- 영어 : Chain rule
1. 개요
2. 1변수함수
우리가 '합성함수의 미분'이라고 많이 접한 내용이다.
[math( f )]와 [math( g )]가 미분가능한 함수라고 하자. [math( y=f(u) )]이고 [math( u=g(x) )]일 때, [math( y )]는 [math( x )]로 미분가능하고 다음이 성립한다.
[math( f )]와 [math( g )]가 미분가능한 함수라고 하자. [math( y=f(u) )]이고 [math( u=g(x) )]일 때, [math( y )]는 [math( x )]로 미분가능하고 다음이 성립한다.
[math(displaystyle frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} = frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}u} frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x} )]
이때 [math(displaystyle frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x})]를 보통 속미분이라고 부른다.
3. 다변수함수
[math( u )]가 [math( x_1, x_2, cdots , x_n )]에 대한 미분가능한 [math( n )]변수 함수이고, [math( x_j )]가 각각 [math( t_1, t_2, cdots , t_m )]에 대한 미분가능한 [math( m )]변수 함수이면, [math( u )]는 [math( t_1, t_2, cdots, t_m )]에 대한 미분가능한 함수이고, 각 [math( i = 1,2, cdots , m )]에 대하여 다음이 성립한다.
[math(displaystyle frac{partial u}{partial t_i} = frac{partial u}{partial x_1} frac{partial x_1}{partial t_i} + frac{partial u}{partial x_2} frac{partial x_2}{partial t_i} + cdots + frac{partial u}{partial x_n} frac{partial x_n}{partial t_i})]
다변수의 미분을 선형 변환 혹은 행렬로 이해했다면 다음의 버전이 가장 일반적이다.
유클리드 공간의 열린 집합 [math(X, Y, Z)]에 대해 [math(g : X rightarrow Y)], [math( f : Y rightarrow Z)]가 각각 점 [math(x_0 in X)], [math(y_0 = g(x_0))]에서 미분가능할 때, [math( h = f circ g : X rightarrow Z)]도 [math(x_0)]에서 미분가능하고, 그 도함수는 다음을 만족시킨다.
[math( displaystyle Dh = Df circ Dg )]
여기서 [math(Df, Dg)]를 야코비 행렬로 보고 행렬곱을 계산하면 위의 버전을 얻을 수 있다.
4. 증명과 관련된 여담
흔히 고등학교 과정에서 나와있는 1변수 연쇄법칙의 증명은 엄밀하지 않은 경우가 대부분이다. 일단 위아래에서 du를 약분한다는 헛소리는 걸러도 된다 주로 다음의 극한식을 사용하는데
[math(displaystyle lim_{x_1 rightarrow x} frac{f(g(x_1)) - f(g(x))}{x_1 - x} = lim_{x_1 rightarrow x} frac{f(g(x_1)) - f(g(x))}{g(x_1) - g(x)} frac{g(x_1) - g(x)}{x_1 - x} )]
언뜻 보면 완벽해 보이지만 이건 [math(g(x_1) -g(x))]가 도중에 0이 되는 경우는 우변의 분수식을 설명할 수 없다. 이것을 해결하기 위한 별도의 트릭을 사용하거나, 아니면 그냥 미분계수에 분수를 사용하지 않는 엡실론-델타 버전에 기대는 (즉 [math( |f(x+h) - f(x) - hf'(x)| < epsilon h)] 이런 느낌으로) 방법이 있지만 첫번째는 번거롭고, 두번째는 고교과정 외이므로 보통 생략된다.
대학교에서는 문제를 풀 때 단순히 합성함수 미분을 하더라도 연쇄법칙에 의한 것임을 언급해주어야 점수가 안 까인다.
