당진시민축구단 소속의 대한민국 축구선수로, 포지션은 미드필더.

2012 AFC U-16 축구 선수권 대회 청소년 대표, 2016 BTV CUP 국제 축구대회에 참가하며 경험을 쌓은 주원석은 청주대학교를 졸업한 이후 당시 한국 내셔널리그 참가팀이던 부산교통공사 축구단에 입단하여 17경기에 출장해 2득점을 기록한 바 있다.

2019년 주원석은 시즌 시작 전 아산 무궁화로 영입되었으며#, 첫 시즌에는 1경기 출장에 그쳤다. 팀은 2020년부터 이름을 충남 아산 FC로 변경했고, 주원석은 2020시즌 리그 3경기와 FA컵 2경기에 출전했다.

2021년 새 시즌을 앞두고 계약만료로 풀려났고, K4리그에 새로 참가하는 신생팀 당진시민축구단에 합류했다.