1. 개요
두 점 [math(mathbf{A})], [math(mathbf{B})]를 지나는 직선 [math(mathbf{AB})]
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쉽게 말하자면 말 그대로 곧은 선이다. 직선은 무한히 얇고, 선분처럼 유한한 길이를 가진 것이 아닌 무한히 뻗어나가는 선으로, 한 점으로부터 양쪽으로, 같은 높이에 있는 점들의 무한집합이다. 점과 달리 방향의 개념이 있다.
힐베르트 공리계에서는 직선이 무정의 용어이다. 그 외의 무정의 용어로 점과 평면이 있다.
직선을 나타낼 때에는 직선 위의 임의의 두 점[math(mathrm{A})], [math(mathrm{B})]를 잡고 직선 [math(mathrm{AB})], 혹은 직선 [math(mathrm{BA})]라고 부른다. [math(overleftrightarrow {mathrm {AB}})]로 표기하거나 혹은 직선 통째로 [math(l)], [math(m)], [math(n)] 등 알파벳 소문자로 이름붙이는 경우도 있다.
2. 수학적 분석
2.1. 직선이 유일하게 결정될 조건
- 임의의 두 점이 주어졌을 때
2.2. 좌표평면 상 직선의 기술
이 문서에서는 해석기하학적인 직선의 성질을 분석하는 것을 중점으로 두며, 분석의 용의성을 위해 평면(2차원) 상의 직선으로 국한 시켜 주로 다룬다.
2.2.1. 직선의 방정식
결론부터 말하자면, 방정식 [math(ax+by+c=0)] (단, [math(a, b, c)]는 상수)은 좌표평면 상 직선을 기술한다.
[1] [math(ab neq 0)]일 경우
이 경우 위의 방정식을 다음과 같은 형식
[math( displaystyle y=-frac{a}{b}x-frac{c}{b} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 기울기가 [math(-{a}/{b})], [math(y)]절편이 [math(-{c}/{b})]인 일차함수를 기술하는 직선임을 얻는다.
이때, [math(-{a}/{b} > 0)]이면 [math(displaystyle lim_{x to infty} -({a}/{b})x = infty)]인 증가함수이고, [math(-{a}/{b} < 0)]이면 [math(displaystyle lim_{x to infty} -({a}/{b})x = -infty)]인 감소함수이다. 극한값을 보면 알 수 있겠지만, 이 함수는 특정한 점으로 수렴하지 않는다. 이것은 위에서 말한 직선의 정의와 동치이다.
[2] [math(a neq 0)], [math(b=0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( displaystyle x=-frac{c}{a} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((-c/a,,y))]의 점의 집합이므로 [math(y)]축과 평행하고, [math(x)]절편이 [math(-c/a)]인 직선을 나타낸다.
[3] [math(a = 0)], [math(b neq 0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( displaystyle y=-frac{c}{b} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((x,,-b/c))]의 점의 집합이므로 [math(x)]축과 평행하고, [math(y)]절편이 [math(-displaystyle frac{c}{b})]인 직선을 나타낸다.
이상의 결과를 좌표평면 상에 나타내면, 아래와 같다.
파일:namu_직선의방정식_개형.png
[1] [math(ab neq 0)]일 경우
이 경우 위의 방정식을 다음과 같은 형식
[math( displaystyle y=-frac{a}{b}x-frac{c}{b} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 기울기가 [math(-{a}/{b})], [math(y)]절편이 [math(-{c}/{b})]인 일차함수를 기술하는 직선임을 얻는다.
이때, [math(-{a}/{b} > 0)]이면 [math(displaystyle lim_{x to infty} -({a}/{b})x = infty)]인 증가함수이고, [math(-{a}/{b} < 0)]이면 [math(displaystyle lim_{x to infty} -({a}/{b})x = -infty)]인 감소함수이다. 극한값을 보면 알 수 있겠지만, 이 함수는 특정한 점으로 수렴하지 않는다. 이것은 위에서 말한 직선의 정의와 동치이다.
[2] [math(a neq 0)], [math(b=0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( displaystyle x=-frac{c}{a} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((-c/a,,y))]의 점의 집합이므로 [math(y)]축과 평행하고, [math(x)]절편이 [math(-c/a)]인 직선을 나타낸다.
[3] [math(a = 0)], [math(b neq 0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( displaystyle y=-frac{c}{b} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((x,,-b/c))]의 점의 집합이므로 [math(x)]축과 평행하고, [math(y)]절편이 [math(-displaystyle frac{c}{b})]인 직선을 나타낸다.
이상의 결과를 좌표평면 상에 나타내면, 아래와 같다.
파일:namu_직선의방정식_개형.png
2.2.2. 벡터 이용
2.2.2.1. 방향 벡터 사용
좌표평면 상 어떤 직선과 평행한 벡터(일반적으로 이러한 벡터를 '방향 벡터(Direction vector)'라 부른다.)
