문서:플랑크 질량

분류

물리 상수

1. 개요2. 유도3. 상세

1. 개요

Planck mass
플랑크 단위의 일종. 광속 [math(c)], 디랙 상수 [math(hbar)], 중력 상수 [math(G)]를 이용하여 차원 분석을 통해, 질량 단위가 곧 차원 단위가 되도록[1]인 물리 상수이다.] 인위적으로 조합된 질량이다. [math(m_{rm P})]로 나타내며[2]와의 혼동에 주의. 이쪽은 아래첨자가 소문자([math(rm p)])다.] 관계식 및 구체적인 값은 다음과 같다.

[math(begin{aligned} m_{rm P} = sqrt{dfrac{hbar c}G} &= 2.176,434(24)times10^{-8}rm,kg \ &= 1.220,890(14)times10^{19}{rm,GeV}/c^2end{aligned})]

2. 유도

[math(c)], [math(hbar)], [math(G)]의 단위 및 차원은 다음과 같다.

물리 상수	단위 SI 기본 단위 표기	차원
[math(c)]	[math(rm m!cdot!s^{-1})]	[math(sf LT^{-1})]
[math(hbar)]	[math(begin{matrix}rm J!cdot!s!cdot!rad^{-1} \ begin{aligned}&= rm(kg!cdot!m^2s^{-2})!cdot!s!cdot!rad^{-1} \&=rm kg!cdot!m^2s^{-1}rad^{-1}end{aligned}end{matrix})]	[math(sf ML^2T^{-1})]
[math(G)]	[math(begin{matrix}rm N!cdot!m^2kg^{-2} \ begin{aligned}&= rm(kg!cdot!m!cdot!s^{-2})m^2kg^{-2} \&=rm kg^{-1}m^3s^{-2}end{aligned}end{matrix})]	[math(sf M^{-1}L^3T^{-2})]

위 상수들을 조합해서 계산해보면 [math(dfrac{hbar c}G)]의 차원이 [math(sf M^2)]이 됨을 쉽게 알 수 있다. 플랑크 질량 [math(m_{rm P})]는 이 식에 근호를 씌운 값 [math(sqrt{dfrac{hbar c}G})]로 정의된다.

3. 상세

밀리그램으로 환산하면 약 [math(0.02rm,mg)]이다. ~~"플랑크" 이름이 붙은 것치곤 굉장히 흔해 보인다~~[3]

천문학에서는 플랑크 길이 [math(l_{rm P})], 슈바르츠실트 반지름 [math(r_{rm S})]와 더불어 중요한 물리 상수로 간주되는데, 블랙홀의 질량 [math(m)]에 대해 [math(r_{rm S} = dfrac{2Gm}{c^2})]이므로 [math(m=m_{rm P})]일 경우,

[math(r_{rm S} = dfrac{2Gm_{rm P}}{c^2} = dfrac{2G}{c^2}sqrt{dfrac{hbar c}G} = 2sqrt{dfrac{hbar G}{c^3}} = 2l_{rm P})]

즉 플랑크 길이의 2배가 슈바르츠실트 반지름이 되기 때문이다. 나아가 콤프턴 파장 [math(lambda_{rm C})]는 [math(lambda_{rm C} = dfrac h{mc})]이므로 [math(m=m_{rm P})]인 블랙홀의 [math(lambda_{rm C})]는

[math(lambda_{rm C} = dfrac h{m_{rm P}c} = dfrac{2pihbar}{sqrt{dfrac{hbar c}G}c} = 2pisqrt{dfrac{hbar G}{c^3}} = 2pi l_{rm P})]

즉 플랑크 길이의 [math(2pi)]배가 된다. 여담으로 플랑크 상수 [math(h)]와 디랙 상수(환산 플랑크 상수) [math(hbar)]의 관계처럼 [math(;bar{}!!!:lambda_{rm C} = dfrac{lambda_{rm C}}{2pi} = dfrac1{2pi}dfrac h{mc} = dfrac{hbar}{mc})]를 환산 콤프턴 파장(reduced Compton wavelength)이라고 하며, 위 결과를 바꿔 말하자면 질량이 플랑크 질량인 블랙홀에서는 환산 콤프턴 파장 = 플랑크 길이라는 결론이 나온다.

[1] 즉 플랑크 질량은 그 자체로 차원이 [math(sf M)[2] 양성자의 정지 질량을 나타내는 [math(m_{rm p})[3] 실제로 비타민D의 일일 권장량이 0.5 플랑크 질량 정도이다.