1. 개요
코시 주요값은 절대수렴하지 않는 이상적분을 구할 수 있는 방법이다.
2. 진술
어떤 함수가 [math({x}_{0})] 근처에서 발산할 경우, [math({x}_{0})]을 포함하는 구간의 정적분 즉 이상적분은 다음과 같이 계산될 수 있다.
[math(displaystyle mathcal{P}int_{a}^{b}fleft ( x right )mathrm{d}x=lim_{crightarrow 0+}left { int_{a}^{{x}_{0}-c}fleft ( x right )mathrm{d}x+int_{{x}_{0}+c}^{b}fleft ( x right )mathrm{d}xright })]
[math(displaystyle mathcal{P}int_{a}^{b}fleft ( x right )mathrm{d}x=lim_{crightarrow 0+}left { int_{a}^{{x}_{0}-c}fleft ( x right )mathrm{d}x+int_{{x}_{0}+c}^{b}fleft ( x right )mathrm{d}xright })]
3. 예1
소수 분포를 추정할 때 쓰는 비초등 함수인 로그 적분 함수의 경우 피적분함수가 [math(x=1)] 근처에서 발산하므로[1] [math({x}_{0}=1)]이다. 따라서 [math(x>1)]일 때 코시 주요값은 다음과 같다.
[math(displaystyle mathcal{P}int_{0}^{x}frac{1}{ln x}mathrm{d}x=lim_{crightarrow 0+}left { int_{0}^{1-c}frac{1}{ln x}mathrm{d}x+int_{1+c}^{x}frac{1}{ln x}mathrm{d}xright }left ( x>1 right ))]
[math(displaystyle mathcal{P}int_{0}^{x}frac{1}{ln x}mathrm{d}x=lim_{crightarrow 0+}left { int_{0}^{1-c}frac{1}{ln x}mathrm{d}x+int_{1+c}^{x}frac{1}{ln x}mathrm{d}xright }left ( x>1 right ))]
4. 예2
[math(displaystyle frac{{e}^{x}}{x})]의 부정적분인 지수 적분 함수는 해당함수의 도함수인 [math(displaystyle frac{{e}^{x}}{x})]이 [math(x=0)] 근처에서 발산한다. 그러므로 [math({x}_{0}=0)]이다.
해당 함수의 정의는 [math(-displaystyle int_{-x}^{infty}frac{1}{x{e}^{x}}mathrm{d}x)]이지만 특이점[2]인 [math(x=0)]이 적분구간에 포함된다.([math(x>0)]인 경우.)[3]
그러므로 코시 주요값을 사용해서 다음과 같이 정의하자.
[math(displaystyle mathcal{P}int_{-x}^{infty}frac{-1}{x{e}^{x}}mathrm{d}x=-lim_{crightarrow 0+}left (int_{-x}^{-c}frac{1}{xe^{x}}mathrm{d}x+lim_{krightarrowinfty}int_{c}^{k}frac{1}{x{e}^{x}}mathrm{d}x right ))]
해당 함수의 정의는 [math(-displaystyle int_{-x}^{infty}frac{1}{x{e}^{x}}mathrm{d}x)]이지만 특이점[2]인 [math(x=0)]이 적분구간에 포함된다.([math(x>0)]인 경우.)[3]
그러므로 코시 주요값을 사용해서 다음과 같이 정의하자.
[math(displaystyle mathcal{P}int_{-x}^{infty}frac{-1}{x{e}^{x}}mathrm{d}x=-lim_{crightarrow 0+}left (int_{-x}^{-c}frac{1}{xe^{x}}mathrm{d}x+lim_{krightarrowinfty}int_{c}^{k}frac{1}{x{e}^{x}}mathrm{d}x right ))]