분류
1. 개요
Pendulum · 振子
일정한 축을 중심으로 일정한 주기 운동을 하는 물체를 말한다. 이때, 진자에 작용하는 복원력이나 결합 방식에 따라 그 종류가 나뉘게 된다.
일정한 축을 중심으로 일정한 주기 운동을 하는 물체를 말한다. 이때, 진자에 작용하는 복원력이나 결합 방식에 따라 그 종류가 나뉘게 된다.
2. 종류
2.1. 단진자
2.2. 물리진자
Physical pendulum
파일:나무_물리진자_수정.png
수평한 회전축을 가지고 있는 강체. 괘종시계의 시계추가 물리진자에 해당한다.
위 그림에서 회전축 [math( textrm{O} )]로 부터 강체의 질량중심(Center of mass) [math( textrm{CM} )]까지의 거리를 [math( L_{textrm{CM}} )]이라 하자. 이때, 관성모멘트가 [math( I )]인 강체가 받는 토크는
[math(displaystyle I ddot{theta}=-mgL_{mathrm{CM}}sin{theta} )]
가 되고, 이것을 정리하면,
[math(displaystyle ddot{theta}+frac{mgL_{mathrm{CM} }}{I}sin{theta}=0 )]
가 된다. 이때 강체가 작은 변위로 진동한다고 가정하면, [math( textrm{sin},theta approx theta )]로 놓을 수 있으므로
[math(displaystyle ddot{theta}+frac{mgL_{mathrm{CM} }}{I}theta=0 )]
따라서 이 미분 방정식에서 진자의 진동 주기는
[math(displaystyle T=2pi sqrt{frac{I}{mgL_{mathrm{CM} } }} )]
임을 알 수 있다.
파일:나무_물리진자_수정.png
수평한 회전축을 가지고 있는 강체. 괘종시계의 시계추가 물리진자에 해당한다.
위 그림에서 회전축 [math( textrm{O} )]로 부터 강체의 질량중심(Center of mass) [math( textrm{CM} )]까지의 거리를 [math( L_{textrm{CM}} )]이라 하자. 이때, 관성모멘트가 [math( I )]인 강체가 받는 토크는
[math(displaystyle I ddot{theta}=-mgL_{mathrm{CM}}sin{theta} )]
가 되고, 이것을 정리하면,
[math(displaystyle ddot{theta}+frac{mgL_{mathrm{CM} }}{I}sin{theta}=0 )]
가 된다. 이때 강체가 작은 변위로 진동한다고 가정하면, [math( textrm{sin},theta approx theta )]로 놓을 수 있으므로
[math(displaystyle ddot{theta}+frac{mgL_{mathrm{CM} }}{I}theta=0 )]
따라서 이 미분 방정식에서 진자의 진동 주기는
[math(displaystyle T=2pi sqrt{frac{I}{mgL_{mathrm{CM} } }} )]
임을 알 수 있다.
2.3. 비틀림 진자
Torsion pendulum
파일:나무_비틀림진자.png
그림과 같이 비틀림 계수가 [math( chi )]인 줄에 관성 모멘트가 [math( I )]인 원판이 매달려 있는 비틀림 진자를 고려해보자. 이때, 진자를 [math( theta )]만큼 비틀게 됐을 때, 진자에 작용하는 복원 토크는
[math(displaystyle I ddot{theta} =-chi theta )]
로 주어진다. 따라서 이 방정식을 정리하면,
[math( displaystyle ddot{theta}+frac{ chi}{I} theta =0 )]
가 되므로 비틀림 진자의 주기는
[math( displaystyle T=2pi sqrt{frac{I}{chi}} )]
가 된다. 따라서 초기에 [math( theta_{m} )]만큼 비틀었다면, 평형점 [math( textrm{O} )]을 기준으로 [math( theta_{m} )]만큼의 진폭으로 진동하게 됨을 알 수 있다.
파일:나무_비틀림진자.png
그림과 같이 비틀림 계수가 [math( chi )]인 줄에 관성 모멘트가 [math( I )]인 원판이 매달려 있는 비틀림 진자를 고려해보자. 이때, 진자를 [math( theta )]만큼 비틀게 됐을 때, 진자에 작용하는 복원 토크는
[math(displaystyle I ddot{theta} =-chi theta )]
로 주어진다. 따라서 이 방정식을 정리하면,
[math( displaystyle ddot{theta}+frac{ chi}{I} theta =0 )]
가 되므로 비틀림 진자의 주기는
[math( displaystyle T=2pi sqrt{frac{I}{chi}} )]
가 된다. 따라서 초기에 [math( theta_{m} )]만큼 비틀었다면, 평형점 [math( textrm{O} )]을 기준으로 [math( theta_{m} )]만큼의 진폭으로 진동하게 됨을 알 수 있다.