[math(mathbf{u}=(a,,b))]
를 고려해보자. 이때, [math(a)], [math(b)]는 각각 상수이고, 직선이 점 [math((x_{0},,y_{0}))]를 지난다고 하자. 이때, 직선 위의 임의의 점 [math((x, y))]과 해당 점을 각각 시점, 종점으로 하는 벡터
[math(mathbf{l}=(x-x_{0},,y-y_{0}))]
는 위의 방향벡터와 평행하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(mathbf{l}=t mathbf{u})]
이때, [math(t)]는 임의의 스칼라이다. 그렇다면, 각 축의 성분에 대해 아래의 결과를 얻는다.
[math( begin{aligned} x-x_{0}=at qquad qquad y-y_{0}=bt end{aligned} )]
[1] [math(ab neq 0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( displaystyle begin{aligned} frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b} (=t)end{aligned} )]
를 얻으므로 이것을 우리가 잘 아는 일차함수 형태
[math( displaystyle y=frac{b}{a}x + left(y_{0}-frac{b}{a}x_{0} right) )]
로 쓸 수 있고, 이것은 곧 기울기가 [math(b/a)], [math(y)]절편이 [math(y_{0}-(b/a)x_{0})]인 직선을 기술함을 알 수 있다.
[2] [math(a neq 0)], [math(b=0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( displaystyle begin{aligned} x=at+x_{0} qquad qquad y=y_{0} end{aligned} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((x,,y_{0}))]의 점의 집합이므로 [math(x)]축과 평행하고, [math(y)]절편이 [math(y_{0})]인 직선을 나타낸다.
[3] [math(a = 0)], [math(b neq 0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( displaystyle begin{aligned} x=x_{0} qquad qquad y=bt+y_{0} end{aligned} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((x_{0},,y))]의 점의 집합이므로 [math(y)]축과 평행하고, [math(x)]절편이 [math(x_{0})]인 직선을 나타낸다.
[math(mathbf{u}=(a,,b))]
를 고려해보자. 이때, [math(a)], [math(b)]는 각각 상수이고, 직선이 점 [math((x_{0},,y_{0}))]를 지난다고 하자. 이때, 직선 위의 임의의 점 [math((x, y))]과 해당 점을 각각 시점, 종점으로 하는 벡터
[math(mathbf{l}=(x-x_{0},,y-y_{0}))]
는 위의 방향벡터와 평행하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(mathbf{l}=t mathbf{u})]
이때, [math(t)]는 임의의 스칼라이다. 그렇다면, 각 축의 성분에 대해 아래의 결과를 얻는다.
[math( begin{aligned} x-x_{0}=at qquad qquad y-y_{0}=bt end{aligned} )]
[1] [math(ab neq 0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( displaystyle begin{aligned} frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b} (=t)end{aligned} )]
를 얻으므로 이것을 우리가 잘 아는 일차함수 형태
[math( displaystyle y=frac{b}{a}x + left(y_{0}-frac{b}{a}x_{0} right) )]
로 쓸 수 있고, 이것은 곧 기울기가 [math(b/a)], [math(y)]절편이 [math(y_{0}-(b/a)x_{0})]인 직선을 기술함을 알 수 있다.
[2] [math(a neq 0)], [math(b=0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( displaystyle begin{aligned} x=at+x_{0} qquad qquad y=y_{0} end{aligned} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((x,,y_{0}))]의 점의 집합이므로 [math(x)]축과 평행하고, [math(y)]절편이 [math(y_{0})]인 직선을 나타낸다.
[3] [math(a = 0)], [math(b neq 0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( displaystyle begin{aligned} x=x_{0} qquad qquad y=bt+y_{0} end{aligned} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((x_{0},,y))]의 점의 집합이므로 [math(y)]축과 평행하고, [math(x)]절편이 [math(x_{0})]인 직선을 나타낸다.
2.2.2.2. 법선 벡터 사용[1]
좌표평면 상 어떤 직선과 직교하는 벡터(일반적으로 이러한 벡터를 '법선 벡터(Normal vector)'라 부른다.)
[math(mathbf{u}=(a,,b))]
를 고려해보도록 하자. 이때, [math(a)], [math(b)]는 각각 상수이고, 직선이 점 [math((x_{0},,y_{0}))]를 지난다고 하자. 이때, 직선 위의 임의의 점 [math((x, y))]과 해당 점을 각각 시점, 종점으로 하는 벡터
[math(mathbf{l}=(x-x_{0},,y-y_{0}))]
로 쓸 수 있고, 법선 벡터와 직선 위의 벡터는 수직하므로 두 벡터의 내적 [math( mathbf{u} boldsymbol{cdot} mathbf{l}=0)]을 만족한다. 따라서
[math( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0 )]
이것은 [math(c := -(ax_{0}+by_{0}))]라 놓으면 [math(ax+by+c=0)] 꼴로 정리되므로 좌표평면 상 직선을 기술한다는 것을 알 수 있다.
