분류
1. 개요
2. 분석
2.1. 공기 저항이 없는 경우
질량 [math(m)]의 물체가 지면으로부터 [math(H)]의 높이에서 자유낙하를 했다고 생각해보자. 공기 저항을 무시할 경우 이때 작용하는 힘은 보존력인 중력 외에는 존재하지 않는다. 따라서 물체의 운동 방정식은
[math(displaystyle mddot{y}=-mg )]
이고, 초기 조건 [math(y(0)=H)], [math(dot{y}(0)=0)]을 이용하면
[math(displaystyle begin{aligned} y(t)&=H-frac{1}{2}gt^{2} \ dot{y}(t)&=-gt end{aligned} )]
한편, 물체의 높이가 [math(y)]일 때까지 낙하 시간을 구하면,
[math(displaystyle y=H-frac{1}{2}gt^{2} ;to; t=sqrt{frac{2(H-y)}{g}} )]
이때 속력을 구해보면, 아래와 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} biggl|dot{y}biggl( sqrt{frac{2(H-y)}{g}} biggr)biggr|=sqrt{2g(H-y)} end{aligned} )]
위에서 언급했듯 공기 저항을 무시할 경우 공기 저항을 무시할 경우 이때 작용하는 힘은 보존력인 중력 외에는 존재하지 않으므로 역학적 에너지 또한 보존된다. 따라서 초기 역학적 에너지는 중력 퍼텐셜 에너지인 [math(mgH)]이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle mgH=mgy+frac{1}{2}m dot{y}^{2} )]
[math(displaystyle mddot{y}=-mg )]
이고, 초기 조건 [math(y(0)=H)], [math(dot{y}(0)=0)]을 이용하면
[math(displaystyle begin{aligned} y(t)&=H-frac{1}{2}gt^{2} \ dot{y}(t)&=-gt end{aligned} )]
한편, 물체의 높이가 [math(y)]일 때까지 낙하 시간을 구하면,
[math(displaystyle y=H-frac{1}{2}gt^{2} ;to; t=sqrt{frac{2(H-y)}{g}} )]
이때 속력을 구해보면, 아래와 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} biggl|dot{y}biggl( sqrt{frac{2(H-y)}{g}} biggr)biggr|=sqrt{2g(H-y)} end{aligned} )]
위에서 언급했듯 공기 저항을 무시할 경우 공기 저항을 무시할 경우 이때 작용하는 힘은 보존력인 중력 외에는 존재하지 않으므로 역학적 에너지 또한 보존된다. 따라서 초기 역학적 에너지는 중력 퍼텐셜 에너지인 [math(mgH)]이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle mgH=mgy+frac{1}{2}m dot{y}^{2} )]
2.2. 공기 저항이 있는 경우
진공에서의 물체의 가속 운동은 방해, 정확히 말하면 저항력을 받지 않아 정지 속도가 없지만, 실제 지구상에서의 낙하는 공기의 저항을 받게 된다.
사실 아래의 두 풀이 또한 실제 상황을 단순화시킨 것이다. 왜냐하면 실제적으로 높이에 따라 대기의 밀도가 달라지므로 저항력이 높이에도 영향을 받기 때문이다.
사실 아래의 두 풀이 또한 실제 상황을 단순화시킨 것이다. 왜냐하면 실제적으로 높이에 따라 대기의 밀도가 달라지므로 저항력이 높이에도 영향을 받기 때문이다.
2.2.1. 선형 공기 저항이 있는 경우
저항력이 속도에 비례하여 질량 [math(m)]의 물체가 물체가 지면으로부터 [math(H)]의 높이에서 자유 낙하했을 때, 저항력 [math(-kdot{y})](단, [math(k)]는 공기 저항 계수)를 받는다고 해보자. 이때 물체의 운동 방정식은
[math(displaystyle mddot{y}=-mg-kdot{y} )]
초기 조건 [math(y(0)=H)], [math(dot{y}(0)=0)]임을 이용하면, 위의 미분방정식은 쉽게 풀리고, [math(k/m := beta)]라 놓으면,
[math(displaystyle begin{aligned} y(t)&=H+frac{g}{beta^{2}}(1- beta t -e^{-beta t} ) \ dot{y}(t)&=-frac{g}{beta}(1-e^{-beta t}) end{aligned} )]
으로 구해진다.
