분류
1. 요약 (원과 삼각형, 직선에 관한 정리)
한 원 위에 있는 임의의 점 [math(A)], [math(B)], [math(C)], [math(D)], [math(E)], [math(F)]를 잡자. 현 [math(overline{AB})]와 현 [math(overline{DE})]의 교점을 [math(J)], 현 [math(overline{BC})]와 현 [math(overline{EF})]의 교점을 [math(L)], 현 [math(overline{CD})]와 현 [math(overline{AF})]의 교점을 [math(K)]라 하면, 점 [math(J)], [math(K)], [math(L)]은 한 직선 위에 있다.
2. 증명
메넬라오스 정리와 방멱 정리를 사용한다.
[math(triangle{GHI})]와 [math(overline{DKC})]에서 메넬라오스 정리를 적용하면
[math(frac{overline{GK}}{overline{KH}})][math(frac{overline{HD}}{overline{DI}})][math(frac{overline{IC}}{overline{CG}})]=1 ☞ ①
[math(triangle{GHI})]와 [math(overline{AJB})]에서 메넬라오스 정리를 적용하면
[math(frac{overline{GA}}{overline{AH}})][math(frac{overline{HJ}}{overline{JI}})][math(frac{overline{IB}}{overline{BG}})]=1 ☞ ②
[math(triangle{GHI})]와 [math(overline{FLE})]에서 메넬라오스 정리를 적용하면
[math(frac{overline{GF}}{overline{FH}})][math(frac{overline{HE}}{overline{EI}})][math(frac{overline{IL}}{overline{LG}})]=1 ☞ ③
방멱의 정리에 의해
[math(overline{BI})] [math(overline{CI})]=[math(overline{DI})] [math(overline{EI})]
[math(overline{AH})] [math(overline{FH})]=[math(overline{DH})] [math(overline{EH})]
[math(overline{GA})] [math(overline{GF})]=[math(overline{GC})] [math(overline{GB})]
위의 세 식을 ④라고 하자.
①, ②, ③을 모두 곱한다.
[math(frac{overline{GK}}{overline{KH}})][math(frac{overline{HD}}{overline{DI}})][math(frac{overline{IC}}{overline{CG}})][math(frac{overline{GA}}{overline{AH}})][math(frac{overline{HJ}}{overline{JI}})][math(frac{overline{IB}}{overline{BG}})][math(frac{overline{GF}}{overline{FH}})][math(frac{overline{HE}}{overline{EI}})][math(frac{overline{IL}}{overline{LG}})]=1
그리고 식 ④를 적용해 분자의 [math(overline{BI})] [math(overline{CI})]는[math(overline{DI})] [math(overline{EI})]로, 분자의 [math(overline{AH})] [math(overline{FH})]는[math(overline{DH})] [math(overline{EH})]로, 분자의 [math(overline{GA})] [math(overline{GF})]는[math(overline{GC})] [math(overline{GB})]로 바꾸고, 소거시킬 수 있는 것들을 소거하면
[math(frac{overline{GK}}{overline{KH}})][math(frac{overline{HJ}}{overline{JI}})][math(frac{overline{IL}}{overline{LG}})]=1이 된다.
그러므로 메넬라오스 정리의 역에 의해 세 점 [math(J)], [math(K)], [math(L)]은 한 직선 위에 있다.
[math(triangle{GHI})]와 [math(overline{DKC})]에서 메넬라오스 정리를 적용하면
[math(frac{overline{GK}}{overline{KH}})][math(frac{overline{HD}}{overline{DI}})][math(frac{overline{IC}}{overline{CG}})]=1 ☞ ①
[math(triangle{GHI})]와 [math(overline{AJB})]에서 메넬라오스 정리를 적용하면
[math(frac{overline{GA}}{overline{AH}})][math(frac{overline{HJ}}{overline{JI}})][math(frac{overline{IB}}{overline{BG}})]=1 ☞ ②
[math(triangle{GHI})]와 [math(overline{FLE})]에서 메넬라오스 정리를 적용하면
[math(frac{overline{GF}}{overline{FH}})][math(frac{overline{HE}}{overline{EI}})][math(frac{overline{IL}}{overline{LG}})]=1 ☞ ③
방멱의 정리에 의해
[math(overline{BI})] [math(overline{CI})]=[math(overline{DI})] [math(overline{EI})]
[math(overline{AH})] [math(overline{FH})]=[math(overline{DH})] [math(overline{EH})]
[math(overline{GA})] [math(overline{GF})]=[math(overline{GC})] [math(overline{GB})]
위의 세 식을 ④라고 하자.
①, ②, ③을 모두 곱한다.
[math(frac{overline{GK}}{overline{KH}})][math(frac{overline{HD}}{overline{DI}})][math(frac{overline{IC}}{overline{CG}})][math(frac{overline{GA}}{overline{AH}})][math(frac{overline{HJ}}{overline{JI}})][math(frac{overline{IB}}{overline{BG}})][math(frac{overline{GF}}{overline{FH}})][math(frac{overline{HE}}{overline{EI}})][math(frac{overline{IL}}{overline{LG}})]=1
그리고 식 ④를 적용해 분자의 [math(overline{BI})] [math(overline{CI})]는[math(overline{DI})] [math(overline{EI})]로, 분자의 [math(overline{AH})] [math(overline{FH})]는[math(overline{DH})] [math(overline{EH})]로, 분자의 [math(overline{GA})] [math(overline{GF})]는[math(overline{GC})] [math(overline{GB})]로 바꾸고, 소거시킬 수 있는 것들을 소거하면
[math(frac{overline{GK}}{overline{KH}})][math(frac{overline{HJ}}{overline{JI}})][math(frac{overline{IL}}{overline{LG}})]=1이 된다.
그러므로 메넬라오스 정리의 역에 의해 세 점 [math(J)], [math(K)], [math(L)]은 한 직선 위에 있다.
3. 요약 (원뿔곡선에 내접하는 육각형에 대한 정리)
포물선
| 타원
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물론 육각형이 쌍곡선 한쪽에만 내접해도 된다.
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원뿔곡선에 내접하는 육각형의 대변의 연장선은 한 직선 위에 있다.
4. 증명
원을 사영시키면 원뿔곡선이 된다는 것을 이용한다.