1. 개요
2. 정의
푸아송 괄호는 위치([math(q_i)])와 운동량([math(p_i)])으로 정해지는 정규 좌표계 [math((q_i, p_i))] 와 시간([math(t)])위에서의 함수 [math(f(q_i, p_i, t))]와 [math(g(q_i, p_i, t))]에 대하여 다음과 같이 정의된다.
[math(displaystyle left { f, g right } =sum_{i} left ( frac{partial f}{partial q_i}frac{partial g}{partial p_i}-frac{partial f}{partial p_i}frac{partial g}{partial q_i}right ))]
이를 이용하면 다음의 관계식이 성립한다.
[math(displaystyle left { p_i, p_jright }=0,, left { q_i, q_jright }=0)]
[math(displaystyle left { q_i, p_jright }=delta_{ij})]
여기서 [math( delta_{ij})]는 크로네커 델타로, [math(i=j)]일 때 1, [math(i neq j)]일 때 0으로 정의된다.
가끔 [math(left { right} )] 로 표현되는 반교환자가 같이 등장하는 경우 혼동을 피하기 위해 [math( left { right}_{text{PB}} )] 로 쓰기도 한다. (또는 반교환자를 [math(left[ right]_- )] 로 표현할 수도 있다.)
[math(displaystyle left { f, g right } =sum_{i} left ( frac{partial f}{partial q_i}frac{partial g}{partial p_i}-frac{partial f}{partial p_i}frac{partial g}{partial q_i}right ))]
이를 이용하면 다음의 관계식이 성립한다.
[math(displaystyle left { p_i, p_jright }=0,, left { q_i, q_jright }=0)]
[math(displaystyle left { q_i, p_jright }=delta_{ij})]
여기서 [math( delta_{ij})]는 크로네커 델타로, [math(i=j)]일 때 1, [math(i neq j)]일 때 0으로 정의된다.
가끔 [math(left { right} )] 로 표현되는 반교환자가 같이 등장하는 경우 혼동을 피하기 위해 [math( left { right}_{text{PB}} )] 로 쓰기도 한다. (또는 반교환자를 [math(left[ right]_- )] 로 표현할 수도 있다.)
3. 성질
어떤 함수 [math(f(q_i, p_i, t))], [math(g(q_i, p_i, t))], [math(h(q_i, p_i, t))]에 대해 다음이 성립한다.
[math( {f,g} = -{g,f})] - 반교환 법칙
[math( {f+g, h} = {f,h} + {g,h})] - 덧셈에 대한 분배 법칙
[math( {fg, h} = {f,h}g+ {g,h}f)] - 곱셈 법칙
[math( {f,{g,h}}+{g,{h,f}}+{h,{f,g}}=0)] - 자코비 법칙
[math( {f,g} = -{g,f})] - 반교환 법칙
[math( {f+g, h} = {f,h} + {g,h})] - 덧셈에 대한 분배 법칙
[math( {fg, h} = {f,h}g+ {g,h}f)] - 곱셈 법칙
[math( {f,{g,h}}+{g,{h,f}}+{h,{f,g}}=0)] - 자코비 법칙
4. 교환자와의 관계
교환자 문서를 읽어본다면 위의 정의와 성질이 매우 유사한 것을 알 수 있다. 실제로 고전 역학에서 출발하여 양자 역학을 전개하는 다양한 방법 중 푸아송 괄호를 교환자로 치환하는 방법도 있다. 다시 말해, 해밀턴 역학에서
[math( displaystyle {q_i,p_j} = delta _{ij})]
이므로,
[math( displaystyle [hat{q}_i,hat{p}_j] =? delta_{ij})]
으로 고려하는 것이다.([math(hat{q}_i)] 는 [math(i)] 방향의 위치를 [math(hat{p}_j)] 는 [math(j)] 방향의 운동량을 나타내는 연산자이다. 그러나 식을 이대로 쓰면 푸아송 괄호와 교환자간의 차이 때문에 근본적인 문제가 생긴다.
첫 번째는 본래의 결과와 그 결과의 켤레 복소수 전치 행렬(에르미트 켤레) 사이의 관계이다. 푸아송 괄호의 계산 결과는 [math(1 times 1)] 행렬로 생각할 수 있으므로 에르미트 켤레는 곧 켤레 복소수와 같다. 또한 고전 역학에서의 함수 [math(p)]와 [math(q)]는 실함수이므로 켤레 복소수는 본래 함수와 같다. 다시 말해서 푸아송 괄호의 결과는 실수이고, 이는 위의 식에서도 확인할 수 있다. 그러나 양자 역학에서 관측 가능한 연산자는 모두 에르미트 행렬[1]로 표현할 수 있는데, 에르미트 행렬의 교환자는 다음에서 볼 수 있듯이 반 에르미트 행렬[2]이다.
