1. 개요
2. 기초 개념
● 진동 : 질량을 갖고 있는 물체가 시간의 변화에 따라 평형상태에 도달할 때까지의 주기적 반복운동. 외력과 감쇠의 유무에 따라 종류를 크게 분류할 수 있다.
● 탄성체의 진동 : 탄성체는 무한개의 자유도를 갖는 물체의 진동계로 간주한다.
● 탄성체의 진동 : 탄성체는 무한개의 자유도를 갖는 물체의 진동계로 간주한다.
자유진동
| 강제진동
|
외력 X
| 외력 O
|
비감쇠진동
| 감쇠진동
|
마찰 X
| 마찰 O
|
● 비감쇠진동 : 감쇠가 없어 마찰이 무시되는 계에서 계속해서 진행하는 진동.
● 감쇠진동 : 감쇠가 있어 마찰이 고려되는, 사실상 모든 진동체의 진동.
● 진동의 세 가지 기본요소 : 질량(m), 감쇠(c), 스프링(k)
● 응답 : 외력에 대한 질량의 움직임
● 감쇠의 형태 :
① 점성감쇠 : viscous damping. 점성 저항에 의한 감쇠로, 문을 세게 닫아도 문 위의 유압 힌지에 의해 문이 천천히 닫히는 것이 예.
② 쿨롱감쇠 : coulomb damping. 마찰력에 의한 감쇠로, 문을 세게 닫으면 몇 번 진동하다가 점차 움직임이 잦아들며 멈추는 것이 예.
③ 구조감쇠 : structural damping. 말 그대로 구조적인 감쇠로, 진동이 점차 잦아드는 게 아니라 한 번에 딱 멈추는 특징을 보인다. 가끔 바닥 수평이 맞지 않는 곳에서 문을 닫을 때 문이 바닥에 끼어 끽 소리를 내며 멈추는 것을 본 경험이 있을 것이다.
● 감쇠진동 : 감쇠가 있어 마찰이 고려되는, 사실상 모든 진동체의 진동.
● 진동의 세 가지 기본요소 : 질량(m), 감쇠(c), 스프링(k)
● 응답 : 외력에 대한 질량의 움직임
● 감쇠의 형태 :
① 점성감쇠 : viscous damping. 점성 저항에 의한 감쇠로, 문을 세게 닫아도 문 위의 유압 힌지에 의해 문이 천천히 닫히는 것이 예.
② 쿨롱감쇠 : coulomb damping. 마찰력에 의한 감쇠로, 문을 세게 닫으면 몇 번 진동하다가 점차 움직임이 잦아들며 멈추는 것이 예.
③ 구조감쇠 : structural damping. 말 그대로 구조적인 감쇠로, 진동이 점차 잦아드는 게 아니라 한 번에 딱 멈추는 특징을 보인다. 가끔 바닥 수평이 맞지 않는 곳에서 문을 닫을 때 문이 바닥에 끼어 끽 소리를 내며 멈추는 것을 본 경험이 있을 것이다.
3. 진동의 종류
3.1. 비감쇠 자유진동
운동방정식 : [math(mddot{x}+kx=0 )]
각진동수(고유진동수) [math(omega_n = sqrt{k over m})]
대표적인 것으로 단순조화운동이 있다. 이는 sin, cos 함수로 나타낼 수 있는 운동으로, 진동의 형태는 우리가 흔히 아는 sin, cos 함수 그래프와 같다.
일반해 [math(x = Xsin( omega t+ phi ))]
각진동수(고유진동수) [math(omega_n = sqrt{k over m})]
대표적인 것으로 단순조화운동이 있다. 이는 sin, cos 함수로 나타낼 수 있는 운동으로, 진동의 형태는 우리가 흔히 아는 sin, cos 함수 그래프와 같다.
일반해 [math(x = Xsin( omega t+ phi ))]
3.2. 감쇠 자유진동
운동방정식 : [math(mddot{x}+cdot{x}+kx=0)]
일반해 x = exp(λt)
임계감쇠계수 [math(C_{ c})] : 위 운동방정식을 미방으로 풀어 나오는 해에서 근호를 0으로 만들 수 있는 감쇠계수 c의 값.
감쇠율 ζ : [math(c/C_{ c})]
감쇠율 ζ의 크기에 따라,
① 부족감쇠 : underdamped system. 0<ζ<1. 세 경우 중 유일하게 진동이 발생하는 경우이다. 흔히 볼 수 있는, 진동이 발생해서 지속되며 점차 잦아드는 양상을 보인다.