[math(mathbf{u}=(a,,b))]
를 고려해보도록 하자. 이때, [math(a)], [math(b)]는 각각 상수이고, 직선이 점 [math((x_{0},,y_{0}))]를 지난다고 하자. 이때, 직선 위의 임의의 점 [math((x, y))]과 해당 점을 각각 시점, 종점으로 하는 벡터
[math(mathbf{l}=(x-x_{0},,y-y_{0}))]
로 쓸 수 있고, 법선 벡터와 직선 위의 벡터는 수직하므로 두 벡터의 내적 [math( mathbf{u} boldsymbol{cdot} mathbf{l}=0)]을 만족한다. 따라서
[math( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0 )]
이것은 [math(c := -(ax_{0}+by_{0}))]라 놓으면 [math(ax+by+c=0)] 꼴로 정리되므로 좌표평면 상 직선을 기술한다는 것을 알 수 있다.
2.3. 직선과 연립일차방정식
이제부터 다음의 연립일차방정식
[math( displaystyle left{begin{matrix}
ax+by+c&=0 \ a'x+b'y+c'&=0
end{matrix}right. )]
을 고려해보도록 하자. 연립일차방정식을 푼다는 것은 위의 두 방정식 [math(ax+by+c=0)], [math(a'x+b'y+c'=0)]을 모두 만족시키는 해 [math(x)], [math(y)]를 찾는 것과 같다. 그런데 두 방정식 [math(ax+by+c=0)], [math(a'x+b'y+c'=0)]는 좌표평면 상 직선을 나타내고, 이것이 모두 동시에 만족하는 것은 두 직선의 교점 뿐이다. 따라서 연립일차방정식을 푼다는 것은, 두 직선(혹은 그 이상의 차원이라면 그것을 기술하는 도형)들의 교점을 찾는 것과 동치임을 얻는다.
[math( displaystyle left{begin{matrix}
ax+by+c&=0 \ a'x+b'y+c'&=0
end{matrix}right. )]
을 고려해보도록 하자. 연립일차방정식을 푼다는 것은 위의 두 방정식 [math(ax+by+c=0)], [math(a'x+b'y+c'=0)]을 모두 만족시키는 해 [math(x)], [math(y)]를 찾는 것과 같다. 그런데 두 방정식 [math(ax+by+c=0)], [math(a'x+b'y+c'=0)]는 좌표평면 상 직선을 나타내고, 이것이 모두 동시에 만족하는 것은 두 직선의 교점 뿐이다. 따라서 연립일차방정식을 푼다는 것은, 두 직선(혹은 그 이상의 차원이라면 그것을 기술하는 도형)들의 교점을 찾는 것과 동치임을 얻는다.
2.4. 좌표평면 상 직선의 위치 관계
좌표평면 위의 두 직선
[math( displaystyle begin{aligned} ax+by+c&=0 \ a'x+b'y+c'&=0 end{aligned} )]
을 고려하자. 이때, [math(a sim c)], [math(a' sim c')]는 각각 [math(abc neq 0)], [math(a'b'c' neq 0)]인 상수이다. 이때, 상수의 조건에 따라 위 두 직선은 일차함수의 꼴
[math( displaystyle begin{aligned} y&=-frac{a}{b}x-frac{c}{b} \ y&=-frac{a'}{b'}x-frac{c'}{b'} end{aligned} )]
로 쓸 수 있다.
[1] 두 직선이 한 점에서 만날 조건
두 직선이 한 점에서 만나려면 두 직선의 기울기만 다르면 된다. 따라서
[math( displaystyle frac{a}{b} neq frac{a'}{b'} , to , frac{a'}{a} neq frac{b'}{b} )]
를 만족하면 된다.
[2] 두 직선이 평행할 조건
두 직선이 평행하려면 두 직선의 기울기는 같고, [math(y)]절편은 달라야 한다. 따라서
[math( displaystyle frac{a}{b} = frac{a'}{b'},, textsf{and},, frac{c}{b} neq frac{c'}{b'} , to , frac{a'}{a} = frac{b'}{b} neq frac{c'}{c} )]
를 만족해야 한다.
[3] 두 직선이 일치할 조건
두 직선이 일치하려면 두 직선의 기울기와 [math(y)]이 모두 같아야 한다. 따라서
[math( displaystyle frac{a}{b} = frac{a'}{b'},, textsf{and},, frac{c}{b} = frac{c'}{b'} , to , frac{a'}{a} = frac{b'}{b} = frac{c'}{c} )]
를 만족해야 한다.
[4] 두 직선이 직교할 조건
평행이동을 통하여 두 직선은 다음과 같이 원점을 지나는 직선으로
[math( displaystyle begin{aligned} y&=-frac{a}{b}x \ y&=-frac{a'}{b'}x end{aligned} )]
으로 평행이동시킬 수 있다.
