mathrm{d}x + mathrm{d}(A_y) wedge mathrm{d}y+ mathrm{d}(A_z) wedge mathrm{d}z \ &= left( frac{partial A_z}{partial y} - frac{partial A_y}{partial z} right) mathrm{d}y wedge mathrm{d}z + left( frac{partial A_x}{partial z} - frac{partial A_z}{partial x} right) mathrm{d}z wedge mathrm{d}x + left( frac{partial A_y}{partial x} - frac{partial A_x}{partial y} right) mathrm{d}x wedge mathrm{d}y end{aligned} )] |
- [math(2)]-형식 [math(omega = B_x mathrm{d}y wedge mathrm{d}z + B_y mathrm{d}z wedge mathrm{d}x + B_z mathrm{d}x wedge mathrm{d}y)]에 대해
[math(displaystyle begin{aligned} mathrm{d} omega &= mathrm{d},(B_x) mathrm{d}y wedge mathrm{d}z + mathrm{d}(B_y),mathrm{d}z wedge mathrm{d}x + mathrm{d}(B_z),mathrm{d}x wedge mathrm{d}y \ &= left( frac{partial B_x}{partial x} + frac{partial B_y}{partial y} + frac{partial B_z}{partial z} right) mathrm{d}x wedge mathrm{d}y wedge mathrm{d}z end{aligned} )] |
이 셋을 각각 직교좌표계의 경사(gradient), 회전(curl), 발산(divergence)과 비교해 보자. 100% 동일한 표현임을 볼 수 있을 것이다.
즉, 델 삼종세트는 모두 이 외미분의 특수한 경우로 이해할 수 있다. 이 대통합 관점에서 보면 선적분의 기본정리, 캘빈-스토크스 정리, 3차원에서의 발산 정리도 결국 각각 [math(1)], [math(2)], [math(3)]-형식에 대한 일반화된 스토크스 정리의 특수한 경우에 지나지 않는다. 경사, 회전, 발산을 둘씩 합성하면 [math(0)]이 되는 것도 (즉, [math(nabla times (nabla f) = 0)]이 되고 [math(nabla cdot (nabla times {bf A}) = 0)]이 되는 것도 다 [math(mathrm{d}^2 = 0)]으로 설명할 수 있다. 비슷하게, 2차원에서 나오는 그린 정리와 발산 정리도 [math(1)]-형식과 [math(2)]-형식에 대한 스토크스 정리의 일부로 이해할 수 있다.
미분형식에 대해 엄밀하게 배우지 않을 사람들도 이 큰 그림 하나 정도 챙겨두고 가는 건 충분한 가치가 있을 것이다. 특히 델을 많이 쓰는 물리학도라면.
다만, 주의할 점이 한 가지가 있다. 이 이해 방식에서는 [math(2)]-형식을 벡터장으로, [math(3)]-형식을 함수로 해석하는데, 이들을 자연스럽게 같게 보는 것은 유클리드 공간 한정이다. 더 정확히는 접평면에 내적이 있을 때, 즉 리만 다양체 한정으로 호지 쌍대(Hodge dual)라는 연산 [math(star : Omega^k rightarrow Omega^{n-k})]을 통해 가능하다.
즉, 델 삼종세트는 모두 이 외미분의 특수한 경우로 이해할 수 있다. 이 대통합 관점에서 보면 선적분의 기본정리, 캘빈-스토크스 정리, 3차원에서의 발산 정리도 결국 각각 [math(1)], [math(2)], [math(3)]-형식에 대한 일반화된 스토크스 정리의 특수한 경우에 지나지 않는다. 경사, 회전, 발산을 둘씩 합성하면 [math(0)]이 되는 것도 (즉, [math(nabla times (nabla f) = 0)]이 되고 [math(nabla cdot (nabla times {bf A}) = 0)]이 되는 것도 다 [math(mathrm{d}^2 = 0)]으로 설명할 수 있다. 비슷하게, 2차원에서 나오는 그린 정리와 발산 정리도 [math(1)]-형식과 [math(2)]-형식에 대한 스토크스 정리의 일부로 이해할 수 있다.
미분형식에 대해 엄밀하게 배우지 않을 사람들도 이 큰 그림 하나 정도 챙겨두고 가는 건 충분한 가치가 있을 것이다. 특히 델을 많이 쓰는 물리학도라면.
다만, 주의할 점이 한 가지가 있다. 이 이해 방식에서는 [math(2)]-형식을 벡터장으로, [math(3)]-형식을 함수로 해석하는데, 이들을 자연스럽게 같게 보는 것은 유클리드 공간 한정이다. 더 정확히는 접평면에 내적이 있을 때, 즉 리만 다양체 한정으로 호지 쌍대(Hodge dual)라는 연산 [math(star : Omega^k rightarrow Omega^{n-k})]을 통해 가능하다.