② 임계감쇠 : critically damped system. ζ=1. 시스템은 진동하지 않으며, 가장 빨리 평형 상태에 도달한다.
③ 과도감쇠 : overdamped system. ζ>1. 시스템은 진동하지 않으나, 감쇠가 너무 크기 때문에 평형 상태로 돌아가는 데엔 시간이 좀 걸린다.
감쇠 고유진동수 [math(omega_d)] : [math(omega_nsqrt{1-zeta^2})]
일반해 x = exp(λt)
임계감쇠계수 [math(C_{ c})] : 위 운동방정식을 미방으로 풀어 나오는 해에서 근호를 0으로 만들 수 있는 감쇠계수 c의 값.
감쇠율 ζ : [math(c/C_{ c})]
감쇠율 ζ의 크기에 따라,
① 부족감쇠 : underdamped system. 0<ζ<1. 세 경우 중 유일하게 진동이 발생하는 경우이다. 흔히 볼 수 있는, 진동이 발생해서 지속되며 점차 잦아드는 양상을 보인다.
② 임계감쇠 : critically damped system. ζ=1. 시스템은 진동하지 않으며, 가장 빨리 평형 상태에 도달한다.
③ 과도감쇠 : overdamped system. ζ>1. 시스템은 진동하지 않으나, 감쇠가 너무 크기 때문에 평형 상태로 돌아가는 데엔 시간이 좀 걸린다.
감쇠 고유진동수 [math(omega_d)] : [math(omega_nsqrt{1-zeta^2})]
3.3. 비감쇠 강제진동
운동방정식 : [math(mddot{x}+kx=F(t) )]
응답 [math(x(t) = x_h(t)+x_p(t))]
[math(x_h(t))] : 과도응답. 처음엔 진폭이 크다가 시간이 지날수록 잦아드는 응답.
[math(x_p(t))] : 정상응답. 조화진동처럼 처음부터 끝까지 형태가 일정한 응답.
많은 시간이 지나면 [math(x_h(t))]는 0이 되므로 결국 [math(x(t) = x_p(t))]가 된다. 여기서 [math(x_h(t))]항은 자유진동을 나타내므로 ‘보조해’라고도 불리며, 외력에 의한 진동을 나타내는 [math(x_p(t))]항을 ‘특별해’라고도 부른다.
주파수비 r = [math({omega over omega_n})] ([math(omega)] : 가진 주파수)
확대율 M : [math({1 over 1-r^2})]
주파수비 r의 값에 따라
1) 0<r<1 : r=0에서 ζ=1이고, r이 1로 갈 때까지 따라서 증가
2) r=1 : 가진 주파수와 고유진동수가 일치할 때 시스템은 공진하며 진폭 X는 무한대
3) r≒1 : 가진 주파수와 고유진동수가 엇비슷할 때 맥놀이 현상 발생
4) r>1 : 확대율 M이 음수가 되므로, 외력의 방향과 질량의 방향이 반대가 되어 진동
응답 [math(x(t) = x_h(t)+x_p(t))]
[math(x_h(t))] : 과도응답. 처음엔 진폭이 크다가 시간이 지날수록 잦아드는 응답.
[math(x_p(t))] : 정상응답. 조화진동처럼 처음부터 끝까지 형태가 일정한 응답.
많은 시간이 지나면 [math(x_h(t))]는 0이 되므로 결국 [math(x(t) = x_p(t))]가 된다. 여기서 [math(x_h(t))]항은 자유진동을 나타내므로 ‘보조해’라고도 불리며, 외력에 의한 진동을 나타내는 [math(x_p(t))]항을 ‘특별해’라고도 부른다.
주파수비 r = [math({omega over omega_n})] ([math(omega)] : 가진 주파수)
확대율 M : [math({1 over 1-r^2})]
주파수비 r의 값에 따라
1) 0<r<1 : r=0에서 ζ=1이고, r이 1로 갈 때까지 따라서 증가
2) r=1 : 가진 주파수와 고유진동수가 일치할 때 시스템은 공진하며 진폭 X는 무한대
3) r≒1 : 가진 주파수와 고유진동수가 엇비슷할 때 맥놀이 현상 발생
4) r>1 : 확대율 M이 음수가 되므로, 외력의 방향과 질량의 방향이 반대가 되어 진동
3.4. 감쇠 강제진동
운동방정식 : [math(mddot{x}+cdot{x}+kx=F(t) )]