첫 번째 방식을 이용한 일변수 연쇄법칙의 증명(접기/펼치기)
보조함수 [math(F)]를
[math(displaystyle F(y) = begin{cases} displaystyle frac{f(y)-f(g(x))}{y-g(x)} & y neq g(x) \ f'(g(x)) & y = g(x) end{cases} )]
라 정의하자. [math(f)]가 [math(g(x))]에서 미분가능하다는 가정을 이용하면 [math(F)]의 연속성을 증명할 수 있다. 이제 위의 분수식하고 거의 흡사하지만 약간 다른 다음의 식을 생각한다.[math(displaystyle frac{f(g(x_1)) - f(g(x))}{x_1 - x} = F(g(x_1))frac{g(x_1) - g(x)}{x_1 - x} )]
만약 [math(g(x_1) neq g(x))]이면 [math(F)]의 정의를 대입하면 성립하고, [math(g(x_1)=g(x))]라면 양변은 모두 0이니까 성립한다. 즉 위 식은 항상 맞으면서도, 이제는 모든 함수들이 연속이기 때문에 [math(x_1 rightarrow x)]로 극한을 보낼 수 있다. 그러면 우변은 [math(F(g(x))g'(x) = f'(g(x))g'(x))]가 되어 증명 끝.두 번째 방식을 이용한 다변수 연쇄법칙의 증명(접기/펼치기)
다음 일반적인 미분의 정의를 사용한다. [math( g: X rightarrow Y)]가 [math(x_0 in X)]에서 미분가능하다는 것은, 임의의 [math(epsilon>0)]에 대해 [math( |g(x_1) - g(x_0) - Dg(x_0) (x_1 - x_0)| < epsilon |x_1 - x_0| )]이 만족되는 [math(x)]의 근방이 존재한다는 것이다. 여기서 [math(Dg(x_0))]는 선형사상으로 간주. 이제 [math(y_0 = g(x_0), y_1 = g(x_1))]과 [math(h = f circ g)]에 대해, 다음의 등식을 생각한다.
[math( displaystyle h(x_1) - h(x_0) - Df(y_0) Dg(x_0) (x_1 - x_0) = left( f(y_1) - f(y_0) - Df(y_0) (y_1 - y_0) right) + Df(y_0) left(g(x_1) - g(x_0) - Dg(x) (x_1 - x_0) right) )]
임의의 [math(epsilon_1, epsilon_2>0)]에 대해서, [math( |f(y_1) - f(y_0) - Df(y_0) (y_1 - y_0)| < epsilon_1 |y_1 - y_0| )]가 만족되는 [math(y_0)]의 근방을 [math(V_1)],
[math( |g(x_1) - g(x_0) - Dg(x_0) (x_1 - x_0)| < epsilon_2 |x_1 - x_0|)]가 만족되는 [math(x_0)]의 근방을 [math(U_1)]
라 하고, [math(U = g^{-1}(V_1) cap U_1)]으로 잡자. 그러면 [math(U)] 위에서[math( |g(x_1) - g(x_0) - Dg(x_0) (x_1 - x_0)| < epsilon_2 |x_1 - x_0|)]가 만족되는 [math(x_0)]의 근방을 [math(U_1)]
[math( displaystyle |h(x_1) - h(x_0) - Df(y) Dg(x) (x_1 - x_0) | < epsilon_1 |y_1 - y_0| + epsilon_2 | Df(y_0) | |x_1 - x_0| )]
이고 특히 [math( |y_1 - y_0| le (|Dg(x_0)| + epsilon_2) |x_1 - x_0|)] 이므로,[math( displaystyle |h(x_1) - h(x_0) - Df(y) Dg(x) (x_1 - x_0) | < left( epsilon_1( |D(g(x_0)| + epsilon_2) + |Df(y_0)| epsilon_2 right) |x_1 - x_0| )]
을 얻는다. 이제 주어진 [math(epsilon>0)]에 대해 [math(epsilon_1,epsilon_2 >0)]을 적절히 잡으면, 선형사상 [math( Df(y) Dg(x) )]가 [math(h)]의 미분계수의 조건을 만족한다는 것을 증명할 수 있다.