위의 식에서 알 수 있듯 [math(t to infty)]이면 일정한 속력 [math(g/beta=mg/k)]로 수렴하는데 이 속력을 종단 속력(terminal speed)이라 하고, 종단 속력은 질량에 비례한다. 종단 속력의 물리적 의미를 검토해보고자 이 속력을 저항력에 대입하면, [math(k dot{y}=mg)]로 중력의 크기와 같아지는데 곧 종단 속력은 중력과 저항력이 평형을 이룰 때의 속력임을 알 수 있다. 일반적으로 사람의 종단 속도는 [math(200,{rm km/h})] 근처이다.[1]. 자세에 따라 달라진다.]
[math(displaystyle mddot{y}=-mg-kdot{y} )]
초기 조건 [math(y(0)=H)], [math(dot{y}(0)=0)]임을 이용하면, 위의 미분방정식은 쉽게 풀리고, [math(k/m := beta)]라 놓으면,
[math(displaystyle begin{aligned} y(t)&=H+frac{g}{beta^{2}}(1- beta t -e^{-beta t} ) \ dot{y}(t)&=-frac{g}{beta}(1-e^{-beta t}) end{aligned} )]
으로 구해진다.
위의 식에서 알 수 있듯 [math(t to infty)]이면 일정한 속력 [math(g/beta=mg/k)]로 수렴하는데 이 속력을 종단 속력(terminal speed)이라 하고, 종단 속력은 질량에 비례한다. 종단 속력의 물리적 의미를 검토해보고자 이 속력을 저항력에 대입하면, [math(k dot{y}=mg)]로 중력의 크기와 같아지는데 곧 종단 속력은 중력과 저항력이 평형을 이룰 때의 속력임을 알 수 있다. 일반적으로 사람의 종단 속도는 [math(200,{rm km/h})] 근처이다.[1]. 자세에 따라 달라진다.]
2.2.2. 제곱형 공기 저항이 있는 경우
이번 문단에서는 제곱형 공기 저항이 작용하는 경우를 살펴보도록 하자. 물체의 운동 방정식은 윗문단과 유사하게
[math(displaystyle mddot{y}=-mg+kdot{y}^{2} )]
단, 이번엔 저항력 부분의 부호가 [math(+)]가 되어야 함에 유의한다.[2] 초기 조건은 윗 문단과 동일하고, 방정식을 그냥 풀기 어렵기 때문에 우선 [math(dot{y})]에 대하여 구하자. 위 미분방정식을 아래와 같이 쓰자.
[math(displaystyle frac{{rm d}dot{y}}{{rm d}t}=-g+betadot{y}^{2} )]
변수 분리를 통해 이 방정식을 풀면
[math(displaystyle dot{y}(t)=-sqrt{frac{g}{beta}} tanh{(sqrt{beta g}t)} )]
변위 함수는 적분을 통하여 아래와 같음을 알 수 있다.
[math(displaystyle y(t)=H-frac{1}{beta}ln{(cosh{(sqrt{beta g}t)})} )]
이 결과에서도 종단 속력에 대하여 논할 수 있으며, [math(dot{y})]로부터 [math(t to infty)]일 때, 일정한 속력 [math(sqrt{g/beta}=sqrt{mg/k})]로 접근함과 이 종단 속력은 질량의 제곱근에 비례함을 알 수 있다. 더욱이 이 속력을 [math(kdot{y}^{2})]에 대입하면, 곧 중력의 크기와 같음을 알 수 있다.
[math(displaystyle mddot{y}=-mg+kdot{y}^{2} )]
단, 이번엔 저항력 부분의 부호가 [math(+)]가 되어야 함에 유의한다.[2] 초기 조건은 윗 문단과 동일하고, 방정식을 그냥 풀기 어렵기 때문에 우선 [math(dot{y})]에 대하여 구하자. 위 미분방정식을 아래와 같이 쓰자.
[math(displaystyle frac{{rm d}dot{y}}{{rm d}t}=-g+betadot{y}^{2} )]
변수 분리를 통해 이 방정식을 풀면
[math(displaystyle dot{y}(t)=-sqrt{frac{g}{beta}} tanh{(sqrt{beta g}t)} )]
변위 함수는 적분을 통하여 아래와 같음을 알 수 있다.
[math(displaystyle y(t)=H-frac{1}{beta}ln{(cosh{(sqrt{beta g}t)})} )]
이 결과에서도 종단 속력에 대하여 논할 수 있으며, [math(dot{y})]로부터 [math(t to infty)]일 때, 일정한 속력 [math(sqrt{g/beta}=sqrt{mg/k})]로 접근함과 이 종단 속력은 질량의 제곱근에 비례함을 알 수 있다. 더욱이 이 속력을 [math(kdot{y}^{2})]에 대입하면, 곧 중력의 크기와 같음을 알 수 있다.