1. 개요
2. 수학적 분석
2.1. 평면의 결정 조건
아래의 4가지 조건에 의해 평면은 유일하게 결정된다.
- 서로 다른 세 점이 주어질 때
- 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점이 주어질 때
- 두 평행한 직선이 주어질 때
2.2. 평면의 위치 관계
2.2.1. 평면과 직선
- (a): 포함한다.
- (b): 한 점에서 만난다.
- (c): 평행하다. 이것을 기호로 [math(pi parallel l)]로 나타낸다.
위에서 (a), (b)는 평면과 직선이 직접적으로 만나지만, (c)는 만나지 않는다는 것에 유의하라.
2.2.1.1. 직선과 평면의 직교
공간 상 한 평면 [math(pi)]와 해당 평면에 대해 한 점에서 만나는 직선 [math(l)]을 고려하자. 이때, 다음을 만족하면 평면 [math(pi)]과 직선 [math(l)]은 직교한다고 하고, 기호로 [math(l perp pi)]로 나타낸다.
- 직선 [math(l)]과 평면 [math(pi)] 위의 모든 직선이 직교할 때
다음 그림을 참조하라:
파일:namu_평면직선직교.png
이때, 한 직선과 한 평면이 직교하는 것은 해당 직선과 그 평면 위의 평행하지 않은 두 직선이 직교한다는 것을 보이면 된다. 이것의 증명은 아래와 같다.
파일:namu_평면직선직교증명_new.png
평면 [math(pi)]와 해당 평면에 한 점에서 만나는 직선 [math(l)]을 고려하고, 직선 [math(l)]과 직교하는 두 직선 [math(m)], [math(n)]을 고려해보도록 하자. 이때, 두 직선은 평행이동을 통해여 직선 [math(l)]과의 교점 [math(mathrm{O})]에서 만나게 할 수 있다. 그러한 직선을 [math(m')], [math(n')]이라 놓고, 직선 [math(l)]에 [math(overline{mathrm{OP}}=overline{mathrm{OP'}})]를 만족하게 하는 두 점 [math(mathrm{P})], [math(mathrm{P'})]를 잡자. 또, 두 직선 [math(m)], [math(n)]이 아닌 평면 [math(pi)] 위의 임의의 직선 [math(L)]을 생각하고, 이 직선 또한 [math(mathrm{O})]를 지나도록 평행이동한 직선을 [math(L')]이라 하자. 위 그림과 같이 [math(m')], [math(L')], [math(n')]을 통과하는 직선을 놓고, 해당 직선과 세 직선과의 교점을 각각 [math(mathrm{A})], [math(mathrm{Q})], [math(mathrm{B})]라 하자. 이때, 다음이 성립한다.
[math( displaystyle overline{mathrm{AP}}=overline{mathrm{AP'}} qquad qquad overline{mathrm{BP}}=overline{mathrm{BP'}} )]
이에 따라 삼각형 [math(mathrm{APB})], [math(mathrm{AP'B})]에서 [math(overline{mathrm{AB}})]는 공통임에 따라
[math( displaystyle triangle mathrm{APB} equiv triangle mathrm{AP'B})]
이 성립한다. 이로부터 [math(overline{mathrm{PQ}}=overline{mathrm{QP'}})]이 성립하므로 삼각형 [math(mathrm{PQP'})]는 이등변삼각형이 되고, [math(overline{mathrm{OP}}=overline{mathrm{OP'}})]임을 고려하면,
[math( displaystyle l perp L' )]
을 얻는다. 이에 따라 평면 [math(pi)] 위의 임의의 직선 [math(l)]이 수직하므로
[math( displaystyle l perp pi )]
임을 얻을 수 있다.
2.2.2. 평면과 평면
- (a): 만난다. (이때, 평면과 평면이 만나는 지점에서 직선이 형성되는데 이를 교선(Intersection line)이라 한다.)
- (b): 평행하다. 이것을 기호로 [math(pi parallel rho)]로 나타낸다.
- (c): 일치한다. 이것을 기호로 [math(pi = rho )]로 나타낸다.
