분류
1. 개요
공간을 구로 채우는 방법에 대한 요하네스 케플러의 추측.
파일:external/upload.wikimedia.org/400px-Empilement_compact.svg.png
3차원 공간에서 구를 채우는 효율에 대한 문제이다. 육방최밀격자[1] 또는 면심입방격자라고 부르는 방법으로 채우면 한 구에 12개씩 접하는 방법으로 밀집하게 채울 수 있다. 약 74%정도의 효율로 공간을 채울 수 있다는 것은 오래 전부터 알려져 있었다. 엄밀히는 육각형격자로 채울 때 두번째 층을 놓는 법이 두 가지이므로 효율이 같은 무수히 많은 배치 방법이 존재한다.
케플러의 추측은 간단히 말하면 "이보다 더 효율적인 배열 방법이 존재하는가?"이다.
국소적으로는 3차원에서는 구에 12개를 접하게 하면서 더 효율적인 채우기 방법이 있지만, 더 큰 공간에서는 그 다음 구를 채우면서 그 주변 부분은 비효율적으로 채워 진다. 때문에 수학자들은 아마도 맞을 것으로는 생각했지만 증명은 하지 못했다.
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3차원 공간에서 구를 채우는 효율에 대한 문제이다. 육방최밀격자[1] 또는 면심입방격자라고 부르는 방법으로 채우면 한 구에 12개씩 접하는 방법으로 밀집하게 채울 수 있다. 약 74%정도의 효율로 공간을 채울 수 있다는 것은 오래 전부터 알려져 있었다. 엄밀히는 육각형격자로 채울 때 두번째 층을 놓는 법이 두 가지이므로 효율이 같은 무수히 많은 배치 방법이 존재한다.
케플러의 추측은 간단히 말하면 "이보다 더 효율적인 배열 방법이 존재하는가?"이다.
국소적으로는 3차원에서는 구에 12개를 접하게 하면서 더 효율적인 채우기 방법이 있지만, 더 큰 공간에서는 그 다음 구를 채우면서 그 주변 부분은 비효율적으로 채워 진다. 때문에 수학자들은 아마도 맞을 것으로는 생각했지만 증명은 하지 못했다.
2. 증명
3. 관련 문제
케플러의 추측과 관련된 변형 문제로 아래와 같은 것이 있다.
- 같은 부피씩을 포함하는 가장 효율적인 비눗방울의 구조 - 절대온도를 만든 켈빈이 제안한 깎은 정팔면체가 최대라고 생각이 되었지만 다른 구조가 발견되었다. 이 구조는 2008 베이징 올림픽 수영장 설계에도 쓰였다.
영재원 문제로 겁나 많이 나오니까 알아둬라
4. 기타
참고로, 케플러의 법칙과는 다른 것이다. 이는 케플러를 유명하게 만든 천체 운동에 대한 내용이다.
[1] 육방조밀격자라고 부르기도 한다.[2] 갑자기 5차원부터 7차원까지를 건너뛰고 8차원, 9~23차원을 건너뛰고 24차원이 알려진게 이상할지 모르지만, 수학이나 물리학에서는 차원이 하나씩 늘어날수록 늘어난 차원이 가지는 성질이 일종의 제약으로 작용하기 때문에 고차원에서 더 쉽게 풀리는 경우가 있다.[3] 고차원에서 더 잘 풀리는 좋은 예가 칼루차-클레인 이론. 상대성이론을 5차원으로 확장시킨 것 만으로도 상대성이론이 맥스웰 방정식을 포괄하게 된다. 다만 전자의 자기력 계수가 이상하게 전개되는 것으로 인해 잊혀졌었다. 지금은 재규격화와 차원을 11차원 이상으로 확장시키는 것으로 문제를 회피한다.[4] 1차원에서의 뉴턴수는 2(1차원 구 = 점. 한 점을 중심으로 수직선에서 좌 우로 반지름 r만큼 떨어진 두 점의 집합이 1차원 구의 정의다. 반지름 1의 1차원 구 3개가 연달아 늘어서 있을 경우, 중앙의 구의 좌 우에 다른 구가 접할 수 있으므로 1차원 뉴턴수는 2), 2차원에서는 6(2차원 구 = 원), 3차원에서 12, 4차원에서 24이며, 8차원에서는 240, 24차원에서는 196,560개다.[5] 갑자기 5차원부터 7차원까지를 건너뛰고 8차원, 9~23차원을 건너뛰고 24차원이 알려진게 이상할지 모르지만, 수학이나 물리학에서는 차원이 하나씩 늘어날수록 늘어난 차원이 가지는 성질이 일종의 제약으로 작용하기 때문에 고차원에서 더 쉽게 풀리는 경우가 있다.[6] 고차원에서 더 잘 풀리는 좋은 예가 칼루차-클레인 이론. 상대성이론을 5차원으로 확장시킨 것 만으로도 상대성이론이 맥스웰 방정식을 포괄하게 된다. 다만 전자의 자기력 계수가 이상하게 전개되는 것으로 인해 잊혀졌었다. 지금은 재규격화와 차원을 11차원 이상으로 확장시키는 것으로 문제를 회피한다.[7] 1차원에서의 뉴턴수는 2(1차원 구 = 점. 한 점을 중심으로 수직선에서 좌 우로 반지름 r만큼 떨어진 두 점의 집합이 1차원 구의 정의다. 반지름 1의 1차원 구 3개가 연달아 늘어서 있을 경우, 중앙의 구의 좌 우에 다른 구가 접할 수 있으므로 1차원 뉴턴수는 2), 2차원에서는 6(2차원 구 = 원), 3차원에서 12, 4차원에서 24이며, 8차원에서는 240, 24차원에서는 196,560개다.