[math( displaystyle [A, B]^dagger = (AB-BA)^dagger = (AB)^dagger - (BA)^dagger = B^dagger A^dagger - A^dagger B^dagger = BA-AB = -[A,B])]
따라서 푸아송 괄호를 이용한 연산에서 교환자를 이용한 연산으로 옮겨가기 위해서는, 교환자 연산의 결과에 허수 [math(i)]를 곱해줘야만 한다.
두 번째는 차원이다. 푸아송 괄호에서는 두 함수의 [math(p)]와 [math(q)]에 관한 미분이 포함되어 있으므로 두 함수의 곱의 단위에서 J[math( cdot )]s 만큼을 나누어 준 단위가 푸아송 괄호의 결과의 단위가 된다. 즉 [math( {q_i,p_j})] 의 단위는 없고(1이고), 이는 위에서도 확인된다. 그러나 교환자에는 그러한 차원변환 과정이 없어 단지 두 연산자의 곱에 의하여 단위가 결정된다. 따라서 푸아송 괄호의 결과를 교환자의 결과로 바꾸기 위해서는, 교환자에서의 결과에 J[math( cdot )]s 의 단위를 가지는 상수를 곱해주어야 한다. 이 상수가 바로 [math(hbar)], 즉 플랑크 상수이다.[3]
이렇게 우리는 양자 역학의 표준 교환 관계(canonical commutation relation)를 끌어내었다! 더욱 중요한 것은 이 관계는 위치와 운동량에 관해서만 성립하는 것이 아닌, 위치와 운동량으로 표현되는 모든 물리량에서 성립한다는 것이다. 즉 물리량 [math( a)], [math(b)] 와 이들에 각각 대응하는 연산자 [math(hat{a})] , [math(hat{b})] 에 대하여 다음이 성립한다.
[math( displaystyle {a, b} = frac{1}{ihbar} [hat{a}, hat{b}] )]
[math( displaystyle {q_i,p_j} = delta _{ij})]
이므로,
[math( displaystyle [hat{q}_i,hat{p}_j] =? delta_{ij})]
으로 고려하는 것이다.([math(hat{q}_i)] 는 [math(i)] 방향의 위치를 [math(hat{p}_j)] 는 [math(j)] 방향의 운동량을 나타내는 연산자이다. 그러나 식을 이대로 쓰면 푸아송 괄호와 교환자간의 차이 때문에 근본적인 문제가 생긴다.
첫 번째는 본래의 결과와 그 결과의 켤레 복소수 전치 행렬(에르미트 켤레) 사이의 관계이다. 푸아송 괄호의 계산 결과는 [math(1 times 1)] 행렬로 생각할 수 있으므로 에르미트 켤레는 곧 켤레 복소수와 같다. 또한 고전 역학에서의 함수 [math(p)]와 [math(q)]는 실함수이므로 켤레 복소수는 본래 함수와 같다. 다시 말해서 푸아송 괄호의 결과는 실수이고, 이는 위의 식에서도 확인할 수 있다. 그러나 양자 역학에서 관측 가능한 연산자는 모두 에르미트 행렬[1]로 표현할 수 있는데, 에르미트 행렬의 교환자는 다음에서 볼 수 있듯이 반 에르미트 행렬[2]이다.
[math( displaystyle [A, B]^dagger = (AB-BA)^dagger = (AB)^dagger - (BA)^dagger = B^dagger A^dagger - A^dagger B^dagger = BA-AB = -[A,B])]
따라서 푸아송 괄호를 이용한 연산에서 교환자를 이용한 연산으로 옮겨가기 위해서는, 교환자 연산의 결과에 허수 [math(i)]를 곱해줘야만 한다.
두 번째는 차원이다. 푸아송 괄호에서는 두 함수의 [math(p)]와 [math(q)]에 관한 미분이 포함되어 있으므로 두 함수의 곱의 단위에서 J[math( cdot )]s 만큼을 나누어 준 단위가 푸아송 괄호의 결과의 단위가 된다. 즉 [math( {q_i,p_j})] 의 단위는 없고(1이고), 이는 위에서도 확인된다. 그러나 교환자에는 그러한 차원변환 과정이 없어 단지 두 연산자의 곱에 의하여 단위가 결정된다. 따라서 푸아송 괄호의 결과를 교환자의 결과로 바꾸기 위해서는, 교환자에서의 결과에 J[math( cdot )]s 의 단위를 가지는 상수를 곱해주어야 한다. 이 상수가 바로 [math(hbar)], 즉 플랑크 상수이다.[3]
이렇게 우리는 양자 역학의 표준 교환 관계(canonical commutation relation)를 끌어내었다! 더욱 중요한 것은 이 관계는 위치와 운동량에 관해서만 성립하는 것이 아닌, 위치와 운동량으로 표현되는 모든 물리량에서 성립한다는 것이다. 즉 물리량 [math( a)], [math(b)] 와 이들에 각각 대응하는 연산자 [math(hat{a})] , [math(hat{b})] 에 대하여 다음이 성립한다.