2.3. 삼수선의 정리
평면 [math(pi)] 위에 있지 않은 한 점 [math(mathrm{P})]와 평면 [math(pi)] 위의 직선 [math(l)] 위의 한 점 [math(mathrm{H})], 직선 [math(l)] 위에 있지 않은 점 [math(mathrm{O})]에 대하여 다음이 성립하는데, 이를 삼수선의 정리(Theorem of three perpendiculars)라 한다.
- (a) [math(overline{mathrm{PO}} perp pi)], [math(overline{mathrm{OH}} perp l)]이면, [math(overline{mathrm{PH}} perp l)]이다.
- (b) [math(overline{mathrm{PO}} perp pi)], [math(overline{mathrm{PH}} perp l)]이면, [math(overline{mathrm{OH}} perp l)]이다.
- (c) [math(overline{mathrm{PH}} perp l)], [math(overline{mathrm{OH}} perp l)]이면, [math(overline{mathrm{PO}} perp overline{mathrm{OH}})]이면, [math(overline{mathrm{PO}} perp pi)]이다.
이를 그림으로 나타내면, 아래와 같다.
파일:namu_삼수선의정리_수정.png
여담으로, 평면 기하학에 피타고라스 정리가 있다면, 공간 기하학에는 삼수선의 정리가 있다는 말이 있을 정도로 공간 기하학에서 자주 써먹는 정리이다. 즉, 공간 기하학을 학습하면서 이 부분을 제대로 학습하지 않고, 넘어가봤자 연습문제의 난도가 조금만 어려워져도 손도 못대는 자신을 발견할 수 있다는 뜻이다.
2.3.1. 증명
(a)
위에서
[math( displaystyle overline{mathrm{PO}} perp pi Rightarrow overline{mathrm{PO}} perp l )]
또한, [math(overline{mathrm{OH}} perp l )]이므로 평면 [math(mathrm{PHO})]는 [math(l)]과 직교함을 알 수 있다. 이에 [math(mathrm{PHO})] 위의 모든 직선은 [math(l)]과 직교하므로
[math( displaystyle overline{mathrm{PH}} perp l )]
(b)
위에서
[math( displaystyle overline{mathrm{PO}} perp pi Rightarrow overline{mathrm{PO}} perp l )]
또한, [math(overline{mathrm{PH}} perp l )]이므로 평면 [math(mathrm{PHO})]는 [math(l)]과 직교함을 알 수 있다. 이에 [math(mathrm{PHO})] 위의 모든 직선은 [math(l)]과 직교하므로
[math( displaystyle overline{mathrm{OH}} perp l )]
(c)
위에서
[math( displaystyle overline{mathrm{PH}} perp l , , overline{mathrm{OH}} perp l Leftrightarrow l perp text{plane} , mathrm{PHO} )]
이에 따라 [math(overline{mathrm{PO}} perp l)], [math(overline{mathrm{PO}} perp overline{mathrm{OH}})]가 성립하므로 [math(overline{mathrm{PO}} )]는 평면 [math(pi)]위의 임의의 두 직선과 직교함에 따라
[math( displaystyle overline{mathrm{PO}} perp pi )]
위에서
[math( displaystyle overline{mathrm{PO}} perp pi Rightarrow overline{mathrm{PO}} perp l )]
또한, [math(overline{mathrm{OH}} perp l )]이므로 평면 [math(mathrm{PHO})]는 [math(l)]과 직교함을 알 수 있다. 이에 [math(mathrm{PHO})] 위의 모든 직선은 [math(l)]과 직교하므로
[math( displaystyle overline{mathrm{PH}} perp l )]
(b)
위에서
[math( displaystyle overline{mathrm{PO}} perp pi Rightarrow overline{mathrm{PO}} perp l )]
또한, [math(overline{mathrm{PH}} perp l )]이므로 평면 [math(mathrm{PHO})]는 [math(l)]과 직교함을 알 수 있다. 이에 [math(mathrm{PHO})] 위의 모든 직선은 [math(l)]과 직교하므로
[math( displaystyle overline{mathrm{OH}} perp l )]
(c)
위에서
[math( displaystyle overline{mathrm{PH}} perp l , , overline{mathrm{OH}} perp l Leftrightarrow l perp text{plane} , mathrm{PHO} )]
이에 따라 [math(overline{mathrm{PO}} perp l)], [math(overline{mathrm{PO}} perp overline{mathrm{OH}})]가 성립하므로 [math(overline{mathrm{PO}} )]는 평면 [math(pi)]위의 임의의 두 직선과 직교함에 따라
[math( displaystyle overline{mathrm{PO}} perp pi )]
2.4. 이면각
파일:namu_이면각.png
이제부터는 두 평면이 이루는 각에 대해 알아볼 것이다. 위 그림과 같이 한 교선을 가지는 반평면 [math(pi)], [math(rho)]를 고려하자. 이때, 각각의 평면 위에 있는 점 [math(mathrm{P})], [math(mathrm{Q})]로 부터 내린 교선 위의 수선의 발을 [math(mathrm{H})]라 하자. 이때, 두 평면이 이루는 각은 해당 수선이 이루는 각 중 작은 각 [math(angle mathrm{PHQ} = theta)]로 정의한다.