2.4. 결합진자
Coupled pendulum
파일:결합진자_종류_재수정_2.png
결합진자의 형태는 무수히 많으며, 위는 대표적인 예를 모아놓은 것이다.
(가)의 경우 두 진자의 고유 진동수가 비슷하면 하나의 진자가 흔들릴때 다른 진자도 흔들리는 공명을 일으킨다. 하지만 두 진자의 고유 진동수가 다르면 공명을 잘 일으키지 않는다. 공명의 대표적인 예시 중 하나이다.
(나) 상황에 대해 아래를 고려해보자. 문제 상황을 쉽게하기 위해 질량은 같다고 가정했고, 평형상태에서 용수철이 늘어난 길이는 없다.
파일:나무_결합진자_나.png
우선 계의 운동 에너지는
[math(displaystyle T=frac{1}{2}m({dot{x}_{1}}^{2}+{dot{x}_{2}}^{2}) )]
이고, 계의 퍼텐셜 에너지는 [math( x_{textrm{1}} leq x_{textrm{2}} )]라 가정하면,
[math(displaystyle U=mgl(1-cos{theta_{1}})+mgl(1-cos{theta_{1}})+frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} )]
이다. 이때, [math( theta_{textrm{1}}, , theta_{textrm{2}} )]가 매우 작다고 가정하면,
[math(displaystyle cos{theta_{i}} approx 1-frac{theta_{i}^{2}}{2} )]
로 근사 가능하다. 따라서 퍼텐셜 에너지는
[math(displaystyle U=mglleft( frac{theta_{1}^{2}}{2}+frac{theta_{2}^{2}}{2}right)+frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} )]
그런데, [math( theta_{textrm{1}}, , theta_{textrm{2}} )]가 매우 작으므로
[math(displaystyle l theta_{i} approx x_{i} )]
로 할 수 있음에 따라
[math(displaystyle U=frac{mg}{2l}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} )]
이상에서 계의 라그랑지안은
[math(displaystyle begin{aligned} L&=T-U \&=frac{1}{2}m({dot{x}_{1}}^{2}+{dot{x}_{2}}^{2})-left[ frac{mg}{2l}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} right] end{aligned} )]
이상에서 [math( x_{textrm{1}}, , x_{textrm{2}} )]의 각각에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} x_{1}& ,:, frac{partial L}{partial x_{1}}-frac{d}{dt}left( frac{partial L}{partial dot{x}_{1}} right) \ x_{2}& ,:, frac{partial L}{partial x_{2}}-frac{d}{dt}left( frac{partial L}{partial dot{x}_{2}} right) end{aligned} )]
오일러 방정식을 품으로써 나온 두 식을 더허거나 빼면, 아래의 두 식을 얻는다.
[math(displaystyle begin{aligned} (ddot{x}_{1}+ddot{x}_{2})+frac{g}{l}(x_{1}+x_{2})&=0 \ (ddot{x}_{1}-ddot{x}_{2})+left[ frac{g}{l}+frac{2k}{m} right] (x_{1}-x_{2})&=0 end{aligned} )]
이때, [math( x_{textrm{1}}+x_{textrm{2}} equiv X )], [math( x_{textrm{2}}-x_{textrm{1}} equiv Y )]라 놓으면, 두 방정식을 쉽게 판단할 수 있다.
[math(displaystyle ddot{X}+frac{g}{l}X=0 qquad qquad ddot{Y}+left[ frac{g}{l}+frac{2k}{m} right]Y=0 )]
두 방정식은 각각 각진동수 [math( sqrt{g/l} )], [math( sqrt{(g/l)+(textrm{2}k/m)} )]의 조화진동자의 진동 방정식이다. 따라서 결합진자에서 두 변위의 합과 차는 sine 혹은 cosine 항으로 기술된다는 것을 알 수 있다.
이때, [math( x_{textrm{1}}=x_{textrm{2}} )]라면, 계는 위의 첫 번째 식만 남고 아래의 식으로 기술된다.
[math(displaystyle ddot{x}_{2}+frac{g}{l}x_{2}=0 )]
이때, [math( x_{textrm{1}}=-x_{textrm{2}} )]라면, 계는 위의 두 번째 식만 남고 아래의 식으로 기술된다.
[math(displaystyle ddot{x}_{2}+left[ frac{g}{l}+frac{2k}{m} right]x_{2}=0 )]
이때, 위, 아래 상황은 아래 그림과 같이 각각 동 위상, 반대 위상으로 같은 진폭으로 진동하는 경우이다. 따라서 반대 위상인 경우가 더 빠르게 진동함을 알 수 있다.