파일:namu_두 직선 직교조건.png
그리고, [math(x=1)]의 직선과의 두 직선과의 각각의 교점 [math(mathrm{A})], [math(mathrm{B})]를 고려하면, 각각의 점의 좌표는 아래와 같다.
[math( displaystyle mathrm{A} left( 1, -frac{b}{a} right) qquad qquad mathrm{B} left( 1, -frac{b}{a} right) )]
이때, 삼각형 [math(mathrm{OAB})]는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 적용 가능하므로
[math( displaystyle {overline{mathrm{AB}} }^{2}={overline{mathrm{OA}} }^{2} +{overline{mathrm{OB}} }^{2} )]
을 이용하면,
[math( displaystyle 2+frac{a^{2}}{b^{2}}+frac{a'^{2}}{b'^{2}}=left( frac{a}{b}-frac{a'}{b'} right)^{2} )]
이고, 이것을 정리하면,
[math( displaystyle frac{aa'}{bb'}=-1 )]
이고, 따라서 다음과 같은 결론을 얻는다:
[math( displaystyle aa'+bb'=0 )]
이상의 결과를 정리하면 다음과 같다.
[math( displaystyle begin{aligned} ax+by+c&=0 \ a'x+b'y+c'&=0 end{aligned} )]
을 고려하자. 이때, [math(a sim c)], [math(a' sim c')]는 각각 [math(abc neq 0)], [math(a'b'c' neq 0)]인 상수이다. 이때, 상수의 조건에 따라 위 두 직선은 일차함수의 꼴
[math( displaystyle begin{aligned} y&=-frac{a}{b}x-frac{c}{b} \ y&=-frac{a'}{b'}x-frac{c'}{b'} end{aligned} )]
로 쓸 수 있다.
[1] 두 직선이 한 점에서 만날 조건
두 직선이 한 점에서 만나려면 두 직선의 기울기만 다르면 된다. 따라서
[math( displaystyle frac{a}{b} neq frac{a'}{b'} , to , frac{a'}{a} neq frac{b'}{b} )]
를 만족하면 된다.
[2] 두 직선이 평행할 조건
두 직선이 평행하려면 두 직선의 기울기는 같고, [math(y)]절편은 달라야 한다. 따라서
[math( displaystyle frac{a}{b} = frac{a'}{b'},, textsf{and},, frac{c}{b} neq frac{c'}{b'} , to , frac{a'}{a} = frac{b'}{b} neq frac{c'}{c} )]
를 만족해야 한다.
[3] 두 직선이 일치할 조건
두 직선이 일치하려면 두 직선의 기울기와 [math(y)]이 모두 같아야 한다. 따라서
[math( displaystyle frac{a}{b} = frac{a'}{b'},, textsf{and},, frac{c}{b} = frac{c'}{b'} , to , frac{a'}{a} = frac{b'}{b} = frac{c'}{c} )]
를 만족해야 한다.
[4] 두 직선이 직교할 조건
평행이동을 통하여 두 직선은 다음과 같이 원점을 지나는 직선으로
[math( displaystyle begin{aligned} y&=-frac{a}{b}x \ y&=-frac{a'}{b'}x end{aligned} )]
으로 평행이동시킬 수 있다.
파일:namu_두 직선 직교조건.png
그리고, [math(x=1)]의 직선과의 두 직선과의 각각의 교점 [math(mathrm{A})], [math(mathrm{B})]를 고려하면, 각각의 점의 좌표는 아래와 같다.
[math( displaystyle mathrm{A} left( 1, -frac{b}{a} right) qquad qquad mathrm{B} left( 1, -frac{b}{a} right) )]
이때, 삼각형 [math(mathrm{OAB})]는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 적용 가능하므로
[math( displaystyle {overline{mathrm{AB}} }^{2}={overline{mathrm{OA}} }^{2} +{overline{mathrm{OB}} }^{2} )]
을 이용하면,
[math( displaystyle 2+frac{a^{2}}{b^{2}}+frac{a'^{2}}{b'^{2}}=left( frac{a}{b}-frac{a'}{b'} right)^{2} )]
이고, 이것을 정리하면,
[math( displaystyle frac{aa'}{bb'}=-1 )]
이고, 따라서 다음과 같은 결론을 얻는다:
[math( displaystyle aa'+bb'=0 )]
이상의 결과를 정리하면 다음과 같다.