또한, 두 평면이 이루는 각을 이면각(Dihedral angle)이라 한다.
2.5. 평면의 방정식
이제부터 공간좌표 상 평면을 기술하는 방정식을 찾기 위하여 우리는 어떤 평면에 수직한 벡터 [math(mathbf{n})]을 고려해보도록 한다. 이것의 해당 평면의 법선 벡터(Normal vector)라 하는 것도 참고하자. 이때,
[math( displaystyle mathbf{n}=(a,,b,,c) )]
라 놓자. 여기서 [math(a sim c)]는 상수이다. 또한 평면이 점 [math((x_{0},,y_{0},,z_{0}))]를 지난다고 했을 때, 평면 위의 임의의 점 [math((x,,y,,z))]을 종점, [math((x_{0},,y_{0},,z_{0}))]를 시점으로 하는 벡터
[math( displaystyle mathbf{p}=(x-x_{0},,y-y_{0},,z-z_{0}) )]
라 놓을 수 있다. 이때, [math(mathbf{n})]이 평면에 수직하기 때문에 평면 위에 있는 임의의 벡터 또한 이에 수직하다. 따라서 이들의 내적의 값은 0이 됨에 따라
[math( displaystyle begin{aligned} mathbf{n} boldsymbol{cdot} mathbf{p} &= (a,,b,,c) boldsymbol{cdot}(x-x_{0},,y-y_{0},,z-z_{0}) \ &=a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0}) \&=0 end{aligned} )]
즉, 법선 벡터가 [math((a,,b,,c))]이고, 점 [math((x_{0},,y_{0},,z_{0}))]를 지나는 평면의 방정식은
[math( displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0}) =0 )]
이다. 일반적인 형태로는
[math( displaystyle Ax+By+Cz+D=0 )]
의 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 [math(A sim D)]는 상수이다.
또한 양함수 형태로 쓰면,
[math( displaystyle z=f(x,,y)=alpha x+beta y+gamma )]
꼴로 쓸 수 있다. 여기서 [math(alpha sim gamma)]는 상수이다. 즉, 좌표공간 상 평면을 기술하는 것은 [math(z)]가 [math(x)], [math(y)]에 대한 일차식으로 이루어져있을 때임을 알 수 있다.
여기서 법선 벡터를 이용하여 평면의 위치 관계에 대해 더 논의할 수 있는데, 좌표공간 상 두 평면이 있고, 해당 평면의 법선 벡터를 각각 [math(mathbf{n}_{1})], [math(mathbf{n}_{2})]이라 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
[math( displaystyle mathbf{n}=(a,,b,,c) )]
라 놓자. 여기서 [math(a sim c)]는 상수이다. 또한 평면이 점 [math((x_{0},,y_{0},,z_{0}))]를 지난다고 했을 때, 평면 위의 임의의 점 [math((x,,y,,z))]을 종점, [math((x_{0},,y_{0},,z_{0}))]를 시점으로 하는 벡터
[math( displaystyle mathbf{p}=(x-x_{0},,y-y_{0},,z-z_{0}) )]
라 놓을 수 있다. 이때, [math(mathbf{n})]이 평면에 수직하기 때문에 평면 위에 있는 임의의 벡터 또한 이에 수직하다. 따라서 이들의 내적의 값은 0이 됨에 따라
[math( displaystyle begin{aligned} mathbf{n} boldsymbol{cdot} mathbf{p} &= (a,,b,,c) boldsymbol{cdot}(x-x_{0},,y-y_{0},,z-z_{0}) \ &=a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0}) \&=0 end{aligned} )]
즉, 법선 벡터가 [math((a,,b,,c))]이고, 점 [math((x_{0},,y_{0},,z_{0}))]를 지나는 평면의 방정식은
[math( displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0}) =0 )]
이다. 일반적인 형태로는
[math( displaystyle Ax+By+Cz+D=0 )]
의 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 [math(A sim D)]는 상수이다.