파일:나무_결합진자_위상.png
파일:결합진자_종류_재수정_2.png
결합진자의 형태는 무수히 많으며, 위는 대표적인 예를 모아놓은 것이다.
(가)의 경우 두 진자의 고유 진동수가 비슷하면 하나의 진자가 흔들릴때 다른 진자도 흔들리는 공명을 일으킨다. 하지만 두 진자의 고유 진동수가 다르면 공명을 잘 일으키지 않는다. 공명의 대표적인 예시 중 하나이다.
(나) 상황에 대해 아래를 고려해보자. 문제 상황을 쉽게하기 위해 질량은 같다고 가정했고, 평형상태에서 용수철이 늘어난 길이는 없다.
파일:나무_결합진자_나.png
우선 계의 운동 에너지는
[math(displaystyle T=frac{1}{2}m({dot{x}_{1}}^{2}+{dot{x}_{2}}^{2}) )]
이고, 계의 퍼텐셜 에너지는 [math( x_{textrm{1}} leq x_{textrm{2}} )]라 가정하면,
[math(displaystyle U=mgl(1-cos{theta_{1}})+mgl(1-cos{theta_{1}})+frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} )]
이다. 이때, [math( theta_{textrm{1}}, , theta_{textrm{2}} )]가 매우 작다고 가정하면,
[math(displaystyle cos{theta_{i}} approx 1-frac{theta_{i}^{2}}{2} )]
로 근사 가능하다. 따라서 퍼텐셜 에너지는
[math(displaystyle U=mglleft( frac{theta_{1}^{2}}{2}+frac{theta_{2}^{2}}{2}right)+frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} )]
그런데, [math( theta_{textrm{1}}, , theta_{textrm{2}} )]가 매우 작으므로
[math(displaystyle l theta_{i} approx x_{i} )]
로 할 수 있음에 따라
[math(displaystyle U=frac{mg}{2l}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} )]
이상에서 계의 라그랑지안은
[math(displaystyle begin{aligned} L&=T-U \&=frac{1}{2}m({dot{x}_{1}}^{2}+{dot{x}_{2}}^{2})-left[ frac{mg}{2l}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} right] end{aligned} )]
이상에서 [math( x_{textrm{1}}, , x_{textrm{2}} )]의 각각에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} x_{1}& ,:, frac{partial L}{partial x_{1}}-frac{d}{dt}left( frac{partial L}{partial dot{x}_{1}} right) \ x_{2}& ,:, frac{partial L}{partial x_{2}}-frac{d}{dt}left( frac{partial L}{partial dot{x}_{2}} right) end{aligned} )]
오일러 방정식을 품으로써 나온 두 식을 더허거나 빼면, 아래의 두 식을 얻는다.
[math(displaystyle begin{aligned} (ddot{x}_{1}+ddot{x}_{2})+frac{g}{l}(x_{1}+x_{2})&=0 \ (ddot{x}_{1}-ddot{x}_{2})+left[ frac{g}{l}+frac{2k}{m} right] (x_{1}-x_{2})&=0 end{aligned} )]
이때, [math( x_{textrm{1}}+x_{textrm{2}} equiv X )], [math( x_{textrm{2}}-x_{textrm{1}} equiv Y )]라 놓으면, 두 방정식을 쉽게 판단할 수 있다.
[math(displaystyle ddot{X}+frac{g}{l}X=0 qquad qquad ddot{Y}+left[ frac{g}{l}+frac{2k}{m} right]Y=0 )]
두 방정식은 각각 각진동수 [math( sqrt{g/l} )], [math( sqrt{(g/l)+(textrm{2}k/m)} )]의 조화진동자의 진동 방정식이다. 따라서 결합진자에서 두 변위의 합과 차는 sine 혹은 cosine 항으로 기술된다는 것을 알 수 있다.
이때, [math( x_{textrm{1}}=x_{textrm{2}} )]라면, 계는 위의 첫 번째 식만 남고 아래의 식으로 기술된다.
[math(displaystyle ddot{x}_{2}+frac{g}{l}x_{2}=0 )]
이때, [math( x_{textrm{1}}=-x_{textrm{2}} )]라면, 계는 위의 두 번째 식만 남고 아래의 식으로 기술된다.
[math(displaystyle ddot{x}_{2}+left[ frac{g}{l}+frac{2k}{m} right]x_{2}=0 )]
이때, 위, 아래 상황은 아래 그림과 같이 각각 동 위상, 반대 위상으로 같은 진폭으로 진동하는 경우이다. 따라서 반대 위상인 경우가 더 빠르게 진동함을 알 수 있다.
파일:나무_결합진자_위상.png