- 두 직선이 한 점에서 만날 조건
[math( displaystyle frac{a'}{a} neq frac{b'}{b} )] - 두 직선이 평행할 조건
[math( displaystyle frac{a'}{a} = frac{b'}{b} neq frac{c'}{c} )] - 두 직선이 일치할 조건
[math( displaystyle frac{a'}{a} = frac{b'}{b} = frac{c'}{c} )] - 두 직선이 직교할 조건
[math( displaystyle aa'+bb'=0 )]
2.4.1. 연립일차방정식의 해의 특성과의 연관점
위에서 연립일차방정식을 푼다는 것은 곧, 직선의 교점을 찾는 것과 동치인 문제임을 논의했다. 그런데, 바로 윗문단에서 직선의 위치 관계에 대해 논의했다. 즉, 이 교점의 개수로 해의 개수는 결정되는데 이는 다음을 얻는다.
- 두 직선이 한 점에서 만나거나 직교하는 경우는 곧 해당 연립일차방정식이 유일한 해가 존재한다는 것이다.
- 두 직선이 평행한 경우엔 교점이 없으므로 해당 연립일차방정식의 해가 존재하지 않는다는 것이다. 이 경우를 불능이라 한다.
- 두 직선이 일치하는 경우엔 교점이 무수히 많이 존재하므로 해당 연립일차방정식의 해가 무수히 많이 존재한다는 것이다. 이 경우를 부정이라 한다.
즉, 연립일차방정식의 해의 특성을 찾는 것은 좌표평면 상의 해당 도형의 교점의 개수를 판단하는 문제와 동치임을 얻는다.
2.5. 점과 직선 사이의 거리
좌표평면 상 직선 [math( ax+by+c=0)]과 직선 외부의 점 [math(mathrm{P}(x_{0},,y_{0}))]을 고려하자. 또한 이 직선이 [math(mathrm{Q}(x_{1},,y_{1}))]을 지난다고 생각해보자.
우선 주어진 직선의 법선 벡터는 [math(mathbf{n}=(a,,b))]가 될 것이다. 이때, 외부의 한 점을 시점, 평면 위의 한 점을 종점으로 하는 벡터 [math(mathbf{p} := overrightarrow{mathrm{PQ}})]
[math( displaystyle mathbf{p}=(x_{0}-x_{1},,y_{0}-y_{1}) )]
를 고려하자.
그렇다면, 구하는 점과 직선 사이의 거리는 한 점에서 직선 위에 수선의 발을 내렸을 때, 그 점에서 수선의 발까지의 거리가 됨에 따라 벡터 [math(mathbf{p})]의 법선 벡터 [math(mathbf{n})] 위로의 스칼라 사영[2]이 될 것이다. 구하는 점과 직선 사이의 거리를 [math(s)]라 놓으면,
[math( displaystyle begin{aligned} s&= operatorname{comp}_{mathbf{n}}{mathbf{p}} \
&=frac{|mathbf{n} boldsymbol{cdot} mathbf{p}|}{|mathbf{n}|} \&=frac{|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{sqrt{a^2+b^2}} \
&=frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{sqrt{a^2+b^2}} end{aligned} )]
의 결과를 얻는다.
우선 주어진 직선의 법선 벡터는 [math(mathbf{n}=(a,,b))]가 될 것이다. 이때, 외부의 한 점을 시점, 평면 위의 한 점을 종점으로 하는 벡터 [math(mathbf{p} := overrightarrow{mathrm{PQ}})]
[math( displaystyle mathbf{p}=(x_{0}-x_{1},,y_{0}-y_{1}) )]
를 고려하자.
그렇다면, 구하는 점과 직선 사이의 거리는 한 점에서 직선 위에 수선의 발을 내렸을 때, 그 점에서 수선의 발까지의 거리가 됨에 따라 벡터 [math(mathbf{p})]의 법선 벡터 [math(mathbf{n})] 위로의 스칼라 사영[2]이 될 것이다. 구하는 점과 직선 사이의 거리를 [math(s)]라 놓으면,
[math( displaystyle begin{aligned} s&= operatorname{comp}_{mathbf{n}}{mathbf{p}} \
&=frac{|mathbf{n} boldsymbol{cdot} mathbf{p}|}{|mathbf{n}|} \&=frac{|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{sqrt{a^2+b^2}} \
&=frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{sqrt{a^2+b^2}} end{aligned} )]
의 결과를 얻는다.
2.6. 기타 분석
2.6.1. 두 직선의 교점을 지나는 도형의 방정식
이 문단에서는 좌표평면 위의 두 직선 [math(ax+by+c=0)]과 [math(a'x+b'y+c'=0)]의 교점을 지나는 도형의 방정식을 구해보도록 하자. 우선 두 직선의 교점을 [math((alpha,,beta))]라 놓고, 두 직선에 각각 점을 대입하면,
[math(a alpha+b beta+c=0 qquad qquad a' alpha+b' beta+c'=0)]
이 성립한다. 다음의 방정식을 고려해보자.