또한 양함수 형태로 쓰면,
[math( displaystyle z=f(x,,y)=alpha x+beta y+gamma )]
꼴로 쓸 수 있다. 여기서 [math(alpha sim gamma)]는 상수이다. 즉, 좌표공간 상 평면을 기술하는 것은 [math(z)]가 [math(x)], [math(y)]에 대한 일차식으로 이루어져있을 때임을 알 수 있다.
여기서 법선 벡터를 이용하여 평면의 위치 관계에 대해 더 논의할 수 있는데, 좌표공간 상 두 평면이 있고, 해당 평면의 법선 벡터를 각각 [math(mathbf{n}_{1})], [math(mathbf{n}_{2})]이라 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
- 평행하거나 일치: [math(mathbf{n}_{1}=k mathbf{n}_{2})] (단, [math(k)]는 상수.)
- 직교: [math(mathbf{n}_{1} boldsymbol{cdot} mathbf{n}_{2}=0)]
2.5.1. 세 점을 지나는 평면의 방정식
서로 다른 세 점 [math(mathrm{P})], [math(mathrm{Q})], [math(mathrm{R})]을 고려하자. 평면은 서로 다른 세 점이 주어지면 유일하게 결정되므로 이 세 점으로 평면의 방정식을 결정할 수 있다.
가장 쉬운 방법은 외적을 이용하여 법선 벡터를 직접 구하는 것이다. 평면 위의 모든 벡터는 법선 벡터와 수직하고, 해당 세 점이 구하는 평면 위의 점이기 때문에 [math(overrightarrow{mathrm{PQ}})], [math(overrightarrow{mathrm{PR}})]을 구하고, 이 두 벡터를 외적하면 구하는 평면의 법선 벡터가 나온다. 그리고 세 점 중 하나를 이용하면 바로 구해진다.
그러나 문제는 고등학생은 이 쉬운 방법을 쓰지 못한다는 것이다. 그 이유는 고급수학을 배우지 않는 한 외적을 배우지 않기 때문이다. 그렇기 때문에 고등학교 수준에서는 구하는 평면의 방정식을 [math(Ax+By+Cz+D=0)] 꼴로 놓고, 세 점을 대입하여 세 변수를 한 변수로 표현한 뒤 해당 변수와 공통 인수를 약분하는 방법을 사용하게 된다.
가장 쉬운 방법은 외적을 이용하여 법선 벡터를 직접 구하는 것이다. 평면 위의 모든 벡터는 법선 벡터와 수직하고, 해당 세 점이 구하는 평면 위의 점이기 때문에 [math(overrightarrow{mathrm{PQ}})], [math(overrightarrow{mathrm{PR}})]을 구하고, 이 두 벡터를 외적하면 구하는 평면의 법선 벡터가 나온다. 그리고 세 점 중 하나를 이용하면 바로 구해진다.
그러나 문제는 고등학생은 이 쉬운 방법을 쓰지 못한다는 것이다. 그 이유는 고급수학을 배우지 않는 한 외적을 배우지 않기 때문이다. 그렇기 때문에 고등학교 수준에서는 구하는 평면의 방정식을 [math(Ax+By+Cz+D=0)] 꼴로 놓고, 세 점을 대입하여 세 변수를 한 변수로 표현한 뒤 해당 변수와 공통 인수를 약분하는 방법을 사용하게 된다.