[math( displaystyle {a, b} = frac{1}{ihbar} [hat{a}, hat{b}] )]
5. 아름다움(...)
푸아송 괄호는 해밀턴 역학의 다양한 식들을 아름답게물론 물리학자 기준으로 아름답다는 거다 나타내기에 매우 적합하다. 몇 가지 예시를 보자.
- 운동방정식
해밀턴 역학의 운동방정식은 다음과 같다. [math(mathcal{H})]는 해밀토니언을 뜻한다.
[math( displaystyle dot{q}_i = {partial mathcal{H} over partial p_i} -dot{p}_i = {partial mathcal{H} over partial q_i} )]
뭔가 대칭적이긴 한데, 마이너스 부호가 자꾸 걸린다. 푸아송 괄호를 사용한다면 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle {dq_i over dt} = left{ q_i, mathcal{H} right} )]
[math(displaystyle {dp_i over dt} = left{ p_i, mathcal{H} right} )]
이로서 위치 함수와 운동량 함수가 완전히 대칭적 형태를 띔을 알 수 있다.
[math( displaystyle dot{q}_i = {partial mathcal{H} over partial p_i} -dot{p}_i = {partial mathcal{H} over partial q_i} )]
뭔가 대칭적이긴 한데, 마이너스 부호가 자꾸 걸린다. 푸아송 괄호를 사용한다면 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle {dq_i over dt} = left{ q_i, mathcal{H} right} )]
[math(displaystyle {dp_i over dt} = left{ p_i, mathcal{H} right} )]
이로서 위치 함수와 운동량 함수가 완전히 대칭적 형태를 띔을 알 수 있다.
- 보존량
위에서 더 나아가면, 일반적인 함수 [math(f)]에서 다음이 성립한다.
[math( displaystyle {df over dt} = left{ f, mathcal{H} right} + {partial f over partial t} )]
함수 [math(f)]가 시간에 무관한 양이라면 [math(dfrac{df}{dt} = 0)] 이고 [math(dfrac{partial f}{ partial t} = 0)] 이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math( displaystyle left{ f, mathcal{H} right} =0 )]
즉, 어떤 물리량을 해밀토니언과 푸아송 괄호를 취했을 때 그 값이 0이라면, 그 값은 보존된다. 이렇게 보존되는 대표적인 양으로는 운동량과 에너지(해밀토니언)가 있다.
고전역학 자체에 뭔가 새로운 물리를 더해주지는 않는다고 생각할 수 있지만, 위에서 언급하였듯이 푸아송 괄호는 고전 역학과 양자 역학 사이를 이어주는 견고한 다리 역할을 한다. 즉 쓸모가 있는 수준이 아니라 무지막지하게 중요하다! 이러한 점이 물리학자들이 푸아송 괄호를 진정 아름답다고 부르는 이유일 것이다.그리고 일반인들에게는 별로 안 아름다워 보이는 이유이기도 할 것이다.
[math( displaystyle {df over dt} = left{ f, mathcal{H} right} + {partial f over partial t} )]
함수 [math(f)]가 시간에 무관한 양이라면 [math(dfrac{df}{dt} = 0)] 이고 [math(dfrac{partial f}{ partial t} = 0)] 이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math( displaystyle left{ f, mathcal{H} right} =0 )]
즉, 어떤 물리량을 해밀토니언과 푸아송 괄호를 취했을 때 그 값이 0이라면, 그 값은 보존된다. 이렇게 보존되는 대표적인 양으로는 운동량과 에너지(해밀토니언)가 있다.
고전역학 자체에 뭔가 새로운 물리를 더해주지는 않는다고 생각할 수 있지만, 위에서 언급하였듯이 푸아송 괄호는 고전 역학과 양자 역학 사이를 이어주는 견고한 다리 역할을 한다. 즉 쓸모가 있는 수준이 아니라 무지막지하게 중요하다! 이러한 점이 물리학자들이 푸아송 괄호를 진정 아름답다고 부르는 이유일 것이다.