[math(a x+b y+c+k(a' x+b' y+c' )=0 quad )] (단, [math(k)]는 상수)
이 방정식은 [math(f(x,,y)=0)] 꼴이므로 좌표평면 상 어떠한 도형[3]을 나타내는 것은 수학적으로 자명하다. 이 방정식에 두 직선의 교점을 대입하면,
[math(a alpha+b beta+c+k( a' alpha+b' beta+c' )=0)]
이고, 이것은 [math(k)]의 값에 관계 없이 성립하는 항등식이다.[4]이 성립함을 상기하라.] 따라서 이 도형의 방정식은 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 두 직선의 교점을 지난다는 것을 알 수 있고, 결국 찾는 도형의 방정식임을 얻는다.
다만, 위의 형태의 경우 [math(a' x+b' y+c'=0)]이 제외되는 문제점이 있어 이를 다음과 같은 형태로 쓰기도 한다.
[math(m(a x+b y+c)+n(a' x+b' y+c' )=0 quad)] (단, [math(m)], [math(n)]은 상수)
[math(a alpha+b beta+c=0 qquad qquad a' alpha+b' beta+c'=0)]
이 성립한다. 다음의 방정식을 고려해보자.
[math(a x+b y+c+k(a' x+b' y+c' )=0 quad )] (단, [math(k)]는 상수)
이 방정식은 [math(f(x,,y)=0)] 꼴이므로 좌표평면 상 어떠한 도형[3]을 나타내는 것은 수학적으로 자명하다. 이 방정식에 두 직선의 교점을 대입하면,
[math(a alpha+b beta+c+k( a' alpha+b' beta+c' )=0)]
이고, 이것은 [math(k)]의 값에 관계 없이 성립하는 항등식이다.[4]이 성립함을 상기하라.] 따라서 이 도형의 방정식은 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 두 직선의 교점을 지난다는 것을 알 수 있고, 결국 찾는 도형의 방정식임을 얻는다.
다만, 위의 형태의 경우 [math(a' x+b' y+c'=0)]이 제외되는 문제점이 있어 이를 다음과 같은 형태로 쓰기도 한다.
[math(m(a x+b y+c)+n(a' x+b' y+c' )=0 quad)] (단, [math(m)], [math(n)]은 상수)
2.6.2. 세 직선이 삼각형을 결정하는 조건
좌표평면 상 다음의 경우를 제외한 세 직선은 삼각형을 결정한다.(단, 두 직선 혹은 세 직선이 일치하는 경우는 제외한다.)
- 세 직선이 모두 평행한 경우
- 두 직선이 평행한 경우
- 세 직선이 한 점에서 만나는 경우
2.6.3. 두 직선이 이루는 예각
좌표평면 위의 두 직선
[math( displaystyle begin{aligned} l_{1}:&,,ax+by+c=0 \ l_{2}:&,,a'x+b'y+c'=0 end{aligned} )]
을 고려하자. 또한 각 직선의 기울기를 다음과 같이 두자
[math(displaystyle -frac{b}{a} := m qquad qquad -frac{b'}{a'} := m' )]
이때, [math(l_{1})], [math(l_{2})]가 [math(x)]축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 [math(theta_{1})], [math(theta_{2})]라 하면,
파일:namu_두 직선이 이루는 각.png
와 같이 되고, 두 직선이 이루는 각 중 예각을 [math(theta)]라 놓자. 그러면
[math(displaystyle theta=theta_{2}-theta_{1} )]
이 되고, 이미 주어진 두 직선으로 부터
[math(displaystyle tan{theta_{1}}=m qquad qquad tan{theta_{2}}=m' )]
임을 알고있으므로
[math(displaystyle begin{aligned} tan{theta}&=|tan{(theta_{2}-theta_{1})}| \ &=left| frac{tan{theta_{1}}-tan{theta_{2}} }{1+tan{theta_{1}tan{theta_{2}} }} right| \ &=left| frac{m-m' }{1+mm'} right| end{aligned} )]
주의해야 할 것은 예각을 구하고 있다는 점이다. 그래서 절댓값을 씌웠다는 것에 주의해야 한다.
이것은 각각의 직선의 방향벡터를 이용해도 구할 수 있다. 직선 [math(l_{1})], [math(l_{2})]의 방향벡터를 각각 [math(mathbf{u}_{1})], [math(mathbf{u}_{2})]라 하자. 그렇다면, 이 두 벡터가 이루는 예각을 [math(theta)]라 놓으면 다음이 성립한다.
[math(displaystyle cos{theta}=frac{|mathbf{u}_{1} boldsymbol{cdot} mathbf{u}_{2}|}{|mathbf{u}_{1}||mathbf{u}_{2}|} )]
여기서도 절댓값을 씌운 이유는 예각을 찾고 있기 때문이다.