2.5.2. 교선의 방정식
교선은 곧 두 평면 상에 동시에 놓인다. 따라서 해당 직선의 방향 벡터는 각각의 법선 벡터와 수직하다. 어떤 두 평면의 법선 벡터를 각각 [math(mathbf{n}_{1})], [math(mathbf{n}_{2})]라 하자. 교선의 방향 벡터는 이들과 각각 수직해야 하므로 외적을 이용하여 교선의 방향 벡터를
[math( displaystyle mathbf{n}_{1} times mathbf{n}_{2} )]
로 놓을 수 있다. 또한 두 평면의 방정식을 연립함으로써 교점의 좌표를 구할 수 있다.[3] 따라서 구한 교점의 좌표와 외적을 통해 구한 법선 벡터를 이용함으로써 교선의 방정식을 구할 수 있다.
[math( displaystyle mathbf{n}_{1} times mathbf{n}_{2} )]
로 놓을 수 있다. 또한 두 평면의 방정식을 연립함으로써 교점의 좌표를 구할 수 있다.[3] 따라서 구한 교점의 좌표와 외적을 통해 구한 법선 벡터를 이용함으로써 교선의 방정식을 구할 수 있다.
2.5.3. 교선을 지나는 평면의 방정식
좌표평면 위의 두 평면 [math(ax+by+cz+d=0)], [math(a'x+b'y+c'z+d'=0)]를 고려하자. 이 두 평면이 일치하거나 평행하지 않은 이상, 두 평면은 교차하여 교선을 형성한다. 이 교선 위의 점을 [math((alpha, , beta, , gamma))]라 둔다면, 이 점에서
[math( displaystyle begin{aligned} aalpha+bbeta+cgamma+d&=0 \ a'alpha+b'beta+c'gamma+d'&=0 end{aligned} )]
가 성립한다. 이때, 다음의 방정식
[math( displaystyle ax+by+cz+d+k(a'x+b'y+c'z+d')=0 )]
을 고려하자. 여기서 [math(k)]는 상수이다. 이 방정식이 공간좌표 상 평면을 나타내는 것은 수학적으로 자명하며, 이 평면에 교선 위의 점을 대입하면,
[math( displaystyle aalpha+bbeta+cgamma+d+k(a'alpha+b'beta+c'gamma+d')=0 )]
이것은 [math(k)]값에 관계 없이 성립하는 항등식이므로 해당 평면은 두 평면의 교선을 지난다는 것을 알 수 있다. 다만 위 형식에서는 [math(a'x+b'y+c'z+d'=0)]가 제외되는 문제가 발생하기 때문에
[math( displaystyle m(ax+by+cz+d)+n(a'x+b'y+c'z+d')=0 )]
의 형식으로 쓰기도 한다. [math(m)], [math(n)]은 상수이다.
[math( displaystyle begin{aligned} aalpha+bbeta+cgamma+d&=0 \ a'alpha+b'beta+c'gamma+d'&=0 end{aligned} )]
가 성립한다. 이때, 다음의 방정식
[math( displaystyle ax+by+cz+d+k(a'x+b'y+c'z+d')=0 )]
을 고려하자. 여기서 [math(k)]는 상수이다. 이 방정식이 공간좌표 상 평면을 나타내는 것은 수학적으로 자명하며, 이 평면에 교선 위의 점을 대입하면,
[math( displaystyle aalpha+bbeta+cgamma+d+k(a'alpha+b'beta+c'gamma+d')=0 )]
이것은 [math(k)]값에 관계 없이 성립하는 항등식이므로 해당 평면은 두 평면의 교선을 지난다는 것을 알 수 있다. 다만 위 형식에서는 [math(a'x+b'y+c'z+d'=0)]가 제외되는 문제가 발생하기 때문에
[math( displaystyle m(ax+by+cz+d)+n(a'x+b'y+c'z+d')=0 )]
의 형식으로 쓰기도 한다. [math(m)], [math(n)]은 상수이다.
2.6. 점과 평면 사이의 거리
공간좌표 상 한 평면 [math( ax+by+cz+d=0)]과 평면 외부의 점 [math(mathrm{P}(x_{0},,y_{0},,z_{0}))]을 고려하자. 또한 이 평면이 [math(mathrm{Q}(x_{1},,y_{1},,z_{1}))]을 지난다고 생각해보자.
우선 주어진 평면의 법선 벡터는 [math(mathbf{n}=(a,,b,,c))]가 될 것이다. 이때, 외부의 한 점을 시점, 평면 위의 한 점을 종점으로 하는 벡터 [math(mathbf{p} equiv overrightarrow{mathrm{PQ}})]
[math( displaystyle mathbf{p}=(x_{0}-x_{1},,y_{0}-y_{1},,z_{0}-z_{1}) )]
를 고려하자.
그렇다면, 우리가 구하는 점과 평면 사이의 거리는 한 점에서 평면에 수선의 발을 내렸을 때, 그 점에서 수선의 발까지의 거리가 됨에 따라 벡터 [math(mathbf{p})]의 법선 벡터 [math(mathbf{n})] 위로의 스칼라 사영[4]이 될 것이다. 우리가 구하는 점과 평면 사이의 거리를 [math(s)]라 놓으면,
[math( displaystyle begin{aligned} s&=text{comp}_{mathbf{n}} , mathbf{p} \
&=frac{|mathbf{n} boldsymbol{cdot} mathbf{p}|}{|mathbf{n}|} \&=frac{|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})+c(z_{0}-z_{1})|}{sqrt{a^2+b^2+c^2}} \
&=frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{sqrt{a^2+b^2+c^2}} end{aligned} )]
의 결과를 얻는다.
우선 주어진 평면의 법선 벡터는 [math(mathbf{n}=(a,,b,,c))]가 될 것이다. 이때, 외부의 한 점을 시점, 평면 위의 한 점을 종점으로 하는 벡터 [math(mathbf{p} equiv overrightarrow{mathrm{PQ}})]
[math( displaystyle mathbf{p}=(x_{0}-x_{1},,y_{0}-y_{1},,z_{0}-z_{1}) )]
를 고려하자.
그렇다면, 우리가 구하는 점과 평면 사이의 거리는 한 점에서 평면에 수선의 발을 내렸을 때, 그 점에서 수선의 발까지의 거리가 됨에 따라 벡터 [math(mathbf{p})]의 법선 벡터 [math(mathbf{n})] 위로의 스칼라 사영[4]이 될 것이다. 우리가 구하는 점과 평면 사이의 거리를 [math(s)]라 놓으면,
[math( displaystyle begin{aligned} s&=text{comp}_{mathbf{n}} , mathbf{p} \
&=frac{|mathbf{n} boldsymbol{cdot} mathbf{p}|}{|mathbf{n}|} \&=frac{|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})+c(z_{0}-z_{1})|}{sqrt{a^2+b^2+c^2}} \
&=frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{sqrt{a^2+b^2+c^2}} end{aligned} )]
의 결과를 얻는다.
2.7. 평면이 이루는 각
2.7.1. 평면과 직선이 이루는 각
파일:namu_평면직선각_벡터_New_수정.png
위 그림과 같이 한 평면 [math(pi)]와 이 평면에 한 점에서 만나는 직선 [math(l)]을 고려해보자. 이 직선이 평면과 이루는 각을 [math(theta)]라 하자. 이때, [math(theta)]는 예각으로 잡는다. 그렇다면, 평면 [math(pi)]의 법선 벡터 [math(mathbf{n})]와 직선 [math(l)]의 방향 벡터 [math(mathbf{u})]가 이루는 각은 두 종류[5] 가 가능하다: [math(pi/2-theta)], [math(pi/2+theta)] 이때,
[math( displaystyle left| cos{left( frac{pi}{2}-theta right)} right|=left| cos{left( frac{pi}{2}+theta right)} right|=sin{theta} )]
이므로 다음을 얻는다.
[math( displaystyle sin{theta}=frac{|mathbf{n} boldsymbol{cdot} mathbf{u}|}{|mathbf{n}| |mathbf{u}|} )]
2.7.2. 이면각
파일:namu_이면각_벡터.png
위 그림과 같이 두 평면 [math(pi)], [math(rho)]를 고려하자. 이때, 위 그림과 같이 교선에 내린 수선이 이루는 각을 [math(theta)]라 하자. 이때, 이 각은 곧 두 법선 벡터가 이루는 각의 크기와 같으므로 두 평면의 이면각을 [math(theta_{0},(0 leq theta_{0} leq pi/2))]라 하면,
[math( displaystyle begin{aligned} cos{theta_{0}}&=|cos{theta}| \ &=frac{|mathbf{n}_{1} boldsymbol{cdot} mathbf{n}_{2}|}{|mathbf{n}_{1}| |mathbf{n}_{2}|} end{aligned})]
임을 알 수 있다.