[math( displaystyle begin{aligned} l_{1}:&,,ax+by+c=0 \ l_{2}:&,,a'x+b'y+c'=0 end{aligned} )]
을 고려하자. 또한 각 직선의 기울기를 다음과 같이 두자
[math(displaystyle -frac{b}{a} := m qquad qquad -frac{b'}{a'} := m' )]
이때, [math(l_{1})], [math(l_{2})]가 [math(x)]축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 [math(theta_{1})], [math(theta_{2})]라 하면,
파일:namu_두 직선이 이루는 각.png
와 같이 되고, 두 직선이 이루는 각 중 예각을 [math(theta)]라 놓자. 그러면
[math(displaystyle theta=theta_{2}-theta_{1} )]
이 되고, 이미 주어진 두 직선으로 부터
[math(displaystyle tan{theta_{1}}=m qquad qquad tan{theta_{2}}=m' )]
임을 알고있으므로
[math(displaystyle begin{aligned} tan{theta}&=|tan{(theta_{2}-theta_{1})}| \ &=left| frac{tan{theta_{1}}-tan{theta_{2}} }{1+tan{theta_{1}tan{theta_{2}} }} right| \ &=left| frac{m-m' }{1+mm'} right| end{aligned} )]
주의해야 할 것은 예각을 구하고 있다는 점이다. 그래서 절댓값을 씌웠다는 것에 주의해야 한다.
이것은 각각의 직선의 방향벡터를 이용해도 구할 수 있다. 직선 [math(l_{1})], [math(l_{2})]의 방향벡터를 각각 [math(mathbf{u}_{1})], [math(mathbf{u}_{2})]라 하자. 그렇다면, 이 두 벡터가 이루는 예각을 [math(theta)]라 놓으면 다음이 성립한다.
[math(displaystyle cos{theta}=frac{|mathbf{u}_{1} boldsymbol{cdot} mathbf{u}_{2}|}{|mathbf{u}_{1}||mathbf{u}_{2}|} )]
여기서도 절댓값을 씌운 이유는 예각을 찾고 있기 때문이다.
2.7. 3차원 이상에서의 직선
3차원 이상의 고차원 공간에서는 직선을 기술하기 위해 방향벡터의 도입이 필수적이다.
3차원 이상의 공간에서의 직선을 벡터로 기술하는 법 또한 2차원에서의 벡터를 이용한 직선 기술법과 같다. 즉, 방향벡터 [math(mathbf{u})]와 직선 위의 임의의 벡터 [math(mathbf{l})]이 평행한 성질을 이용한다. 즉,
[math(mathbf{l}=t mathbf{u})]
을 이용한다.(이것을 직선의 벡터 방정식이라 한다.) 이때, [math(t)]는 임의의 스칼라이다. 이때,
[math(displaystyle mathbf{l}=sum_{i} (x_{i}-p_{i}) hat{mathbf{x}}_{i} qquad qquad mathbf{u}=sum_{i} a_{i} hat{mathbf{x}}_{i} )]
임을 이용하자. 여기서 [math(displaystyle hat{mathbf{x}}_{i})]는 [math(x_{i})]축의 단위 벡터, [math(p_{i})]는 직선 위의 임의의 점의 [math(x_{i})]축의 좌푯값이다. 따라서
[math(displaystyle sum_{i} (x_{i}-p_{i}) hat{mathbf{x}}_{i} =t sum_{i} a_{i} hat{mathbf{x}}_{i} )]
으로 쓸 수 있다. 즉, 직선에 대하여
[math(displaystyle x_{i}-p_{i} = t a_{i} )]
임을 알 수 있다.(이것을 직선의 매개변수 방정식이라 한다.) 만일 [math(a_{i} neq 0)]이라면, 직선의 방정식은
[math(displaystyle frac{x_{1}-p_{1}}{a_{1}}=frac{x_{2}-p_{2}}{a_{2}}=cdots=frac{x_{i}-p_{i}}{a_{i}} )]
으로 쓸 수 있다. 예를 들어 3차원 상에서는
[math(displaystyle frac{x-p_{x}}{a_{x}}=frac{y-p_{y}}{a_{y}}=frac{z-p_{z}}{a_{z}} )]
의 형태로 쓸 수 있고, 이것은 방향벡터가 [math(a_{x},,a_{y},,a_{z})]이고, 점 [math((p_{x},,p_{y},,p_{z}))]를 지나는 직선이다.
만약, [math(a_{j}=0)]을 만족하는 [math(x_{j})]축 방향벡터의 성분이 있다면, [math(x_{j})]축을 제외한 것만 위와 같이 연달아 쓰고, [math(x_{j}=p_{j})]라는 조건들이 붙는데 이것은 직선들이 지나는 점 중 [math(x_{j})]축 좌푯값은 [math(p_{j})]로 고정되어야 한다는 것을 나타낸다. 예를 들어 3차원 상에서 [math(a_{z}=0)]이라면, 직선의 방정식은
[math(displaystyle frac{x-p_{x}}{a_{x}}=frac{y-p_{y}}{a_{y}}, , z=p_{z} )]
으로 기술되고 이것은 [math((x,,y,,p_{z}))]의 점을 집합으로 가지는 직선이므로 평면 [math(z=p_{z})] 위의 직선임을 얻는다.