2.8. 삼원일차연립방정식과 평면
다음과 같은 삼원연립일차방정식을 생각해보자.
[math( displaystyle left{begin{matrix}
ax+by+cz+d&=0 \ a'x+b'y+c'z+d'&=0 \ ax+by+cz+d&=0
end{matrix}right. )]
우리가 이 방정식을 푼다는 것은 곧 세 방정식을 동시에 만족시키는 [math(x sim z)]를 구하는 것과 같다. 그런데 각각의 방정식은 좌표공간 상 평면을 나타내는데 좀 더 생각해보면 위 세 등식이 동시에 만족하는 점은 세 평면의 교점 뿐이다. 즉, 우리가 삼원연립일차방정식을 푼다는 것은 세 평면의 교점의 좌표를 구하는 것과 같은 과정인 것이다.
더 나아가 평면의 위치 관계를 알 수 있다면 해의 개수도 정해진다. 우리가 직선 문서에서 다뤘듯, 이원일차연립방정식도 해를 갖는 경우와 불능, 부정 3개의 특성을 갖는다고 했다. 이 경우도 마찬가지다. 평면의 위치 관계에 따라 교점이 없을 수도 있고, 교점이 아닌 직선일 수도 있다. 또 세 평면이 모두 평행하여 교점이 아예 없는 경우도 있을 것이다. 즉, 삼원연립일차방정식 또한 세 평면의 위치 관계에 따라 해의 특성이 정해진다는 것을 알 수 있다.
[math( displaystyle left{begin{matrix}
ax+by+cz+d&=0 \ a'x+b'y+c'z+d'&=0 \ ax+by+cz+d&=0
end{matrix}right. )]
우리가 이 방정식을 푼다는 것은 곧 세 방정식을 동시에 만족시키는 [math(x sim z)]를 구하는 것과 같다. 그런데 각각의 방정식은 좌표공간 상 평면을 나타내는데 좀 더 생각해보면 위 세 등식이 동시에 만족하는 점은 세 평면의 교점 뿐이다. 즉, 우리가 삼원연립일차방정식을 푼다는 것은 세 평면의 교점의 좌표를 구하는 것과 같은 과정인 것이다.
더 나아가 평면의 위치 관계를 알 수 있다면 해의 개수도 정해진다. 우리가 직선 문서에서 다뤘듯, 이원일차연립방정식도 해를 갖는 경우와 불능, 부정 3개의 특성을 갖는다고 했다. 이 경우도 마찬가지다. 평면의 위치 관계에 따라 교점이 없을 수도 있고, 교점이 아닌 직선일 수도 있다. 또 세 평면이 모두 평행하여 교점이 아예 없는 경우도 있을 것이다. 즉, 삼원연립일차방정식 또한 세 평면의 위치 관계에 따라 해의 특성이 정해진다는 것을 알 수 있다.
2.9. 접평면의 방정식
접평면이란, 3차원 이상의 도형에 접하는 평면이다. 즉, 2차원에서는 곡선에 접하는 직선 즉, 접선의 개념을 다뤘듯, 비슷하게 접하는 평면을 구하는 것이 이 문단의 목표인 것이다.
델(연산자) 문서의 그레이디언트 항목을 보면, 4차원 도형의 등위곡면에 수직한 벡터는 [math(f(x,,y,,z)=k)]에 대하여 [math(boldsymbol{nabla}f)]임을 알 수 있었다. 따라서 해당 등위곡면에 대한 접평면을 구하는 문제로 치환할 수 있고, 해당 곡면의 한 점 [math((x_{0},,y_{0},,z_{0}))]의 표면에 수직한 벡터는
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} f(x_{0},,y_{0},,z_{0}))]
가 될 것이다. 이로써 우리는 접평면의 법선 벡터를 구한 셈이다. 그리고 해당 접평면이 점 [math((x_{0},,y_{0},,z_{0}))]을 지나야만 하는 것에서 부터 접평면의 방정식은 아래와 같이 됨을 알 수 있다.
[math( displaystyle [boldsymbol{nabla} f(x_{0},,y_{0},,z_{0}) ]_{x} (x-x_{0})+[boldsymbol{nabla} f(x_{0},,y_{0},,z_{0}) ]_{y}(y-y_{0})+[boldsymbol{nabla} f(x_{0},,y_{0},,z_{0}) ]_{z}(z-z_{0})=0 )]
이제 우리는 위의 내용을 바탕으로 3차원 공간에서 반지름 4인 구를 기술하는 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4^2)]의 한 점 [math((sqrt{2},,sqrt{2},,2sqrt{3}))]의 접평면의 방정식을 구해보도록 하자. 우선적으로 우리는
[math( displaystyle f(x,,y,,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} )]
로 택하자. 이때,
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} f(x_{0},,y_{0},,z_{0})=(2sqrt{2},,2sqrt{2}, 4sqrt{3}))]
을 쓸 수 있다. 그러나 해당 벡터의 상수배한 [math((sqrt{2},,sqrt{2},,2sqrt{3}))]를 써도 무방하다. 따라서 구하는 접평면의 방정식은
[math( displaystyle sqrt{2}(x-sqrt{2})+sqrt{2}(y-sqrt{2})+2sqrt{3}(z-2sqrt{3})=0 )]
으로 구할 수 있다.
델(연산자) 문서의 그레이디언트 항목을 보면, 4차원 도형의 등위곡면에 수직한 벡터는 [math(f(x,,y,,z)=k)]에 대하여 [math(boldsymbol{nabla}f)]임을 알 수 있었다. 따라서 해당 등위곡면에 대한 접평면을 구하는 문제로 치환할 수 있고, 해당 곡면의 한 점 [math((x_{0},,y_{0},,z_{0}))]의 표면에 수직한 벡터는
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} f(x_{0},,y_{0},,z_{0}))]
가 될 것이다. 이로써 우리는 접평면의 법선 벡터를 구한 셈이다. 그리고 해당 접평면이 점 [math((x_{0},,y_{0},,z_{0}))]을 지나야만 하는 것에서 부터 접평면의 방정식은 아래와 같이 됨을 알 수 있다.
[math( displaystyle [boldsymbol{nabla} f(x_{0},,y_{0},,z_{0}) ]_{x} (x-x_{0})+[boldsymbol{nabla} f(x_{0},,y_{0},,z_{0}) ]_{y}(y-y_{0})+[boldsymbol{nabla} f(x_{0},,y_{0},,z_{0}) ]_{z}(z-z_{0})=0 )]
이제 우리는 위의 내용을 바탕으로 3차원 공간에서 반지름 4인 구를 기술하는 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4^2)]의 한 점 [math((sqrt{2},,sqrt{2},,2sqrt{3}))]의 접평면의 방정식을 구해보도록 하자. 우선적으로 우리는
[math( displaystyle f(x,,y,,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} )]
로 택하자. 이때,
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} f(x_{0},,y_{0},,z_{0})=(2sqrt{2},,2sqrt{2}, 4sqrt{3}))]
을 쓸 수 있다. 그러나 해당 벡터의 상수배한 [math((sqrt{2},,sqrt{2},,2sqrt{3}))]를 써도 무방하다. 따라서 구하는 접평면의 방정식은
[math( displaystyle sqrt{2}(x-sqrt{2})+sqrt{2}(y-sqrt{2})+2sqrt{3}(z-2sqrt{3})=0 )]
으로 구할 수 있다.
3. 기타
4. 관련 문서
[1] 즉, 평행선 공준이 거짓일 경우 위 3개를 만족하더라도 평면이 아니다. 위 3개를 만족하는 대표적인 반례로 푸앵카레 원반이 있다.[2] 즉, 평행선 공준이 거짓일 경우 위 3개를 만족하더라도 평면이 아니다. 위 3개를 만족하는 대표적인 반례로 푸앵카레 원반이 있다.[3] 다만, 미지수가 3개인데 식은 2개이므로 각 미지수의 비 밖에 구하지 못한다.[4] 정사영 문서의 벡터 사영 문단 참조. 벡터 사영의 크기가 스칼라 사영이다.[5] 그림의 상황은 모든 상황을 표현하는 것이 아닌 한 상황을 묘사하는 것에 유의하라.