위 식을 다중선형형식(Multilinear form)이라고 하며, 차원과 무관하게 항상 직선을 그린다는 사실이 밝혀져 있다.
3차원 이상의 공간에서의 직선을 벡터로 기술하는 법 또한 2차원에서의 벡터를 이용한 직선 기술법과 같다. 즉, 방향벡터 [math(mathbf{u})]와 직선 위의 임의의 벡터 [math(mathbf{l})]이 평행한 성질을 이용한다. 즉,
[math(mathbf{l}=t mathbf{u})]
을 이용한다.(이것을 직선의 벡터 방정식이라 한다.) 이때, [math(t)]는 임의의 스칼라이다. 이때,
[math(displaystyle mathbf{l}=sum_{i} (x_{i}-p_{i}) hat{mathbf{x}}_{i} qquad qquad mathbf{u}=sum_{i} a_{i} hat{mathbf{x}}_{i} )]
임을 이용하자. 여기서 [math(displaystyle hat{mathbf{x}}_{i})]는 [math(x_{i})]축의 단위 벡터, [math(p_{i})]는 직선 위의 임의의 점의 [math(x_{i})]축의 좌푯값이다. 따라서
[math(displaystyle sum_{i} (x_{i}-p_{i}) hat{mathbf{x}}_{i} =t sum_{i} a_{i} hat{mathbf{x}}_{i} )]
으로 쓸 수 있다. 즉, 직선에 대하여
[math(displaystyle x_{i}-p_{i} = t a_{i} )]
임을 알 수 있다.(이것을 직선의 매개변수 방정식이라 한다.) 만일 [math(a_{i} neq 0)]이라면, 직선의 방정식은
[math(displaystyle frac{x_{1}-p_{1}}{a_{1}}=frac{x_{2}-p_{2}}{a_{2}}=cdots=frac{x_{i}-p_{i}}{a_{i}} )]
으로 쓸 수 있다. 예를 들어 3차원 상에서는
[math(displaystyle frac{x-p_{x}}{a_{x}}=frac{y-p_{y}}{a_{y}}=frac{z-p_{z}}{a_{z}} )]
의 형태로 쓸 수 있고, 이것은 방향벡터가 [math(a_{x},,a_{y},,a_{z})]이고, 점 [math((p_{x},,p_{y},,p_{z}))]를 지나는 직선이다.
만약, [math(a_{j}=0)]을 만족하는 [math(x_{j})]축 방향벡터의 성분이 있다면, [math(x_{j})]축을 제외한 것만 위와 같이 연달아 쓰고, [math(x_{j}=p_{j})]라는 조건들이 붙는데 이것은 직선들이 지나는 점 중 [math(x_{j})]축 좌푯값은 [math(p_{j})]로 고정되어야 한다는 것을 나타낸다. 예를 들어 3차원 상에서 [math(a_{z}=0)]이라면, 직선의 방정식은
[math(displaystyle frac{x-p_{x}}{a_{x}}=frac{y-p_{y}}{a_{y}}, , z=p_{z} )]
으로 기술되고 이것은 [math((x,,y,,p_{z}))]의 점을 집합으로 가지는 직선이므로 평면 [math(z=p_{z})] 위의 직선임을 얻는다.
위 식을 다중선형형식(Multilinear form)이라고 하며, 차원과 무관하게 항상 직선을 그린다는 사실이 밝혀져 있다.
3. 기타
- 대한민국 교육과정 상에서는 직선의 경우 중학교 2학년 일차함수 단원을 통해 일차함수의 그래프 개형이 직선이라는 것을 먼저 배운 후 본격적으로 고등학교 1학년 도형의 방정식 단원을 통해 해석기하학적으로 직선의 성질을 배우게 된다. 그리고, 고2~3 기하 단원을 통해 벡터를 이용한 직선을 해석하는 법을 배운다.
- 택시 거리 공간에서는 축에 평행하지 않는 직선은 '직선'이 아니라, 꺾은선이 된다.
4. 관련 문서
[1] 직선을 유도하는 과정에서 법선 벡터를 쓸 수 있는 것은 2차원 뿐이다.[2] 정사영 문서의 벡터 사영 문단 참조. 벡터 사영의 크기가 스칼라 사영이다.[3] 사실 이차항 이상의 고차항이 없기 때문에 해당 도형은 직선만 가능하다.[4] 교점에서 [math(a alpha+b beta+c=0,, a' alpha+b' beta+c'=0)[5] 일상생활에서 말하는 직선은 대부분 유한한 길이를 가지고 있다. 게다가 무한히 얇지도 않은 경우가 대다수이다.[6] 일상생활에서 말하는 직선은 대부분 유한한 길이를 가지고 있다. 게다가 무한히 얇지도 않은 경우가 대다수이다.